数学课后导练：椭圆及其标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。椭圆=1上一点到两个焦点的距离和为…（）A.26B。24C。4D.2答案：D2.下列说法中正确的是（）A。平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C。平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D。平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条线段答案：D3。已知椭圆的方程为=1，焦点在x轴上，则m的范围是（）A.—4≤m≤4且m≠0B。—4〈m〈4且m≠0C。m〉4或m〈—4D.0〈m<4答案:B4。设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△PF1F2是（)A.锐角三角形B。直角三角形C。钝角三角形D.等腰直角三角形答案：B5.椭圆=1的焦距等于2,则m的值为(）A。5或3B.8C。5D。16答案：A6.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是________________。答案:(±,0)7。过点（—3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是________________。答案：=18。若方程=—1表示椭圆，则实数k的取值范围是_________________.答案：3＜k＜5且k≠49。过原点的直线与椭圆=1（a〉b〉0)相交于A、B两点，若F（c，0)是椭圆右焦点,则△FAB的最大面积是多少?解析：∵S△FAB=S△OAF+S△OBF=c·｜yA｜+分式c·|yB｜=c·（｜yA|+｜yB｜)，而(｜yA｜+｜yB|)max=2b,∴(S△FAB)max=bc.10。点P是椭圆=1上的一点,F1、F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.解析：在椭圆=1中，a=,b=2，∴c==1。∵点P在椭圆上,∴|PF1｜+|PF2｜=2a=2,|PF1|2+｜PF2|2+2|PF1||PF2｜=20。①由余弦定理知｜PF1｜2+|PF2｜2-2|PF1||PF2|·cos30°=｜F1F2｜2①—②得(2+）|PF1｜｜PF2｜=16，∴｜PF1||PF2｜=16（2-）.∴S△F1PF2=｜PF1||PF2|·sin30°=8—4.综合运用11。F1,F2是椭圆C：=1的焦点,在C上求满足PF1⊥PF2的点P的个数？解析:a=2，c=2，e=，设P（x0，y0)，则｜PF1｜=2+x0,｜PF2|=2-x0.∵PF1⊥PF2，∴|PF1｜2+|PF2｜2=｜F1F2|2即（2+x0）2+（2—x0）2=16，解得x0=0.故在椭圆上存在两点,即短轴的两顶点使PF1⊥PF2.12.已知圆C1:(x+1）2+y2=1和圆C2：（x—1）2+y2=9，求与圆C1外切而内切于圆C2的动圆圆心P的轨迹方程.解析：圆C1圆心C1坐标为（—1，0），半径r1=1,圆C2圆心C2坐标为（1,0）半径r2=3，动点P满足|PC1|=r+1，|PC2|=3—r∴|PC1|+|PC2｜=4∴动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆上，故点P的轨迹方程为=1。13。已知P为椭圆=1上的点,设F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=，求△F1PF2的面积。解析:∵｜PF1|+｜PF2｜=20，又∠F1PF2=由斜弦定理知:∴｜PF1|·｜PF2|=.∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2｜sin=。拓展探究14.（2006河北石家庄二模，21）已知椭圆的焦点是F1（-1，0）、F2（1,0）。P为椭圆上一点，且｜F1F2|是|PF1|和｜PF2(1）求椭圆的方程；（2)若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2解：（1）由题设2｜F1F2｜=|PF1｜+｜PF2∴2a=4