第08讲 对数函数（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第08讲对数函数（12类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第5题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2022年天津卷，第5题,5分对数的运算、对数的运算性质的应用2021年天津卷，第5题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2021年天津卷，第7题,5分运用换底公式化简计算2020年天津卷，第6题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2021年天津卷，第5题,5分比较指数幂的大小、比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题4.能结合图像与性质解决综合型问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。知识讲解知识点一.对数的定义1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．2.底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.知识点二．对数函数的定义1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数知识点三．对数函数图象的特点1.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．2.函数y＝logax与y＝log1ax(a>0且a3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．注意：1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．4．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．知识点四.指对函数性质的比较图像特征函数性质共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点(0，1)过定点(0，1)0<a<1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时，0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x0时，y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢;a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时，y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时，0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢到了某一值后增长速度极快;考点一、对数函数的解析式1.（23-24高三上·江苏·期末）满足fxy=fx+fy的函数f2.（22-23高三上·江苏泰州·期中）已知函数f(x)同时满足（1）f(mn)=f(m)+f(n)；（2）(m−n)[f(m)−f(n)]<0，其中m>0,n>0,m≠n，则符合条件的一个函数解析式f(x)＝．1.（2023高三上·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=logax+1(a>0，且2.（2024·河北沧州·模拟预测）直线x=4与函数fx=logax(a>1),gx=A．ℎx=−logC．ℎx=log3.（2024·北京东城·一模）设函数fxA．fx+f1C．fxf14.（23-24高三上·北京·阶段练习）定义域为R的函数fx①存在x0∈R②对于任意x∈R，有f写出满足上述性质的一个增函数fx=考点二、对数函数的求值、求参问题1.（2024·湖北·模拟预测）已知函数f(x)=2x+A．103 B．133 C．3562.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数fx是奇函数，且当x≥0时，fx=A．1 B．−1 C．2 D．−21.（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足flogA．f(x)=1+lnx C．fx=x−12.（2024·山东济宁·三模）已知函数f(x)=13.（2024·河北·三模）已知函数fx=lgx，若fa=fb4.（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=cosx⋅lnA．−1 B．−3 C．−5 D．3考点三、对数函数的定义域与不等式1.（2024·青海海南·二模）函数f(x)=lgA．(−10,10C．[−10,102.（23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数fx=lg1.（2022高三上·河南·专题练习）函数fxA．(1,π2)∪(π2,4) B．(1,2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为−2,2，则函数FA．−3,1 B．−3,0C．−1,0∪0,1∪1,33.（2024·北京通州·二模）已知函数fx=x4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数f(x)=lg(4考点四、对数函数的值域问题1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为1,+∞A．y=1sinx B．y=x+1 2.（2024高三·全国·专题练习）函数fx=ln1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数y=log3x+1log2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=x2+4x+3,x<2ln(x−1)+1,x≥2，则fe3.（23-24高三上·重庆·期中）已知a>0，函数fx=log2x,x≥ax−2x−3,x<a且x≠3当a=2时，4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数fx=log考点五、对数函数的定义域与值域求参问题1.（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若函数f(x)=log0.5(A．−∞,−3 B．−∞,−4 C．2.（22-23高三·全国·对口高考）若函数y=lgx2−ax+9的定义域为R，则a的取值范围为；若函数y=lg1.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知fx=log4x,x<ax−32,x≥a，若函数2.（2023·全国·模拟预测）若“∀x∈3,27，log3x≤m”是真命题，则实数m3.（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数fx=lnA．217 B．219 C．317考点六、对数函数过定点问题1.（·山东·高考真题）函数y=logax+3−1a>0,a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m、n>02.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数fx=logax+11.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数y=loga(x−1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y=f(x)的图象上，则lg2.（2023·江西赣州·一模）已知函数y=1+loga2−x(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在圆x23.（2023·青海西宁·二模）已知函数y=loga3x−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点A，若抛物线4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列an为等比数列，函数y=loga(2x−1)+2的图象过定点a1,a2，bn考点七、对数函数的单调性1.（2022高三·全国·专题练习）函数fx=log2.（2024·黑龙江·模拟预测）设函数f(x)=ln|x−a|在区间(2,3)上单调递减，则A．(−∞,3] B．(−∞,2] C．1.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数A．a<0 B．−1≤a<0 C．−1<a<0 D．a≥−12.（·天津·高考真题）若函数fx=logax3−ax（a>0A．14,1 B．34,1 C．3.（2024·陕西铜川·三模）若函数y=3a−1x+2a,x<1,logax,x≥1A．0,13 B．0,15 C．考点八、对数函数的图像1.（2024·湖北·模拟预测）函数fxA． B． C． D．2.（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）函数y=lgA． B．

C． D．

1.（22-23高三上·甘肃平凉·阶段练习）函数y=xA． B．C． D．2.（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数f(x)=lnA． B．C． D．3．（2024·四川成都·三模）函数f(x)=xA． B．C． D．考点九、对数模型实际应用1.（21-22高三上·江苏扬州·期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为πx≈xlnxA．1079 B．1075 C．434 D．25002.（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C=Wlog2(1+SN)，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，A．10% B．20% C．30% D．40%1.（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25∘C下，某种绿茶用85∘C的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y（参考数据：ln2≈0.69,A．6min B．7min C．8min 2.（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为E1,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为EA．4 B．5 C．6 D．73.（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（

）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，A．23 B．100 C．150 D．232考点十、对数函数比较大小1.（2020·全国·高考真题）若2xA．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>02.（2024·湖北武汉·二模）设a=15,b=2A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b1.（2024·湖北黄冈·二模）已知a,b,c,d分别满足下列关系：16a=15,b=logA．a<b<c<d B．c<a<b<dC．a<c<b<d D．a<d<b<c2.（2024·山东聊城·三模）设a=log49,b=A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．c>b>a考点十一、对数函数综合应用1.（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数fx=3A．9 B．10 C．11 D．122.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=ex,x≤0,lnx,x>0,gA．0 B．3 C．6 D．91.（2024·陕西西安·模拟预测）“0<a≤12”是“方程22xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2024·河南·模拟预测）已知an为正项等比数列，若lga2,lgA．10 B．104 C．108 3.（2024高三·全国·专题练习）设方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分别为A．f2=f0C．f3<f2考点十二、对数函数的奇偶性与对称性1.（2022·全国·高考真题）若fx=lna+11−x+b是奇函数，则2.（2024·重庆·模拟预测）已知定义在0,1上的函数fx满足：∀x∈0,1，都有f1−x+fx=1，且fxA．13 B．12 C．141.（2024·山东泰安·模拟预测）设fx是定义在R上的奇函数，且f2+x=f−x，当−1≤x<0时，A．2 B．1 C．-1 D．-22.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0<x≤1时，A．−52+4k,−32+4k，C．−12+4k,12+4k，3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数fx=3log2x2+1A．6 B．8 C．12 D．241．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x−1)，且当x∈(−2,0)时，f(x)=log2(x+3)A．1 B．−1 C．1−log232．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5MA．87 B．1087 C．103．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知M=1,3，N=1,3,5,7，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则A．14 B．25 C．124．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=log22−x的值域为−5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=log2x2+a6．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=2x−1(x≤1)x2−x(x>1)7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）x表示不超过x的最大整数，则k=12024lg1．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+12+13+⋯+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+12+13（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．72．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=−14x−4A．0,1 B．1,3 C．1,3 3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数fx=xx−1−A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·宁夏银川·三模）命题p:0<a<1，命题q:函数f(x)=loga(2−ax)(a>0且a≠1)在(−∞,3)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f(x+2)=−f(x)，当x∈2,4时，fxA．1 B．2 C．−126．（2