2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用一个平面去截正方体，则截面不可能是(

)A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//αB.若m//α，n//m，则n//α

C.若m//α，n//α，则m//nD.若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n3.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+……+12A.1项 B.k项 C.2k−1项 D.24.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q两点分别从点B和点A1出发，以相同的速度在棱BA和A1D1上运动至点A和点DA.[π4,π3]

B.[二、填空题：本题共12小题，共54分。5.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．6.空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB//A′B′，BC//B′C′，∠ABC=40°，则∠A′B′C′的大小是______．7.若数列{an}为首项为3，公比为2的等比数列，则S6=8.如图所示，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=2，O′A′//B′C′.则原平面四边形OABC的面积为____．9.在正方体ABCD−A1B1C10.已知数列{an}的前n项和Sn=11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是______．

(1)BM与ED平行；

(2)CN与BE是异面直线；

(3)CN与BM成π3；

(4)DM与BN垂直．12.已知无穷等比数列{an}和{bn}满足a1=3，bn13.已知数列{an}满足：a1=1且an+1+14.如图，二面角α−l−β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是______．15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC′面积达到最大．16.已知斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的第n个数记为Fn(n∈N∗)，则F1=F2=1，Fn+Fn+1=F三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=10，a4=6，

(1)求an；18.(本小题14分)

如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．

(1)求证：A119.(本小题14分)

已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．

(1)求直线PM与平面ABC所成角的大小；

(2)证明：ME//平面PAB，并求直线ME到平面PAB的距离．20.(本小题16分)

(1)请用文字语言叙述两个平面垂直的判定定理；

(2)请证明两个平面垂直的判定定理；

(3)如图，P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2.求证：平面PAC⊥平面PDC．21.(本小题18分)

如果有穷数列a1，a2，a3，…，an(m为正整数)满足条件a1=am，a2=am−1，am=a1，即ai=am−i+1(i=1,2,…,m)，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”

(1)若{an}是项数为7的“对称数列”，其中a1，a2，a3，a4是等差数列，且a1=2，a4=11，依次写出{an}的每一项；

(2)若{an}是49项的“对称数列”，其中a25，a26，…，a49参考答案1.C

2.D

3.D

4.C

5.相交或异面

6.40°或140°

7.189

8.5

9.arctan10.an11.(3)(4)

12.18513.−114.315.60°

16.n217.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

因为a2=10，a4=6，则有a2=a1+d=10a4=a1+3d=6，18.解：(1)证明：因为A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B，A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，

由异面直线的判定定理可得A1B与AD1是异面直线．

(2)如图，连接BC1，

因为AB/​/C1D1，AB=C1D1，可知四边形ABC119.解：(1)连接AM，PM，

∵PA⊥平面ABC，

∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，

在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC=32+42=5，

∵M为BC中点，∴AM=12BC=52，

∴tan∠PMA=65，即直线PM与平面ABC所成角为arctan65；

(2)由ME/​/平面PAB，MF/​/平面PAB，ME∩MF=M，

∴平面MEF/​/平面PAB，∵ME⊂平面MEF，∴ME/​/平面PAB，

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，

∵ME//平面PAB，ME⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，

∴ME/​/AB，∵M为BC20.解：(1)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；

(2)证明：

设AB⊂α，AB⊥β，α∩β=CD，

则由AB⊂α知AB，CD共面，

AB⊥β，CD⊂β，所以AB⊥CD，垂足为点B，

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，

则∠ABE是二面角α−CD−β的平面角，

又AB⊥BE，即二面角α−CD−β是直二面角，

所以α⊥β．

(3)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

因为AD//BC，∠BAD=90°，AB=BC=1，所以AC=CD=2，

又AD=2，所以AC2+CD2=AD2，所以AC⊥CD，

又PA∩AC=C，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，

因为21.解：(1)