人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业3：2 5 1 第二课时 直线与圆的位置关系的应用练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时直线与圆的位置关系的应用一、选择题1.方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是()A.{－eq\r(2)} B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.〖－1，1) D.{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}〖答案〗D〖解析〗由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).2.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,2) D.π〖答案〗D〖解析〗如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq\f(1,4).3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B.－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3) C.－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)〖答案〗D〖解析〗由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)，故选D.4.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝()A.－1 B.1 C.0 D.2〖答案〗B〖解析〗∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，∴直线x＋2y＝0是线段MN的中垂线，得k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解之得k＝2，又圆方程为x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.故选B.5.方程eq\r(1－x2)＝kx＋2有唯一解，则实数k满足()A.k＝±eq\r(3) B.k∈(－2，2)C.k<－2或k>2 D.k<－2或k>2或k＝±eq\r(3)〖答案〗D〖解析〗y＝eq\r(1－x2)表示单位圆x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线，如图，当直线y＝kx＋2在l1，l4的位置或在l2，l3之间时满足条件.易求得k2＝2，k3＝－2.又由y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切求得k1＝eq\r(3)，k4＝－eq\r(3).故k<－2或k>2或k＝±eq\r(3).二、填空题6.实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为________.〖答案〗8〖解析〗令x2＋y2＝r2，则x2＋y2的最小值为圆x2＋y2＝r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以r＝eq\f(|0－0－4|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，即x2＋y2的最小值为8.7.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.〖答案〗eq\f(4π,5)〖解析〗由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与已知直线垂直时，圆C的直径最小，又O到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq\f(4,\r(5))，所以圆的半径最小为eq\f(2,\r(5))，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝eq\f(4π,5).8.已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是________.〖答案〗(－3，3eq\r(2)〗〖解析〗数形结合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b≤3eq\r(2)时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.三、解答题9.设有半径长为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.75.))所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇.10.已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求(1)eq\f(y,x)的最大值与最小值；(2)eq\r(（x－2）2＋y2)的最大值与最小值.解(1)设k＝eq\f(y,x)，则k表示圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值.由点C(3，3)到直线y＝kx的距离d＝eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(6)，得k＝3±2eq\r(2)，即k＝3±2eq\r(2)时，直线OP与圆C相切，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝3＋2eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(min)＝3－2eq\r(2).(2)代数式eq\r(（x－2）2＋y2)表示圆C上的点到定点(2，0)的距离，圆心(3，3)与定点(2，0)的距离为eq\r(（3－2）2＋32)＝eq\r(10)，又圆C的半径是eq\r(6)，所以(eq\r(（x－2）2＋y2))max＝eq\r(10)＋eq\r(6)，(eq\r(（x－2）2＋y2))min＝eq\r(10)－eq\r(6).11.曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))〖答案〗D〖解析〗由题意可得：直线l过定点A(2，4)，曲线y＝1＋eq\r(4－x2)为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆.根据题意画出图形，如图所示.当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得：k＝eq\f(5,12)；当直线l过点B(－2，1)时，直线l的斜率为eq\f(4－1,2－（－2）)＝eq\f(3,4)，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))).12.(多选题)如图所示，已知直线l的方程是y＝eq\f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为()A.6 B.8 C.10 D.16〖答案〗AD〖解析〗设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为eq\f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝eq\f(3,2)，得m＝－eq\f(3,2)或m＝－eq\f(13,2)，∴该圆运动的时间为eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),0.5)＝6(s)或eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2))),0.5)＝16(s).13.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h).所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h.14.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A相切.根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆形商城A也相切.(1)当P距O处4千米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长.解(1)以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设PQ与圆A相切于点B，连接AB，以1千米为单位长度，则圆A的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由题意可设直线PQ的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋4y－4b＝0(b>0)，∵PQ与圆A相切，∴eq\f(|4－3b|,\r(b2＋42))＝1，解得b＝3，故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米.(2)设P(a，0)，Q(0，b)(a>2，b>2)，则直线PQ方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为PQ与圆A相切，所以eq\f(|b＋a－ab|,\r(b2＋a2))＝1，化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2；因此PQ＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(（a＋b）2－2ab)＝eq\r(（a＋b）2－4（a＋b）＋4)＝eq\r(（a＋b－2）2).因为a>2，b>2，所以a＋b>4，于是PQ＝(a＋b)－