高考数学专项复习训练：直线与圆的位置关系（分层练）

第24讲直线与圆的位置关系

【人教A版选修一】

目录

题型归纳...............................................................................

题型01直线与圆的位置关系的判断........................................................................3

题型02圆的弦长问题.....................................................................................5

题型03圆的切线问题.....................................................................................9

分层练习.................................................................................................12

夯实基础...............................................................................................12

能力提升.................................................................................................18

创新拓展................................................................................................28

知识梳理

一、直线与圆的位置关系的判断

直线1：Ax+By+C^0与圆C：a)2+(y—6)2=d的位置关系

位置关系相交相切相离

公共点个数2_个L个Q个

几何法：

d>r

设圆心到直线的距离为d/

2222

判断A/A+B

方法

(Ax+2y+C=0,

代数法：由消元

[(x—ay+(y—bY=r,/>0/=0/<0

得到一元二次方程，可得方程的判别式/

二、圆的弦长问题

求直线与圆相交时弦长的两种方法:

(1)几何法：如图①，直线/与圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有怨下

+d2—t2,

即|42|=2与/一/.

⑵代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(xi，%),8(X2,竺)，

图②

则\AB\=yj(xi—%2)2+Cyi~y2)2

lyi—y2K直线/的斜率/存在)

题型归纳

题型01直线与圆的位置关系的判断

【解题策略】

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离［与圆的半径厂的大小关系判断.

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必

须是过定点的直线系

【典例分析】

【例1】例1已知直线方程“lx—y—初一1=0,圆的方程r+y?—4x—2y+l=0.当相为何值时，圆与直线：

⑴有两个公共点；

⑵只有一个公共点；

(3)没有公共点.

解方法一将直线根一1=0代入圆的方程化简整理得，

(l+m2)x2—2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.

则/=4机(3机+4).

4

(1)当/>0,即根>0或根(一］时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.

(2)当/=0,即加=0或%=—1时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.

(3)当/<0,即一齐根<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

方法二已知圆的方程可化为(x—2)2+。一1)2=4,

即圆心为C(2』)，半径r=2.

圆心C(2,l)到直线mx-y-m-l=0的距离

|2m~1"m-1|\m-2\

y/l+m2\］1+m2

4

⑴当d<2,即机>0或机<一］时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.

4

(2)当d=2,即加=0或m=—可时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.

4

⑶当d>2,即一声m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

【变式演练】

【变式1］（2324高二下•浙江•期中）已知直线，：x+ay-a-l=O,圆M:Y9一2》一2=0.则直线/与圆〃的位置关

系是（）

A.相交B.相切C,相离D.与a有关

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离与半径的比较即可判断位置关系.

【详解】因为圆加：一+9-2苫-2=0的圆心为（1,0）,半径为百，

|2

则圆心（1,0）到直线/：X+ay-。-1=0的距离为d=包4=1+a

=1<V3=r>

ViwJ1+a2

所以直线/与圆M的位置关系是相交.

故选：A

【变式2］（2324高二上•上海.期末）点〃（4,几）在圆x2+y2=/外，则直线/x+1与该圆的位置关系为.

【答案】相交

【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断.

【详解】因为点/（%,%）是圆/+外一点，故有焉+

222

|0+0-a|\a\a

21

则圆心（0,0）到直线为无+yoy=a的距离为,'=,''<一=a,

7^o+Jo«+北a

1

直线xox+yoy=a与该圆的位置关系是相交.

故答案为：相交

【变式3】（2022高二•全国・专题练习）判断直线*-2、+1=0与圆（x-l）2+（y+3『=i的位置关系.

【答案】直线与圆相离

【分析】可从以下两个方面思考：一方面联立直线与圆的方程，判断方程组解的情况即可；或者判断圆心到直线的距

离与圆的半径的大小关系也可以.

【详解】方法一：（代数法）

x-2y+l=0

将直线与圆的方程联立，得(X(八2］，消去x得5y2_2y+12=0,

(1)+(y+3)=1

所以△=(-2)2—4x5x12=-236,即方程组无解，所以直线与圆相离.

方法二：(几何法)

圆(x-l)2+(y+3)2=1的圆心为(1,-3),半径为r=l,则圆心到直线尤-2了+1=。的距离为

|1-2X(-3)+1|_8^5

d=---/——----1—r

g(一2),故直线与圆相离

题型02圆的弦长问题

【解题策略】

(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法.

⑵利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况

【典例分析】

课本例1已知直线/：3x+y—6=0和圆心为C的圆f+F—2y—4=0,判断直线/与圆C的位置关系；如果相交，求

直线/被圆C所截得的弦长.

解方法一联立直线/与圆C的方程，得

[3x+y—6—0,①

V+/-2y-4=0.②

消去y,得x2—3x+2=0,解得为=2,无2=1.

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

把xi=2,X2=l分别代入万程①，得yi=0,>2=3.

所以，直线/与圆C的两个交点是A(2,0),8(1,3).

因此=y(l—2)2+(3_0)2=®.

方法二圆C的方程V+y2—2y—4=0可化为f+U—l)2=5,因此圆心C的坐标为(0,1),半径为小,圆心C(0,l)到直

线/的距离

13X0+1—615

声+了

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

如图，由垂径定理,

得\AB\=27rl

【例2】求直线x—小y+2小=0被圆一+尸=4截得的弦长.

lI-f尤—V5y+2小=0,

解方法一直线x—小y+2小=0和圆/+丁=4的公共点坐标就是方程组《,\的解.

〔%，+俨=4

卜1=一小,刀2=0,

解这个方程组,[*=1

）2=2.

所以公共点的坐标为（一小，1）,（0,2）,

所以直线x—2y5=0被圆f+y2=4截得的弦长为/（一小一0）2+（1—2）2=2.

方法二如图，设直线x—小y+25=0与圆/+产=4交于A,B两点,弦的中点为V,则。M_LAB（。为坐标原

点），

|0-0+2^3|

又|OM=事,

42+（一市）2

所以=2|AM=2M。*2一|OM|2

2山2一响2=2.

【变式演练】

【变式1](2223高二上•福建泉州•期中)直线/:(相+l)x+(l-3m)y+(5加-3)=。被圆

22

C:x+y-2tu-(4n+2)y+5/+4〃-8=0截得的弦长为定值，则直线/的方程为.

【答案】丁=2无

【分析】根据给定条件，求出动圆圆心的轨迹方程，再由直线/与圆心的轨迹平行求解作答.

【详解】圆C:(x-〃)2+(y-21产=9的圆心C(",2〃+l),半径r=3,显然点C的轨迹是直线y=2x+l,

fx-3y+5=0,fx=l

直线/：(%—3y+5)根+(%+y—3)=。，由二八解得即直线/过定点M(l,2),

[x+y—3=0[)=2

因直线/被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线/的距离为定值，因此直线/平行于圆心C的轨迹，

设直线/的方程为：y=2x+a,a^l,有2=1x2+〃，解得〃=0,

_.1亚/

此时直线/与圆心C的轨迹的距离为“=万不[=彳<厂，即直线/与圆C相交，

所以直线/的方程为y=2x.

故答案为：y=2x

【变式2](2324高二上.陕西咸阳.阶段练习)已知圆C:(x-3)2+(y-iy=9及直线/：6+丫一5。-2=0,当直线/被圆C

截得弦长最长时，直线/的方程为.

【答案】x-2y-l=0

【分析】通过题干，当直线过圆心时，所截弦长最长，为直径，将圆心代入直线方程求解即可.

【详解】因为圆C:(x-3)2+(y-l)2=9,圆心C(3,l),r=3,当直线/被圆C截得弦长最长时，此时直线过圆心，弦长

为2r=6,将圆心代入直线方程得3。+1-5。-2=0,即。=-工，所以直线方程为尤-2y-l=0,

2

故答案为：》-2>-1=0

【变式3](2324高二上•新疆和田•期中)已知圆C方程为/+y-6苫+5=0,直线乙方程为x-2y=0,贝。

（1）求圆C圆心坐标及半径r;

（2）判断直线L与圆C位置关系，若相交，求弦长.

【答案】（1）圆心坐标为（3,0）,半径为r=2

⑵相交，且弦长为手

【分析】（1）将圆C的方程化为标准方程，可得出圆C的圆心坐标与半径长；

（2）计算出圆心到直线L的距离，.结合直线与圆的位置关系可得出结论，再利用勾股定理可求得弦长.

【详解】（1）圆C的标准方程为（丈_3）2+9=4,则圆C的圆心坐标为（3,0）,半径为厂=2.

（2）圆心到直线乙的距离为d=Y==2叵＜「，

71+45

2^/55

所以，直线乙与圆C相交，弦长为2介=2

5

题型03圆的切线问题

【解题策略】

求过某一点的圆的切线方程

（1）过圆上一点（xo,yo）的圆的切线方程的求法

①若切线斜率存在且不为0,则先求切点与圆心连线所在直线的斜率网后4））,由垂直关系得切线的斜率为一£

由点斜式方程可得切线方程.

②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=yo或x=x（）.

（2）过圆外一点（xo,州）的圆的切线方程的求法

①若切线斜率存在，设切线的斜率为左，则切线方程为y—yo=%（x—松），由圆心到直线的距离等于半径建立方程,

可求得匕也就得切线方程.

②当切线斜率不存在时要加以验证.

③过圆外一点的切线有两条

:典例分析］

课本例2过点尸(2,1)作圆O：^+/=1的切线I,求切线I的方程.

解方法一设切线/的斜率为左，则切线/的方程为y—l=^x—2),即依一y+1—2k=0.

由圆心(0,0)到切线/的距离等于圆的半径1,

得'/7警=1，解得左=。或*

因此，所求切线/的方程为y=l,或4x—3y—5=0.

方法二设切线/的斜率为左，则切线/的方程为y—l=k(x—2).

因为直线/与圆相切，所以方程组

y-l=k(x-2),

只有一组解.

x2+y2—l

消元，得

(产+1)/+(2k-4R)x+4A2—4Z=0.①

因为方程①只有一个解，所以

/=4后(1一2左)2—16网妤+1)(左一1)=0,

4

解得％=0或

所以，所求切线/的方程为y=l,或4x—3y—5=0.

【例3】(1)过点4(—1,4)作圆(x—2)2+。一3)2=1的切线/,则切线/的方程为.

答案y=4或3x+4y—13=0

解析：(一l-2>+(4—3)2=10>1,

...点A在圆外.

当直线/的斜率不存在时，/的方程是x=-1,不满足题意.

因此直线/的斜率存在，设为鼠

则切线I的方程为y-4=-x+l),

即kx—y+4+Z=0.

\2k—3+4+川

圆心(2,3)到切线/的距离为1,

.3

解得左=0或%=一不

因此，所求直线I的方程为y=4或3x+4y—13=0.

(2)由直线y=x+l上任一点向圆(%—3)2+尸=1引切线，则该切线长的最小值为()

A.1B.2^2匚币D.3

答案C

解析圆心。(3,0)到直线y=x+l的距离

|3-0+1|I-

d=巾=2*

所以切线长的最小值为/=叱2陋)2—12=市.

【变式演练】

【变式1】(2324高二下•北京•期中)已知圆。:/+y=5,直线/经过点(1,2),且/与圆。相切，贝U/的方程为(

A.x+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0

【答案】A

【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.

【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为y-2=Mx-l),

\2-k\

圆心到直线的距离为d=),因为/与圆。相切，所以4=君，

\2-k\厂1

即为4=&,解得％=二，即/的方程为x+2y-5=0.

故选：A

【变式2](2324高二下•河北张家口•期中)已知。。:/+,2=4和点4(2,-1),则过点A的。。的所有切线方程

为.

【答案】x=2或3x-4y-10=0

【分析】先确定点A在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可.

【详解】由圆的方程可得圆心0(0,0),半径r=2,

由题意可得圆心到切线的距离等于半径r=2,

由点4(2,-1)代入圆的方程可得4+1>4,所以点A在圆外，

所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为x=2；

当斜率存在时，设为人，

贝U过点A的切线方程为丫+1=笈(X—2),即依一y-2左一1=0

所以匕—=2,解得左=

y/1+k24

此时，切线方程为--4>-10=0,

综上，过点A的。。的所有切线方程为x=2或3x-4y-10=0.

故答案为：》=2或3x_4yT0=0

【变式3](2324高二上.广西南宁•阶段练习)过点尸(2,1)作圆C:Y+y2-4x+6y-3=0的切线/,求切线/的方程

【答案】y=i

【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点尸(2,1)在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程.

【详解】C:x2+y2-4x+6y-3=0,即C:(x-2)2+(y+37=16,

则其圆心C(2,—3),半径厂=4,

将点P(2,l)代入圆的方程可得(2-2)2+(1+3)2=16,

则点尸(2,1)在圆上,则CP，/,

直线CP的方程为x=2,贝u勺=。，

则切线方程为y=i

分层练习

【夯实基础】

一、单选题

1.（2324高二下•广东梅州•阶段练习）已知圆C:V+2x+y2_3=0,则直线/：尤+“（丁-1）=0与圆C（）

A.相交B.相切C.相离D,相交或相切

【答案】A

【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系.

【详解】C:X2+2X+/-3=0可化为（x+lp+y,=4,

即该圆圆心为（TO）,半径为2,

由I:x+〃（y—1）=0可得该直线过定点（0,1）,

有（0+1）2+12=2<4,即该定点必在圆内，

故两者位置关系为相交.

故选：A.

2.（2324高二上•广东惠州•阶段练习）直线ax+y-a=0（aeR）与圆。-2）2+丁=4的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

【答案】B

【分析】判出直线"+y-a=0（aeR）恒过定点（1,0）,再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系.

【详解】由or+y-a=0=>y=-a（xT）,所以直线内+丫-口=。恒过定点（1,0）,

因为（1-2）2+。2<4,所以点（1,0）在圆（x-2）2+>2=4的内部,

所以直线⑪+y-a=O与圆(x-2)〉+y2=4相交.

故选：B.

3.(2324高二上•天津•期末)过(1,0)点且与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切的直线方程为()

A.2x-y-2=0B.3x-4y-3=0

C.2%—丁一2=0或%=1D.3%—4丁一3=。或%=1

【答案】D

【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.

【详解】圆尤2+V-4x-4y+7=0,即圆(x-2)2+(y-2『=l的圆心坐标，半径分别为(2,2),1,

显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为x=l,与圆(x-2)2+(y-2)=l相切，满足题意；

设然过(1，。)点且斜率存在的直线为丁=可》-1),与圆(x-2)2+(y-2)z=l相切，

\k-2\3

所以d=)^=l=r,所以解得人=1,

a+14

所以满足题意的直线方程为--4-3=。或x=L

故选：D.

4.(2024高二上•全国・专题练习)直线x=2被圆(彳-“)2+丫2=4所截得的弦长等于26，则。的值为

A.-1或3B.四或一五C.1或3D.a或百

【答案】C

【分析】由题意可知，圆心(a,。)到x=2的距离为1,由距离公式求解即可.

【详解】因为弦长为2百，半径r=2,

所以圆心(。,0)到x=2的距离为："一⑹=1,

所以|a-2|=l,所以“=1或3.

故选：C.

二、多选题

5.(2324高二下•江西赣州•阶段练习)已知圆C方程为Y+；/+2x-4y-4=0,则下列说法中正确的是()

A.圆C的圆心坐标为(1,2)B.圆C的半径为3

C.圆C与直线x=2相切D.点P(3,2)在圆外

【答案】BCD

【分析】由圆的标准方程可判断选项A、B,由圆心到直线的距离与半径比较可判断选项C,将点P(3,2)代入圆的方程

可判断D.

【详解】已知圆C方程为(x+l)，+(y-2)2=9,

故圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为3,故A错误，B正确.

圆C(-1,2)到直线x=2的距离为3,故C正确.

点尸(3,2)代入圆C方程为(3+l)2+(2-2)2=16>9,故点尸(3,2)在圆外，故D正确.

故选：BCD.

6.(2324高二上•河南周口•阶段练习)过点(0,3)作与圆/+'2-2苫=0相切的直线/，则直线/的方程为()

A.4x-3y-9=0B.4x+3y-9=0

C.x=0D.x=l

【答案】BC

【分析】求出己知圆的圆心、半径，再按切线/斜率存在与否分类求解即得.

【详解】依题意，圆5-1)2+丫2=1的圆心。(1,0),半径厂=1,

过点(0,3)斜率不存在的直线x=0,显然点C(l,0)到直线x=0的距离为1,

即直线x=0与圆C相切；

当切线/斜率存在时，设切线/方程为、=履+3,即辰-y+3=0,

/口卜+3|,4

于是解得左=—§,止匕时切线/方程为4%+3y—9=0,

所以直线/的方程为x=0或4x+3y-9=0.

故选：BC

三、填空题

7.（2324高二上•山东聊城・期末）写出经过坐标原点，且被圆C:（x-1）2+（广2）2=4截得的弦长为2若的直线/的一

个方程.

【答案】x=0或3元-4y=0（写出一个即可）

【分析】讨论直线/的斜率是否存在，再设直线方程根据垂径定理求解即可.

【详解】由题意，圆心（1,2）到直线/的距离4=（-1苧）=1,

当直线/的斜率不存在时，方程为x=0满足题意；

-2|

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为，=依，即丘-y=0,则为4=],

y/1+k2

即（"2）2=1+3,解得左=：,止匕时直线/的方程为3x-4y=0.

故答案为：x=0或--分=0（写出一个即可）

8.（2324高二下・上海松江•阶段练习）已知直线x+y-5=0与圆C:x2+y2-4犬+2〉+m=0相交于48两点，且IAB|=4,

则实数.

【答案】-7

【分析】利用垂径定理列方程求解即可.

【详解】根据题意，圆x2+/-4x+2y+m=。，

BP（x-2）2+（y+l）2=5-m,其圆心为②T,半径r=、J5-m,m<5,

若IAB|=4,则圆心到直线1即AB的距离d=—=^5-m-4=\!\-m,

贝!I有<1-m=2A/2，

解可得：，〃=-7;

故答案为：-7.

9.(2324高二上•上海•期末)过点(2,-2)作圆V+丁=4的切线，则切线方程为.

【答案】x=2或、=一2

【分析】由题意分直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：y+2=k(x-2),圆心到直线的距离为家[=2=r,

化简得至必=0,故尸一2；

另一条应为上不存在的情况，即x=2满足题意.

故答案为：x=2或y=-2.

四、解答题

10.已知直线/经过直线y—3=0和4x—3y—5=0的交点，且与直线无+y—2=0垂直.

(1)求直线/的方程；

⑵若圆C的圆心坐标为(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2小,求圆C的标准方程.

f2x—y—3=0,

解(1)由已知得〃.<八

14龙一3厂5=0,

[x=2,

解得

3=1，

两直线交点为(2,1).

设直线/的斜率为ki,

•.,直线/与x+y—2=0垂直，：.ki=\,

;直线/过点(2,1),

.•.直线/的方程为y—1=尤一2,即x—y—1=0.

(2)设圆的半径为r,依题意，得

13一11

圆心(3,0)到直线无一y—1=0的距离为'9二巾,

则由垂径定理得^=(V2)2+(A/2)2=4,：.r=2,

•••圆的标准方程为(x—3)2+y2=4.

11.(2324高二下•四川.阶段练习)已知圆C和直线4：2x-y-4=04：x-y-2=0,若圆C的圆心为(0,0),且圆C经

过直线乙和4的交点.

⑴求圆C的标准方程；

⑵过定点(1,2)的直线/与圆C交于跖N两点,且MN=20求直线/的方程.

【答案】(1)/+丁=4

⑵x=l或3尤-4y+5=0.

【分析】(1)根据题意联立直线乙和4的直线方程，求得交点(2。，进而求得半径r=42-0)2+(0-Of=2,即可得

解；

(2)根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线/的距离1=厂哼讨论直线/的斜率不存在和存在两种情况进

行讨论，即可得解.

[2x-y-4=0fx=2

【详解】(l)首先由，c可得八，

[x-y-2=0[y=0

所以直线6和4相交于点(2,0),

所以圆C的半径r=J(2-0y+(0一OY=2,

所以圆C的标准方程为X2+/=4.

(2)当直线/的斜率不存在时，方程为x=l,代入圆C方程为尤2+^=4可得y=±石，

此时ACV=2g,符合题意，

当直线/的斜率存在时，设直线方程为y=左。-1)+2,

根据题意圆心到直线/的距离为d=b(苧2=耳与=1,

\-k+2\3

所以「一=1,解得左=[,此时直线方程为3尤-4y+5=0,

W+l4

所以直线/的方程为x=l或3x-4y+5=0.

12.(2324高二上.新疆喀什•期末)已知直线/过点尸(3,1),圆C:(x-iy+(y-2)2=25.

⑴证明：直线/与圆C相交；

(2)求直线/被圆C截得的弦长的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)475

【分析】(1)由尸(3.1)在圆的内部，可得直线/与圆相交.

(2)根据当直线/与尸C垂直时，弦长最短，求得答案.

【详解】⑴把P(3』)代入圆的方程左边得(3-以+(1-2)2=5<25,

，P(3,1)在圆的内部，所以直线/与圆相交.

(2)已知圆心C。,2),r=5,设直线/与圆C相交于点AB,

当直线/与PC垂直时，弦长最短，此时圆心到直线/的距离d=|PC|={(3-1)2+(1-2)2=非,

2

[q=r2_^2=5-5=20,

:.\AB\=4-j5.

所以直线/被圆C截得的弦长的最小值为

【能力提升】

一、单选题

1.(2324高二上广西南宁•阶段练习)若直线y=x+，W与圆(x+l)2+(y+2)2=3交于两点，且|AB|=2,则加=()

A.-1B.-3C.1D.-3或1

【答案】D

【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线y=x+机的距离，再利用点线距离公式得到关于加的方程，解之即可得解.

【详解】根据圆的标准公式可知圆的圆心为（-1,-2）,半径为厂=6,

因为|AB|=2,所以圆心到直线y=的距离为6/==J3—1=V2，

又直线V=x+%可化为x-y+〃z=°,

I―1+2+1_

则d=------==---=\]2,解得帆二-3或机=1.

及

故选：D.

2.（2324高二上•江苏连云港•期中）圆尤2+丁-以=0在点网1,一百）处的切线方程为（）

A.x+J3y+2=0B.x+>/3y—4=0

C.x->/3j+4=0D.x-伤+2=0

【答案】A

【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可.

【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程/：y+6=Mx-i）,

易知圆心A（2,o）,半径r=2,所以A到/的距离为1=1^-r=2，

解之得上=一且，即切线/:尤+gy+2=0.

3

故选：A

3.（2324高二上•吉林长春・期末）已知圆（x-2）2+（y-l）2=5,过点尸（L3）作圆的切线，则该切线的一般式方程为（）

A.九+2丁一7二。B.x-2y+5=0

C.2x+y-5=0D.2x-y+1=0

【答案】B

【分析】由题意点尸(1,3)在圆上，故由直线CP的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解.

【详解】因为圆(x-2)2+(y-1)?=5的圆心坐标为C(2,1),且点P(l,3)的坐标满足(1_2>+(3-1-=5,

1-311

这表明点尸(L3)在圆上，所以直线CP的斜率为无CP=?4=-2,过点尸(1,3)的切线的斜率为一厂=不，

2-1kCP2

所以该切线方程为y-3=1(x-l),化为一般式得x-2y+5=0.

故选：B.

4.(2324高二上•天津武清.阶段练习)已知过点?已⑼的直线与圆口-仔+产二期相切，且与直线x-冲+1=0平行,

则。=()

A.2B.—3C.—D.—

22

【答案】B

【分析】设过点尸(2,3)的直线的方程为y-3=k(x-2),由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列

出关于「的方程，求出方程的解得到人的值，由切线与x-砂+1=。平行，可得答案.

【详解】已知过点P(2,3)的直线与圆(x-1)2+9=10相切，

将点P(2,3)代入圆(尤_炉+/=10恒成立，

则点P在圆上.即过点P(2,3)的直线与圆(x-1,+V=10相切的切线只有一条，

令过点尸(2,3)的切线的方程为y-3=k(x-2),即依-y-2左+3=0,

由此切线与尤-―+1=。平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，

可得左」且3+3」

aa

\k-0-2k+3\f—

由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径-=一,'=回,

在+女2

k=,艮fla=—3.

3

故选：B.

二、多选题

5.（2324高二上•云南昆明•阶段练习）已知圆〃的方程为（x-l『+（y+2）2=l,则关于圆M的说法正确的是（）

A.圆心M的坐标为（1,-2）

B.点呜在圆加内

C.直线x+y=O被圆/截得的弦长为走

2

D.圆〃在点（1,-1）处的切线方程为y=-l

【答案】ABD

【分析】由圆的标准方程即可判断A,根据点与圆的位置关系即可判断B,根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求

解弦长判断C,根据点的位置即可判断切线与x轴平行，即可判断D.

【详解】由圆M的方程为（x-iy+（y+2）2=l,知其圆心为（1,-2）,半径为1,故A正确；

点呜，一》到点（1'一2）的距离为一1]+2；=*1,故B正确；

点-2）到x+y=。的距离为所以2J'—O,故C错误;

因为（1-1）2+（-1+2『=1,所以点（1,-1）在圆M上，

而点（1,-1）与圆心（1,-2）在垂直于坐标轴X的直线上，

所以圆M在点。,-1）的切线直线与无轴平行，其方程为y=-i,故D正确.

故选：ABD.

6.（2324高二下.四川雅安.开学考试）已知圆C:尤2+9+6..-+4=0,直线（a+l）x+纱+1=0,贝!J下歹！J选项正确

的是（）

A.直线/恒过定点（-M）

B.直线/与圆C可能相切

C.直线/被圆C截得的弦长的最小值为4

D.当“=3时，圆C上到直线/距离为2的点恰有三个

【答案】ACD

【分析】对A,整理方程可得(x+y)a+x+l=0,再令=0求解即可；对B,由点在圆C内部判断即可；

对C,设点为。，根据当C。，/时，直线/被圆C截得的弦长最小求解即可；对D,代入〃=3,求解圆心C到直

线/的距离判断即可.

【详解】圆C:(x+3y+(y_2)2=9,故该圆半径为3.

对A,直线/:(a+l)x+做+1=0的方程整理可得(x+y)a+x+l=0,

fx+1=0,[x=—1,/、

由3y=0,得[y=]即直线/恒过定点(一1,1),故A正确.

对B,因为点在圆C内部，所以直线/与圆C不可能相切，故B不正确.

对C,设点(-U)为。，当C。，/时，直线/被圆C截得的弦长最小.

因为侬="(-3+1)2+(2-iy=石,所以直线/被圆C截得的弦长的最小值为2荷-(以牛=4,故C正确.

对D,圆心C(-3,2),半径为3,当。=3时，直线/的方程为4x+3y+l=0.

因为圆心C到直线/的距离为2X4+3X2+1]=],所以圆c上到直线/距离为2的点恰有三个，故D正确.

5

故选：ACD

三、填空题

7.(2324高二上.福建漳州.期末)圆。:炉+9=4在点(1,后处的切线方程为.

【答案】x+百y-4=0

【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.

【详解】由题意可知：圆。：，+y=4的圆心为0(0,0),

因为点(1,6)在圆O：f+y2=4上，故切线必垂直于切点与圆心连线,

而切点与圆心连线的斜率为正2=6,故切线的斜率为—3,

1-03

故切线方程为：y-^3=———（x-1）,艮口无+若y_4=0.

故答案为：x+y/3y-4=0

8.（2324高二上.河南南阳•阶段练习）若方程疝1有实数解，则实数机的取值范围

【答案】［-4,40］

【分析】分析可知，直线，=彳+%与曲线y=向/有公共点，求出当直线y=x+%与圆/+>2=16相切，且切点在

第二象限时加的值，以及直线>=彳+帆过点（4,0）时机的值，数形结合可得出实数机的取值范围.

【详解】由J16—母—x—~=0可得x+〃z=J16—x?，

则直线y=x+/与曲线y=J16-f有公共点,

由y=J16-x?20可得—+/=16（y>0）,

所以，曲线丫=而，表示圆龙2+产=16的上半圆，如下图所示:

解得m=40,

当直线y=x+%过点（4,0）时，机+4=0,可得初=T,

由图可知，当4A历时，直线只=*+7篦与曲线y=J16--有公共点,

因此，实数机的取值范围是卜4,4忘］

故答案为：卜4,4夜］.

9.（2324高二上•海南省直辖县级单位•期末）过点尸（2,1）作圆。:/+9=1的切线/,则切线/的斜率为

【答案】。或:4

【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得.

【详解】当直线/斜率不存在时，直线/为x=2,

此时圆心（0,0）至IJ/的距离d=2-r,故不符，

当直线/斜率存在时，设直线/为y=M》-2）+l,

即kx—y—2k+1=0,

此时圆心（0,0）到/的距离d==1，

,4

即3%2-4%=0,即左=0或§.

故答案为：0或

四、解答题

10.（2324高二上•湖北•期末）已知圆C:W+y2=2.

（1）过点A（1,T）作圆C的切线，求切线的方程；

⑵若直线/过点尸且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

［答案］⑴尤_y_2=o

（2）犬=-1或3%-4，-5=0

【分析】（1）通过两直线垂直斜率之间的关系求出切线斜率，即可得出切线的方程；

（2）分类讨论直线斜率是否存在，通过点到直线距离公式结合勾股定理即可求出直线方程.

【详解】（1）由题意即图知，切线斜率存在,

在圆C:f+y2=2中,圆心(0,0),半径0;

点在圆上，设切线斜率为左

-1-0

所以=

1—0

解得％=1,

故切线方程为x——=0.

(2)由题意,

当直线斜率不存在时，直线与圆交于(-1,1),(-1,-1),弦长恰好为2,

直线x=-l满足条件，

当直线斜率存在时，设/：丁+2=左(％+1),gpkx-y+k-2^0,

\k-2\

则圆心到直线距离1=方。

J1+左2

所以在ABOC中，由勾股定理得,

所以直线/方程为：3x-4y-5=0,

综上，直线/的方程为x=—l或3尤一4y-5=0.

11.（2324高二上.北京•期中）已知圆C过原点。和点A（l,3）,圆心在尤轴上.

⑴求圆C的方程；

（2）直线/经过点（1/），且/被圆C截得的弦长为6,求直线/的方程.

【答案】（l）（x-55+y2=25

（2）%=1或15x-8y-7=0

【分析】（1）设圆C的圆心坐标为（4,0）,由已知列出方程，求得。，进而求得半径，即可得出结果;

（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.

【详解】（1）设圆C的圆心坐标为（4,0）.依题意，在77奇=府万万，解得a=5

从而圆C的半径为厂=病仔=5，所以圆C的方程为（x-5）2+/=25.

（2）依题意，圆C的圆心到直线/的距离为4,

显然直线x=l符合题意.

当直线/的斜率存在时，设其方程为丫-1=左（左-1），即日-