安徽省2024八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形专题训练13单点练透分类讨论思想在等腰三角形中的应用课件新版沪科版

第15章轴对称图形与等腰三角形专题训练13【单点练透】分类讨论思想在等腰三角形中的应用

当顶角或底角不确定时要分类讨论1.

已知在等腰三角形

ABC

中，∠

A

＝50°，则∠

B

的度数

为

⁠.50°或80°或65°

2345671

(1)当∠

A

为顶角时，则∠

B

＝

⁠；(2)当∠

B

为顶角时，则∠

B

＝

⁠；(3)当∠

C

为顶角时，则∠

B

＝

.所以∠

B

的度数

为

⁠.65°

80°

50°

50°或80°或65°

2345671

等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是

(

B)A.70°B.70°或40°C.70°或50°D.40°B2345671

当底和腰不确定时要分类讨论2.

若等腰三角形中有两边长分别为4和5，则这个等腰三角形

的周长为

⁠.13或14

2345671【变式题】若等腰三角形两边长分别为2和5，则它的周长

是

⁠.12

2345671

当高的位置不确定时要分类讨论3.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则等腰三

角形的顶角度数为

⁠.20°或160°

23456714.

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三

角形的各个内角的度数.解：设

AB

＝

AC

，

BD

⊥

AC

.

(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△

ABC

的内部，

如图①，∵∠

DBC

＝25°，∴∠

C

＝90°－∠

DBC

＝

90°－25°＝65°，∴∠

ABC

＝∠

C

＝65°，∠

A

＝180°－2×65°＝50°.2345671(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△

ABC

的内部时，∵∠

ABD

＝25°，∴∠

A

＝90°－∠

ABD

＝

65°，∴∠

C

＝∠

ABC

＝(180°－∠

A

)÷2＝57.5°；2345671如图③，高在△

ABC

的外部时，∵∠

ABD

＝25°，∴∠

BAD

＝90°－∠

ABD

＝90°－25°＝65°，∴∠

BAC

＝180°－65°＝115°，∴∠

ABC

＝∠

C

＝(180°－115°)÷2＝32.5°.

故三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，

57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.2345671

由腰的垂直平分线引起的分类讨论5.

在三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

边上的垂直平分线与

AC

所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠

B

的度

数为

⁠.65°或25°

2345671点拨：此题分两种情况讨论.(1)如图①，

AB

边的垂直平

分线与

AC

边交于点

D

，∠

ADE

＝40°，则∠

A

＝50°，

∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝(180°－50°)÷2＝65°.2345671(2)如图②，

AB

边的垂直平分线与

CA

的延长线交于点

D

，∠

ADE

＝40°，则∠

DAE

＝50°，∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠

B

的大小为65°或25°.2345671

由腰上的中线引起的分类讨论6.

等腰三角形

ABC

的底边

BC

的长为5

cm，一腰上的中线

BD

把△

ABC

的周长分成差为3

cm的两部分，则腰长

为

⁠.点拨：∵

BD

为

AC

边上的中线，∴

AD

＝

CD

.

(1)当(

AB

＋

AD

)－(

BC

＋

CD

)＝3

cm时，有

AB

－

BC

＝3

cm，∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5＋3＝8(cm)；8

cm

2345671(2)当(

BC

＋

CD

)－(

AB

＋

AD

)＝3

cm时，有

BC

－

AB

＝3

cm，∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5－3＝2(cm)，但是当

AB

＝2

cm时，三边长分别为2

cm，2

cm，5

cm.

而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去.故腰长为8

cm.2345671

由点或线的位置不确定引起的分类讨论7.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝2，∠

B

＝40°，点

D

在线段

BC

上运动(点

D

不与点

B

，

C

重合)，连接

AD

，作

∠

ADE

＝40°，

DE

交线段

AC

于点

E

.

(1)当∠

BDA

＝115°时，∠

BAD

＝

，点

D

从

B

向

C

运动时，∠

BDA

逐渐变

(填“大”或“小”)；25°

小2345671点击跳转几何画板(2)当

DC

等于多少时，△

ABD

≌△

DCE

，请说明理由；7.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝2，∠

B

＝40°，点

D

在线段

BC

上运动(点

D

不与点

B

，

C

重合)，连接

AD

，作

∠

ADE

＝40°，

DE

交线段

AC

于点

E

.

2345671解：(2)当

DC

＝2时，△

ABD

≌△

DCE

.

理由如下：∵∠

EDC

＋∠

EDA

＋∠

ADB

＝180°，∠

DAB

＋∠

B

＋∠

ADB

＝180°，∠

B

＝∠

EDA

＝40°，∴∠

EDC

＝∠

DAB

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

.

∴当

DC

＝

AB

＝2时，△

ABD

≌△

DCE

.

2345671(3)在点

D

的运动过程中，△

ADE

的形状也在改变，当∠

BDA

等于

度时，△

ADE

是等腰三角形.110或80

7.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝2，∠

B

＝40°，点

D

在线段

BC

上运动(点

D

不与点

B

，

C

重合)，连接

AD

，作

∠

ADE

＝40°，

DE

交线段

AC

于点

E

.

2345671点拨：∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝40°.①当

AD

＝

AE

时，∠

ADE

＝∠

AED

＝40°.∵∠

AED

＞∠