浙江省中考数学考前冲刺复习：二次函数大题综合（原卷版+解析）

07二次函数大题综合

1.（2023•统考二模）二次函数＞=加+乐+3（*0）的图象经过点4（1,0）,3（3,0）.

（1）求该二次函数的表达式和对称轴.

（2）设P（私%）,+L%）（根＞2）是该二次函数图象上的两点.当％WrWm+1时,函

数的最大值与最小值的差为5,求m的值.

2.（2023•浙江•模拟预测）已知二次函数y=-4«u-4（〃冲0且加为常数）与＞轴

交于点A,其对称轴与x轴交于点2.

⑴求点A，B的坐标；

（2）若m＜-2,判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；

（3）若方程32-4〃a-4=0（〃件0）有两个不相等的实数根，且两根都在1,3之间（包

括1,3）,结合函数的图象，求加的取值范围.

3.（2023•浙江•模拟预测）已知二次函数y=Y-（a+2）x+2a+l,

（1）若。=4,求函数的对称轴和顶点坐标.

（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与无轴只有一个交点，求。的值.

（3）若抛物线过点（T%）,且对于抛物线上任意一点（4，珀都有yT%,若点

A（见”）,8（2-加,p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞-8.

4.（2023•浙江宁波•统考三模）如图，已知二次函数y=g--x+c的图象经过点

（1）求该二次函数的表达式.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

（3）点。（见，。在该二次函数的图象上，若试根据图象直接写出机的取值范围.

5.（2023•浙江湖州•统考一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策,

本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴.已知某种

品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量》（件）与销售单

价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+9OO.

（1）若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元？

（2）设获得的销售利润（不含政府补贴）为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获

得最大销售利润？

（3）若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，

求该月销售单价的最小值.

6.（2023•浙江•模拟预测）已知二次函数）=依2+2%+1（。工0）.

（1）若试求该二次函数图象与x轴的交点坐标.

⑵若该二次函数图象的顶点坐标为（SJ）,求证：f=s+l.

（3）若。＜0,且当自变量尤满足OVxV”?时，-2WyW2,求相的值.

7.（2023•浙江宁波•统考一模）对于抛物线y=ox2-4x+3（a>0）.

（1）若抛物线过点（4,3）,

①求顶点坐标；

②当0WxV6时，直接写出》的取值范围为；

（2）已知当OVxVm时，lVyW9,求。和"z的值.

8.（2023•浙江•模拟预测）已知关于x的二次函数y=+23+九（m,〃为常数）.

⑴若二次函数图象经过A（l，0），3（2,0）两点，求二次函数的表达式；

（2）若〃?+力=1,试说明该函数图象与无轴必有两个不同的交点；

⑶若小一14*4〃7+左（左>。）时，函数的最大值为p,最小值为q,且0-4=3左，求左

的值.

9.（2023•浙江•模拟预测）在直角坐标系中，设函数丁=办2+法+。（a,b,c是常数,

〃。0）.

（1）当〃=—1时，

①若该函数图象的对称轴为直线x=2,且过点（1,4）,求该函数的表达式；

②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c<^-；

4

（2）已知该函数的图象经过点（小m）,（n,n）（m^n）.若bvO,m+n=3,求〃的取

值范围.

掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键.

10.（2023•浙江杭州•统考一模）二次函数y=ox?+。0）与无轴交于A（l,0）,

两点.

(1)当a=1,匕=2时，求机的值.

(2)当0<a<2,c=2时，

①求证：jn>1.

②点。(玉,乂),。(*2，%)在该抛物线上，且为>%，为+%<2,试比较为与%的大小.

11.(2023•浙江宁波•统考一模)乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺

以白糖黄糖，蒸制而成.因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”.某商店销售乌

馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y(盒)是销售单价x(元/盒)的一

次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高

于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利

(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗.端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈

顾客.在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润

为1480元？

(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润.

12.(2023•浙江绍兴•统考一模)如图，二次函数y=Y+办+》的图像与直线y=-x+3

的图像交于A,8两点，点A的坐标为(-4,7),点8的坐标为(1,2).

(1)求二次函数>=/+依+6的表达式.

(2)点M是线段A3上的动点，将点M向下平移h{h>0)个单位得到点N.

①若点N在二次函数的图像上，求〃的最大值.

②若力=4,线段与二次函数的图像有公共点，请求出点M的横坐标机的取值范围.

13.(2023•浙江台州•台州市书生中学统考一模)几何画板具有绘图功能，可以方便地

绘制一个动态函数>=⑪2+法+。的图象，并可通过改变系数。也c的值来探索函数图象

的相关性质.步骤如下：

步骤一：在平面直角坐标系中，点A,B,C为无轴上的三个动点，横坐标分别记为。，

b,c,JEL0<O<Z><C；

步骤二：绘制函数丁=加+法+c的图象；

例:如图，当点A,B,C分别移动到(1,0),(2,0),(4,0)的位置时,相应的。=1,匕=2,°=4,

此;时函数解析式为y=x2+2x+4.

步骤三：任意移动A,B,C三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变.

⑴当点4氏C分别移动到(0,0),(2,0),(4,0)的位置，则函数解析式为,函数图

象与无轴的交点坐标为;

(2)若点AC分别移动到(0,0),(4,0)的位置，函数>=依2+法+。的图象与x轴的交点为

D(m,0),求优的取值范围；

(3)在点A的移动过程中，

①若点C移动到(4,0)的位置，且满足AB=3C,此时函数y=a?+bx+c的最小值为§,

O

求点B的坐标；

②若满足03=左.。。,。4=公。3(女为常数)，试判断函数y=o?+灰+。的值能否达

到手？请说明理由.

4

14.(2023•浙江杭州•统考一模)二次函数尤-2)2-2a(分0)的图象与y轴的交点

为(0,1).

⑴求。的值.

(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值.

(3)对于任意实数匕规定：当-时，关于无的函数%=%-质的最小值记作：

%，求X的解析式.

15.(2023•浙江温州•统考二模)如图，y=-x2+mx+3(〃?>0)与y轴交于点C,与x

轴的正半轴交于点K,过点C作CB〃x轴交抛物线于另一点8,点。在x轴的负半轴

上，连接5。交y轴于点A,若AB=2AD.

⑴用含机的代数式表示8C的长.

(2)当机=2时，判断点。是否落在抛物线上，并说明理由.

(3)过点B作成〃y轴交无轴于F,延长所至E,使得匹=gBC,

连接。E交V轴于

点G,连接AE交无轴于M.若ADOG的面积与AMFE的面积相等,求加值.

16.(2023•浙江金华•统考一模)如图1,某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个

垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线.如图2,以喷水池中心。为原

点，水平方向为无轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为

(0,设抛物线的函数表达式中二次项系数为a.

图1

(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米.

①若年1时，求第一象限内水柱的函数表达式.

②用含f的代数式表示(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，。与f

1Q

之间满足4々-3/+2=0,且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度.

①求改造后水柱达到的最大高度.

②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求f的取值范围.

17.（2023•浙江绍兴•统考一模）在平面直角坐标系尤0y中，已知抛物线y=--2fx+l.

（1）求该抛物线的对称轴（用含/的式子表示）；

⑵若点M（r-2,m）,N（r+3,在抛物线丫=/-2a+1上，试比较7”,〃的大小；

（3）P（“％）,Q（X2,%）是抛物线＞=x2-2江+1上的任意两点，若对于-14再＜3且

%=3,都有％（必，求t的取值范围；

（4）P（t+l,%）,。（2/-4,%）是抛物线y=/—2a+l上的两点，且均满足％求

r的最大值.

18.（2023•浙江台州•统考一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能

比赛.如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和:15m的点8处，各设置了一个火源,

消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离

忽略不计）.第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最

大高度为16m,水流的最高点到高楼的水平距离为4m,建立如图所示的平面直角坐标

系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：y=a（x-hf+k.

(1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式;

(2)待A处火熄灭后，消防员前进2m到点。处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所

在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点8处，并说明理由；

(3)若消防员站在到高楼的水平距离为Um~l2m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状

发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m,当-gw。V-g时，求水流到达

墙面高度的取值范围.

19.(2023•浙江绍兴•统考一模)如图1,有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的

水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离

⑵求支柱"N的长度.

(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小.一艘货船在水面上的部分的横截面是

边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你

的理由.

20.(2023•浙江湖州•统考一模)如图，抛物线y=g(x+/)(x+-5)与x轴的交点为8,

3

A(8在A左侧)，过线段Q4的中点M作M尸，x轴，交双曲线y=-,无＞0)于点P.

（1）当r=l时，求AB长；

⑵当点/与对称轴之间的距离为2时，求点尸的坐标.

（3）在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线x=2和x=4之间时（不包括边

界），求f的取值范围.

21.（2023•浙江嘉兴•统考一模）如图，已知抛物线y=-=/+：x+3交无轴的正半轴

44

于点A,交y轴于点2,动点。（加,0）（。＜根＜4）在无轴上，过点C作x轴的垂线交线段AB

于点。，交该抛物线于点尸，连接。尸交AB于点E.

（1）求点A,B的坐标.

（2）当机=2时，求线段PE的长.

（3）当ABOE是以防为腰的等腰三角形时，求机的值.（直接写出答案即可）

22.（2023•浙江湖州•统考一模）一张矩形纸片A3CD（如图1）,AB=6,AD=3.点

E是BC边上的一个动点，将AABE沿直线AE折叠得到△AEF,延长AE交直线。于

点G,直线AF与直线CO交于点。.

初步探究

(1)求证：AAQG是等腰三角形；

(2)设/。=加，当BE=2CE时，计算"Z的值；

深入探究

(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中(如图2所示)，点8与点。重合，边OC、Q4分

别与x轴、y轴正半轴重合.点打在0C边上，将△AOH沿直线折叠得到VAPH.

①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；

②在①的条件下，己知二次函数＞=-/+6x+c的图象经过A、。两点.若将直线A"右

侧的抛物线沿对折，交y轴于点请求出AM的长度.

23.(2023•浙江丽水•统考一模)某天，小明在足球场上练习“落叶球”(如图1),足球

运动轨迹是抛物线的一部分，如图2,足球起点在A处，正对一门柱C。，距离AC=12m,

足球运动到B的正上方,到达最高点2.5m,此时A5=10m.球门宽=5m,高CD=2m.

(1)以水平方向为尤轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式.

(2)请判断足球能否进球网？并说明理由.

(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰

好在点E处进入球网.若离A点8m处有人墙GH,豆GH//CF,人起跳后最大高度为

2.2m,请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由.

解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

24.(2023•浙江杭州•杭州育才中学校考一模)己知函数y=62+(l-3a)x-4(0是常

数，且。中0).

(1)若点(L-1)在二次函数v的图象上，

①求该函数的表达式和顶点坐标；

②若点和Q(5,〃)在函数的图象上，且相＜〃，求马的取值范围；

(2)若函数y的图象过(孙幻和(范，％)两点，且当&时，始终都有%＞上，求

a的取值范围.

3

25.(2023•浙江金华•校联考模拟预测)如图，直线y=]X+3与x轴、y轴交于点A、C,

抛物线＞=-3/+云+。经过点A、C,与无轴的另一个交点是8,点尸是直线AC上的

一动点.

(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；

(2)如图1,求当OP+PB的值最小时点P的坐标；

(3)如图2,过点尸作功的垂线交y轴于点。，是否存在点P,使以尸、D、8为顶点的

三角形与AAOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图1,抛物线＞=3/+&+。（°＜0）与x轴交于A,

B两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,过点。作8〃彳轴，与抛物线交于另

一点。，直线8C与AD相交于点

⑴已知点C的坐标是（0,-4）,点8的坐标是（4,。），求此抛物线的解析式；

（2）若6=；c+l,求证：AD1BC；

（3）如图2,设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G,点尸是抛物线上在对称轴

右侧部分的一点，点P的横坐标为r,点Q是直线8C上一点，是否存在这样的点P,

使得△尸GQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足NGQP=NOC4,若存在，请直

接写出f的值；若不存在，请说明理由.

27.（2023•浙江•模拟预测）已知抛物线y=

（1）当抛物线过点（2,1）时，求抛物线的表达式：

（2）抛物线上任意不同两点都满足：当王＜Z＜。时，

（王―%）（%—%）＞。；当。＜玉＜电时，（尤1一々）（乂一%）＜。，试判断点尸（2，-9）在不在

此抛物线上；

（3）抛物线上有两点E（0,〃）,尸（6,加），当bW-2时，mV”恒成立，试求。的取值范围.

利用抛物线的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质进行求解，是解题的关键.

28.（2023•浙江杭州•模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=存在

两点4（切一1,%）,B（m+2,y2）.

（1）求抛物线的对称轴；（用含机的式子表示）

（2）记抛物线在A,8之间的部分为图象尸（包括A,8两点），,轴上一动点C（O,a）,

过点C作垂直于，轴的直线/与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；

⑶若点”（2,%）也是抛物线上的点，记抛物线在A,V之间的部分为图象G（包括M,

A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为心若叱卜-％|，求

m的取值范围.

熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键.

29.（2023•浙江温州•校考一模）如图，已知二次函数图像与x轴交于点A（-3m,O）,5（1,0）,

交y轴于点C（0,2m）（m>0）.

（1）当爪=1时，求抛物线的表达式及对称轴；

2

（2）P为抛物线在第二象限上的一点，成交抛物线对称轴于点。.若tan/PA4=g,

PD=^DB,求优的值.

30.（2023•浙江舟山•统考一模）已知二次函数丁二办之+乐+K〃w0）.

⑴若，=-1,且函数图象经过（0,3）,（2,-5）两点，求此二次函数的解析式；并根据图

象直接写出函数值y23时自变量》的取值范围;

（2）在（1）的条件下，已知抛物线y=/+6尤+。（。彳0）与无轴交于A,8两点（点A

在点B的左侧），将这条抛物线向右平移相（加>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交

于C,D两点（点C在点。的左侧），若3,C是线段AD的三等分点，求机的值.

（3）己知a=b=c=l,当x=",q（0,g是实数，。卢4）时，该函数对应的函数值分

另1J为尸，Q.若P+4=2,求证尸+Q>6.

07二次函数大题综合

1.(2023•统考二模)二次函数》=加+为+3("0)的图象经过点A(1,O),8(3,0).

(1)求该二次函数的表达式和对称轴.

⑵设尸(根,％),。(机+1,刈)(加>2)是该二次函数图象上的两点.当相时，函数

的最大值与最小值的差为5,求加的值.

【答案】⑴y=f_4x+3,x=2

(2)m=4

【分析】(1)根据待定系数法求解析式，进而化为顶点式，求得对称轴即可求解；

(2)根据m>2,则当根时，y随着x的增大而增大，分别求得最小值与最大值,

根据题意列出方程解方程即可求解.

【详解】(1)解：将点4(1,0),3(3,0)代入>=加+及+3(»0),

.(a+b+3=0

^[9a+3b+3=Qf

[〃=1

解得：7/

[b=-4

・・y=%?—4x+3=(%-2)-1,

**-y=—4x+39对称轴直线1=2对称.

(2)*/m>2,

J当相WxWm+l时，y随着x的增大而增大，

；•y最大=(〃?+1)2-4(m+1)+3，

y最小=，/一4m+3.

V函数的最大值与最小值的差为5,

+—4（m+l）+3—m2+4m—3=5,

...加=4.【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数

的性质是解题的关键.

2.（2023•浙江•模拟预测）已知二次函数y=:依2一4/7式-4（机/0且优为常数）与y轴交于

点A,其对称轴与x轴交于点8.

⑴求点A,B的坐标；

（2）若初<-2,判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；

（3）若方程M—4皿-4=0（m/0）有两个不相等的实数根，且两根都在1,3之间（包括1,

3）,结合函数的图象，求机的取值范围.

【答案】⑴（0T）,（2,0）；

（2）第一象限，理由见解析；

4

（3）--<m<-l.

【分析】（1）根据题中的条件求解即可；

（2）把二次函数解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可求解；

2

（3）根据条件可知，b-4ac>Q,求出机的取值范围，再根据方程*2一4皿-4=0的两

根都在1,3之间，即可求解.

【详解】（1）解：由题意可得：令尤=0,得到y=T,

的坐标为（0,-4）,

对称轴尤=一==2,所以5的坐标是（2,0）.

2a

（2）解：y=mx2-4mx-4

=m(x—2)2—4m—4.

•••二次函数的顶点坐标是（2,Tm-4）,

当“2<—2时，-4m>8；

可得：-4m-4>4,

•••二次函数图象的顶点位于第一象限.

（3）解：•••方程如2-4如-4=0（〃存0）有两个不相等的实数根，

b2~4ac=16m2+16m>0,解得：m>Q^m<—l,

方程处2—4〃11y一4=。的两根都在i,3之间，可得二次函数》=〃认2-4如:-4的图象与x轴

交点的横坐标在1,3之间.

4

当相>0时，由题意知相一4加一4>0,解得用<一§,不符题意；

44

当相<一1时.由题意知利—4m一4v0,解得根2—,—<m<-l；

33

4

综合上述：-

【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活运用所学知识是解题的关键.

3.（2023•浙江•模拟预测）已知二次函数,=%2一（〃+2）%+2〃+1,

（1）若。=4,求函数的对称轴和顶点坐标.

（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与I轴只有一个交点，求。的值.

（3）若抛物线过点（T%）,且对于抛物线上任意一点（入,匕）都有%,若点

是这条抛物线上不同的两点，求证：〃+p>-8.

【答案】⑴龙=3,（3,0）

⑵a=2

（3）见详解

【分析】（1）将。=4带入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案;

(2)根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与无轴只有一个交点建立

方程，解方程即可得到答案；

(3)由题意可得(T,%)为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为》=-1,从而计算出a

的值，再将A(加,*8(2-加,p)带入如抛物线的解析式得到“+p=2(〃?-l)2-8,即可得到答

案.

【详解】(1)解：：a=4,

y=%?_(4+2)x+8+1,

y=x2-6x+9,

・・・y=(%—3)2,・••函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线x=3,(3,0)；

(2)解：函数图象向下平移一个单位得y=/—(〃+2)工+2〃+1-1,

y=/—(〃+2)x+2a与x轴只有一个交点，

A=(a+2)2—4x2a—0,

解方程得：a=2；

(3)解：•.•抛物线过点(T%),且对于抛物线上任意一点(知元)都有32%,

A(-1,%)为抛物线的顶点，

二抛物线的对称轴为工=-1,

2

a=—4,

抛物线为：y=x2+2x-7,

,:A(m,ri),B(2-m,p)在抛物线上,

n=m2+2m—7,p+2（2—m）—7,

n+p=Z7?+2根一7+(m—2)2+2(2—m)—7,

n+p—2(m—l)2—8,

VA(m,*B(2-m,p)是这条抛物线上不同的两点,

m1

.•.〃+.>—8.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式

的性质.

4.（2023•浙江宁波•统考三模）如图，已知二次函数y=-x+c的图象经过点

⑴求该二次函数的表达式.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

（3）点0机,〃）在该二次函数的图象上，若"N6,试根据图象直接写出，”的取值范围.

13

【答案】（1）丁=5%2一%一5；

（2）（1,-2）；

⑶m<一3或加25时.

【分析】（1）将点玖-3,6）代入函数解析式即可求解;

b

（2）由函数解析式依据x=-<可求得顶点横坐标，将横坐标代入解析式即可求得顶点纵

2a

坐标；

(3)依据对称性求得P(-3,6)关于对称轴的对称点为(5,6),点。(孙〃)在二次函数的图象上，

S.n>6,故在尸(-3,6)与(5,6)两侧，即可求解.

【详解】(1)解：二次函数-x+c的图象经过点尸(-3,6),

1

.*.6=-x(-3)9-(-3)+c,

3

解得：c=-p

y=-1x2-x——3：

22

(2)由(1)可知，

1Q丫—-1_1

函数》=5必-x-；对称轴即顶点横坐标为：73一，

2

13

当x=l时J=—xl2-1=-2,

'22

故顶点坐标为：(1,-2)；

13

(3)由(2)可知，函数y=一无一/开口向上，对称轴为直线彳=1,

产(-3,6)在函数图象上，

故尸(-3,6)关于对称轴*=1的对称点为(5,6),

点在二次函数的图象上，且〃》6,

故Q(m,n)在尸(-3,6)与(5,6)两侧，

即当机V-3或机25时，n>6.

【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数的图象和

性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.

5.(2023•浙江湖州•统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市

企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴.已知某种品牌服装

的成本价为每件io。元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价%(元)之

间的关系近似满足一次函数：y=-3x+9OO.

(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元？

⑵设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最

大销售利润？

(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求

该月销售单价的最小值.

【答案】⑴8400元

(2)200元

(3)140元

【分析】(1)把x=160代入y=-3x+9OO,求出销售的件数，从而得到政府补贴金额；

(2)根据总利润=数量x单件利润列出函数关系式，再利用二次函数的最值求解；

(3)每月获得的总收益为列出函数关系式，再令M=28800,求出x值，结合函数的

性质得到最小值.

【详解】(1)解：在y=-3x+9O。中，令彳=160,则y=420,

/.政府这个月补贴420x20=8400元；

(2)由题意可得：w=(-3x+900)(%-100)=-3(A:-200)2+30000,

V«=-3<0,

...当x=200时,w有最大值30000.即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000

元.

(3)设每月获得的总收益为

由题意可得：^=(-3%+900)(%-100)+20(-3%+900)=-3(%-190)2+36300,

令M=28800,贝!|-3(x-190y+36300=28800,

解得：x=140或x=240,

•/a=-3<0,则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190,

.•.当1404x4240时，w>28800,

该月销售单价的最小值为140元.

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数

的性质以及二次函数最值的求解，此题难度不大.

6.(2023•浙江•模拟预测)已知二次函数丁=加+2工+1("0).

(1)若a=g,试求该二次函数图象与x轴的交点坐标.

(2)若该二次函数图象的顶点坐标为(sj),求证：r=s+l.

(3)若a<0,且当自变量无满足OWxW机时，—2WyW2,求机的值.

【答案】⑴卜2+也0),「2-£0)

(2)见解析

⑶机=3

【分析】(1)将a=g代入y=〃+2x+l(aw0),令y=0,解一元二次方程即可求解；

⑵根据顶点坐标公式，得出$=-白=」，t==即可得证；

2aa4。a

(3)①当机<-工时，最小值为'=1,不合题意，②当/n>-L最小值为工=利时，，=-2,

aa

根据题意得出。=-1,进而将点(加,-2)代入得，一2=-苏+2租+1,解方程即可求解.

【详解】(1)解：将■代入y=o%2+2x+l(aH。)

10

即y=]%2+2%+1,

当y=。时，0=万％?+2x+1角牟得：Xy——2+V2,x2=—2—V2

・・・该二次函数图象与x轴的交点坐标为卜2+后,0),卜2-60)

(2)解：:y=冰2+2%+1(〃。0)图象的顶点坐标为(s"),

.214。一41I

..s=---=—,t=--------=I—

2aa4aa

，=s+l

(3)解：；a<0,则对称轴为直线％=-工>0,

a

自变量x满足O4小时，一2WyW2,

y=m：2+2x+l(awO),当x=0时，y=l,

在对称轴左侧，y随工的增大而增大，

①当机<-,时，最小值为y=i,不合题意，

a

②当加〉—工，最小值为％=根时，y=-2,

a

,ll

取a大值为了=—时，y=l—=2,

aa

••ci——I,

・••抛物线解析式为：y=~x2+2x+1,

将点(私-2)代入得,—2=-m2+2m+1，

解得：叫=T,吗=3,

*.*m>—,即力>I,

a

••YYI—3.

【点睛】本题考查了求抛物线与X轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质

是解题的关键.

7.（2023•浙江宁波•统考一模）对于抛物线^=依2-4*+3（。＞0）.

（1）若抛物线过点（4,3）,

①求顶点坐标；

②当ovxv6时，直接写出y的取值范围为；

（2）已知当时，lVyV9,求a和加的值.

【答案】⑴①（2，一1）；②一lWyW15（2）a=2,根=3

【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出

答案；

②先确定抛物线的对称轴为直线x=2,y最小=T,再确定当犬=0时，y=3,当x=6时，

y=15,比较函数值的大小即可得出答案；

（2）先确定抛物线与＞轴交点坐标为（。，3）,而当OWxW机时，y49,从而可得出y最小=1,

利用顶点纵坐标公式可求出此时当工=加时，可得V最大=9,建立方程解之即可.

【详解】（1）解:®VifeWay=^2-4x+3（a＞0）a：^（4,3）,

.•.0x42-4x4+3=3,

解得:a=l,

y=x2-4x+3=（x-2）--1,

•••顶点坐标为（2，-1）；

②•••抛物线y=f-4x+3的对称轴为直线x=2,

当x=2时，y最小=-1,

当x=0时，y=3,

当x=6时，y=62-4x6+3=15,

当0VxV6时，》的取值范围为TWyW15.

故答案为：-lWyW15.

(2):抛物线y=G?-4x+3(a>0)

当x=0时，y=3,

...抛物线与>轴交于点(0,3),

•当OVxWm时，l<y<9,

，抛物线经历先下降再上升的过程，

4ax3-(-4)2[a=2[a=2

A4a，解得：。或,(舍去)，

cm=3\m=-l

am"-4m+3=9

.,.(7=2,〃z=3.

【点睛】考查二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，掌握二次函数

的性质是解题的关键.

8.(2023•浙江•模拟预测)已知关于x的二次函数、=-/+2〃a+/(m,〃为常数).

(1)若二次函数图象经过A(l,0),3(2,0)两点，求二次函数的表达式；

(2)若机+〃=1,试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；

(3)若mTWxW〃?+Mk>°)时，函数的最大值为P，最小值为4，S.p-q=3k,求人的值.

【答案】⑴y=*+3x-2

(2)见解析

(3次的值为g或3

【分析】(1)利用待定系数法求解析式；

(2)由m+n=l^n=l-m,代入得函数解析式为y=+23+1-机,求出判别式即可

判断;

(3)确定抛物线的对称轴为直线1=用，开口向下，最大值为小+〃，再分两种情况当

0(人＜1时，当左＞1时，求出左的值.

【详解】(1)将A(1,O),5(2,0)代入,=—/+2如+〃，得

—l+2m+n=0

-4+4m+〃=0'

.3

m=一

解得2,

n=-2

・•・次函数的表达式是y=-/+3%—2；

(2)Vm+n=1,

n=l—m,

函数解析式为y=-x2+2mx+1-m,*.*A=(2m)2—4x(—1)(1—m)=(2m—l)2+3,

(2m-l)2+3＞0,即A＞0,

该函数图象与x轴必有两个不同的交点；

(3)y=—x2+2iwc+n——^x—m)"+1T11+n,

...抛物线的对称轴为直线x=",,开口向下，最大值为M+”，

.•.当0＜左＜1时,

当X=W时有最大值力P+”，即p=〃?2+〃；

当无=加一1时有最〃、值,q=-(利-1)2+2〃z(wt-l)+〃=〃/+M-1,

,:p_q=3k,

m2+n—(/J?+"-1)=34，

解得人=：；

当上＞1时,

当％=根时有最大值疗+〃，即〃=疗+〃；

当％=m+左时有最小值，q=—(m+^)2+2m(m+^)+n=m2+n—k2,

*.*p-q=3k,

・••根2+〃一(根2+〃左2)=3左,

解得左=3或女=0(舍去)

综上，上的值为g或3.

【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图

象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键.

9.(2023•浙江•模拟预测)在直角坐标系中，设函数y=af+fcr+c(a,b,c是常数，awO).

(1)当。=一1时，

①若该函数图象的对称轴为直线x=2,且过点(1,4),求该函数的表达式；

②若该函数的图象与无轴有且只有一个交点，求证：b+4c<^

4

⑵己知该函数的图象经过点(切，”?)，(«>n)(m^n).若b<0,m+n=3,求a的取值范

围.

【答案】⑴①y=-f+4x+l；②见解析

(2)o>-

【分析】(1)①根据二次函数的对称轴公式即可求出。的值，再将(L4)代入该二次函数的

解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与无轴有且只有一个

交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出

A=^2-4X(-1)XC=0,整理为4c=一/,进而可求出6+4c=8-再配方，结合二次函

数的性质即可求解;

(2)将(加m),(%代入该二次函数解析式，^m—am2+bm+c,n=an2+bn+c

两式相减并整理得根-几=。(m-九)(帆+几)+。(根-几).结合题意可求出

m-n=(?)a+b)(m-n),根据根说明3a+Z?=l,即Z?=l—3〃.最后利用b<0,求出〃

的取值范围即可.

【详解】(1)解：①・・・。=—1,

该函数解析式为y=-x2+bx+c.

V该函数图象的对称轴为直线x=2,

bc

,--------=2

*,2x(-1)，

解得：b=4.

・・,该函数图象过点(1,4),

4=—I2+4+。,

解得：。=1,

该函数解析式为y=-炉+4x+1；

②;该函数解析式为y=-/+乐+°,且其图象与九轴有且只有一个交点，

.・・方程一%2+区+°=o有且只有一个实数解，

\=廿-4x(-l)xc=0,

整理，得：/?2+4c=0,即4c=—Z?2,「・b+4c=/?—=—(b—g]+；.

..1丫1.1

•—b——+—<—,

I2)44

.*./?+4c<—；

4

(2)解：•・,该函数的图象经过点(小m),(〃，n),

m—am2+bm+c,n=+c,

整理，得：m—n=a^m2—n2)+Z?(m—n),

:.m—n=a(m—n^{m+ri)+b{m—ri).

m+n=3，

/.根一〃=3a(m—〃)=(3a+b)(机一〃).

又♦:m丰n,

；・3a+b=l,即6=1-3〃.

•・"vO,

••1—3cl<0,

解得：">g,

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与％轴的交点问题，整式的加减，

分解因式等知识.掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键.

10.（2023•浙江杭州•统考一模）二次函数y=o?+b%+c（QwO）与X轴交于A（1,0）,BO,0）两

点.

（1）当4=11=2时，求机的值.

（2）当Ova<2,c=2时,

①求证：7Z7>1.

②点C（币%）,。（%2，%）在该抛物线上，且玉>%2，%+工2<2,试比较M与力的大小.

【答案】（1）—3；

（2）①见解析;（2）【分析]⑴当。=11=2时，y=x2+2x+c,把A（l,0）代入求得

c=-3,得到y=f+2%-3,把5（办0）代入y=炉+2]—3得，0=疗+2机-3,解方程即可

得到答案；

(2)①才巴A(l,0),3(根,0)代入y=Qx2+bx+c(QW0)得〃+b+c=o,〃加2+〃机十o=0,由。=2

得至！Ja+b+2=0,加？+/?帆+2=0进一步得。利之一(。+2)m+2=0,贝IJ

A=(«+2)2-4(7X2=(«-2)2>0,由。<〃<2,解方程求出m,即可判断.

②由①得人=一〃一2,c=2,贝！Jy=一(〃+2)X+2,把。(玉,凶),。(九2，%)代入得

2

y=axt-(6Z+2)X)+2,y2=ax；-(<2+2)x2+2,贝Ijyx-y2=(无一%2)[〃(%+%2)—(〃+2)],

由%>%,%1+%2<2,得到％-％2>0，,a(%+%2)—(a+2)<0,进一步即可得到答案.

2

【详解】(1)解：当。=11=2时，y=x+2x+cf

把41,0)代入得，0=1+2+。，

解得c=-3,

y=x2+2x-3,

把5(九0)代入y=f+2%—3得,0=m2+2m-3,

解得机=1或-3；

•.•二次函数y=a/+加；+或。w0)与x轴交于A(l,0),B(m,0)两点，

•*.m=—3；

(2)①把A(l,0),3(m,0)代入y=以2+bx+c(〃。0)得，

a+Z?+c=0,am2+bm+c=0,

•・・c=2,

「・a+h+2=0,am2+bm+2=0,

由人=一1一2得至1」4机2一(&+2)阳+2=0,

贝ljA=(a+2)2-4ax2=(q-2)2N0,二二」°+2)±八"2)_(a+2)±(a-2),

2ala

2

加！=1(舍去)，m=—,

2a

0VQ<2,

ZZ7>1.

②由①得/?=-〃-2,c=2,

y=ax2-(a+2)x+2,

把C(%,y),D(%,为)代入得，

2

yx=axi一(々+2)%]+2,y2=ax^-(tz+2)x2+2,

**.y-%=^X]2_(a+2)M+2_^cix2-(a+2)9+2]

=a(M+%2)_(a+2)(%i-x2)

二(跖+%2)-(a+2)],

玉>々，玉+九2<2,

Xi-x2>O,a(%i+%2)-(a+2)v2a-(a+2),

•.・0va<2,

**.2a—(a+2)=a—2Vo,

**.+w)-(Q+2)<0,

=(尤1-々，[。(为+尤2)-(a+2)]<0,

%<%.

【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题

意并准确计算是解题的关键.

11.(2023•浙江宁波•统考一模)乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白

糖黄糖，蒸制而成.因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”.某商店销售乌馒头，通

过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售

单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于2