数学课后导练：直角坐标系平面上的伸缩变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C的方程为（)A。50x2+72y2=1B。9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D。x2+y2=1答案：A2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为=1的伸缩变换公式为（）A.B。C。D.答案：A3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1。解:（1）由伸缩变换得①①代入5x+2y=0得10x′+6y′=0,经伸缩变换后仍为直线。（2）将①代入x2+y2=1中得=1，圆变成椭圆.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2—8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.解：设伸缩变换为将其代入方程x′2—y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2—4λx+3=0与x2—36y2-8x+12=0比较系数得，∴λ=,μ=3.∴变换为x′=x,y′=3y。5.△ABC中,若BC的长为4，中线AD的长为3，则点A的轨迹方程是_____________。答案：x2+y2=9（y≠0）6。在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?解：如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系。则现在台风中心B的坐标为（—300，0）.根据题意，可知，t小时后，B1的坐标为（—300+40tcos45°,40tsin45°），即（—300+20t,20t),因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B1在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。所以令|AB1|≤250，即（-300+20t）2+(20t）2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.解得≤t≤,1.99≤t≤8。61。故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.7.如右图,已知A、B、C是直线m上的三点,且|AB|=|BC｜=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线,切点分别为D、E，设两切线交于点P，（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点,且点C分所成的比等于2∶3，求直线l的方程.分析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来;根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来，列出方程组求出点M、N的坐标，从而求出直线方程。解：（1）∵|PE｜=｜PD｜,|BD｜=|BA｜，｜CE|=|CA｜，∴｜PB|+|PC｜=|PD｜+|DB|+｜CE|-|PE|=｜BD|+|CE｜=｜AB|+｜CA｜=18＞6=|BC｜,∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆。以B、C两点所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则可设椭圆的方程是+=1（a＞b＞0）。（2)略.综合运用8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如下图:航天器运行（按顺时针方向)的轨迹方程为+=1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,）为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D（8,0)。观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问:当航天器在x轴上方时,观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？分析：本题是有关椭圆与双曲线的实际应用问题，所求的抛物线方程不是标准方程的形式，可以将其视为对应的标准方程的抛物线进行一定的平移后所得到，从而将问题解决;有关求曲线的交点问题通常是解它们的方程所组成的方程组，从而求解。解：(1)设曲线方程为y=ax2+,由题意可知0=a·64+,即a=。∴曲线方程为y=。(2）设变轨点为C(x,y),根据题意可知得4y2-7y-36=0，y=4或y=(不合题意，舍去）.∴y=4，得x=6或x=-6(不合题意,舍去)，∴C点的坐标为(6，4),｜AC|=，|BC|=4。答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为、4时，应向航天器发出变轨指令.9。(2006江苏高考,4)为了得到函数y=2sin(+),x∈R的图象,只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（)A。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）D。向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案：C拓展探究10。在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，—)和F2（0，）为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量。求：（1)点M的轨迹方程；（2）||的最小值.解：（1)椭圆方程可写为=1，式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为x2+=1(x＞0,y＞0).y=（0＜x＜1),y′=。设P（x0，y0），因P在C上,有0＜x0＜1,y0=,y′|=，得切线AB的方程为y=(x—x0）+y0.设A(x,0）和B（0，y）,由切