2024-2025学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各组两个方程表示相同曲线的是(

)A.y=x，yx=1 B.y=x，y=x2

C.|x|=|y|，x2.“k∈(2,3)”是“方程y2k−2−x2k−4A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在商场A正东3公里处新落成一家商场B，其占地面积是A面积的23，研究表明，在仅考虑A和B两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度F受其面积S，及住户家离商场距离d的影响，满足关系：F=kSd2，其中k是大于0的常数，则相比于商场A，商场BA.椭圆的内部 B.双曲线右支的开口侧

C.抛物线的开口侧 D.圆的内部4.已知动圆C的方程为(x−cosθ)2+(y−sinθ)2=θ，其中θ为常数，θ∈[π,2π)，有下列两个命题：

①存在θ∈[π,2π)，使圆C与圆C1：(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1相切；

②对任意θ∈[π,2π)，直线l：xcosθ+ysinθ+1=0A.①②都为真命题 B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题 D.①②都为假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.直线x+3y+2=0与4x+2y−1=0的夹角是______．6.平行直线l1：3x−4y+1=0与l2：6x−8y+1=0之间的距离是______．7.若直线l的倾斜角θ的取值范围是(π2,2π38.过抛物线y2=4x的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线l与抛物线交于A、B两点，则|AB|=______．9.若圆x2+y2+6x−8y+25=λ与x10.已知点P在焦点为F1，F2的椭圆x245+y211.已知直线l1：(a+1)x+y+a=0，l2：x+(a+1)y+2=0，若l1//l12.已知O为坐标原点，若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在两点A13.直线l的方程为(λ+2)x+(2λ−1)y+(λ−3)=0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为______．14.等轴双曲线y=kx(k>0,k为常数)15.若点F1、F2是椭圆x24+y23=1的左、右焦点，P16.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，△AF三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题15分)

在△ABC中，边AB，AC上的高所在直线的方程分别为2x−3y+1=0与x+y=0，点A的坐标为(1,2)．

(1)求边BC的高AH所在直线的一般式方程；

(2)求边BC的中线AM所在直线的斜率．18.(本小题15分)

若圆C过点O(0,0)，A(4,0)，B(2,2)．

(1)求圆C的一般方程；

(2)求圆C关于直线l：y=2x+3对称的圆C′的标准方程．19.(本小题15分)

如图，A点是东西和南北走向两条相互垂直的道路CD和MN的交点，假设一段铁路从A点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点B到A点正东0.5公里处的一车站F与其到道路MN的距离之差均为0.5公里(道路与铁路的宽度均忽略不计)．

(1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线AB的方程；

(2)若在道路CD上位于A点正东t公里处有一仓库T(t为常数，t>0)，B为铁路上任意一点，其到点T的距离为|BT|=d，求d的最小值，并求此时点B到道路MN的距离(单位：公里)．20.(本小题15分)

如图，已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，焦距为2，离心率为22，称圆心P在椭圆C上运动，且半径为a2+b23的圆P是椭圆C的“环绕圆”．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记直线PF1与椭圆C的另一个交点为点Q，“环绕圆”P的面积为SP，三角形PQF2的面积为S△PQF2，试判断，是否存在点P，使S21.(本小题18分)

已知F(p,0)(p>0)，若点N到点F的距离和它到y轴的距离之比为常数λ(λ>0)，记点N的轨迹为曲线Γ．

(1)若p=2，λ=1，求曲线Γ的方程；

(2)若p=1，试根据λ的不同取值，讨论曲线Γ的形状；

(3)若p=1，λ=2，过点F且不与x轴垂直的直线l与Γ交于A，B两点，若点A关于x轴的对称点为点C，求证：直线BC恒过定点．参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.π4

6.1107.(−∞,−8.4

9.16

10.40

11.0

12.(213.−114.(15.3+16.±217.解：(1)由题意联立2x−3y+1=0x+y=0，解得x=−15，y=15，

即垂心H(−15,15)，

可得kAH=2−151−(−15)=32，

所以BC边上的高AH的方程为y−2=32(x−1)，

即3x−2y+1=0；

(2)因为AB边上的高为2x−3y+1=0，

所以设直线AB的方程3x+2y+c=0，

将点A(1,2)代入直线AB的方程，可得：3×1+2×2+c=0，

解得c=−7，

即直线AB的方程为3x+2y−7=0，

联立3x+2y−7=0x+y=0，解得x=7，y=−7，

即点B(7,−7)，

因为AC上的高所在直线的方程x+y=0，

设AC所在的直线方程为x−y+m=0，将点A(1,2)代入直线AC的方程为1−2+m=0，

可得m=1，

所以直线18.解：(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则F=016+4D+F=04+4+2D+2E+F=0，解得D=−4E=0F=0，

∴圆C的一般方程为x2+y2−4x=0；

(2)由(1)得圆C的圆心为C(2,0)，半径r=2，圆C′半径为2，

设C′(m,n)，则CC′⊥l，且CC′的中点(m+22,n219.解：(1)如图，以A为原点，CD，NM为x，y轴正方向建坐标系，则F(12,0)，

由题意，|BF|−dB−MN=12，即B到直线x=−12的距离d1=|BF|，

根据抛物线的定义知，曲线AB的方程为y2=2x(y≥0)；

(2)由题意，令T(t,0)，B(x0,y0)，

则d=(x0−t)2+y02=(x0−t20.解：(1)由题意，2c=2ca=22，得a=2c=1，

故椭圆C的标准方程为y22+x2=1；

(2)由(1)知：F1(0,1)，显然直线PF1不与y轴重合，

设直线PF1的方程为y=kx+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=kx+1y22+x2=1，得(2+k2)x2+2kx−1=0，显然Δ>0，

所以x1+x2=−2k2+k2，x1x2=−12+k2，

则S△PQF2=12|F1F2|⋅|x1−x2|=121.解：(1)当p=2，λ=1时，F(2,0)，

设N(x,y)，

因为点N到点F的距离和它到y轴的距离之比为常数λ(λ>0)，

所以(x−2)2+y2|x|=1，

整理化简得y2=4x−4，

则曲线Γ的方程为y2=4x−4；

(2)若p=1，

可得F(1,0)，

设N(x,y)，

因为因为点N到点F的距离和它到y轴的距离之比为常数λ(λ>0)，

所以(x−1)2