2025广东省广州市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025广东省广州市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

->TTT

1.（5分）已知向量&=（1,3）,b=（3,x）,若则实数x的值为（）

A.9B.-9C.ID.-1

2.（5分）已知集合4={X|1<X2<9},B={-2,-1,0,I,2},贝（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,2}D.{-2,-1,1,2}

3.（5分）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据XI,X2,X3,…，X9,后来复查数据时，又将

X3,X9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）

A.平均数B.中位数C.极差D.众数

4.（5分）曲线y=/+sin2x在点（0,1）处的切线方程为（）

A.3x+2y-2=0B.2x-2y+l=0C.3x~y~^~l=0D.3x~2jv+2=0

5.（5分）若a是第二象限角，4sin2a=tana,则tana=（）

l"五r~

A.-V7B.一¥C.一D.V7

77

6.（5分）由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的

六位数的个数为（）

A.60B.108C.132D.144

7.（5分）已知函数/（%）的定义域为R,y=f（x）+厘是偶函数，y=f（x）-3"是奇函数，则/（加3）

的值为（）

71011

A.-B.3C.—D.—

333

T7->一

8.（5分）已知向量向=同=4,a*b=-8,W=与±且向一％=1,则1与"夹角的最大值为（）

71717157r

A.-B.C.-D.—

64312

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）如图，在棱长为2的正方体/2CD-/i2iCbDi中，E为3c的中点，若一点尸在底面

/BCD内（包括边界）移动，且满足BiPLDiE,则（）

第1页（共20页）

DiG

AB

1

A.。归与平面CCiDi。的夹角的正弦值为石

4V2

B.4点到。i£的距离为亍

C.线段SP的长度的最大值为2四

D.PZ与PE的数量积的范围是[一31]

(多选)10.(6分)已知等比数列｛斯｝的公比为夕,前〃项和为必，若Si=-1,且多WN*,即+2>即，则

()

1

A.。2>0B.0<q<1C.斯+1>斯D.Sn〈.I

(多选)11.(6分)已知/(x)=2/-3f+(1_a)x+b)则下列结论正确的是()

A.当a=l时，若/(x)有三个零点，则6的取值范围是(0,1)

B.当a=l且(0,n)时，f(sinx)<f(sin2x)

C.若/(x)满足/(1-x)=2-f(x),则a-26=2

D.若/(x)存在极值点xo,且/(xo)=f(xi),其中xoNxi,则2久o+%i=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

y_2

12.(5分)已知集合4=｛加灯见乂<a｝,B=[x\^^<1｝,若是"x£8"的充分不必要条件，则

实数小的取值范围是.

13.(5分)已知函数/(x)=(^-ax-x(其中a>0且aWl),若存在比€(0,+8),使得了(比)<0,

则实数q的取值范围是.

14.(5分)设严格递增的整数数列41,a?,420满足。1=1,020=40.设/为。1+°2,。2+。3，。19+。20

这19个数中被3整除的项的个数，则/的最大值为,使得/取到最大值的数列｛斯｝的个数

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(15分)设△/8C的内角/,B,。的对边分别为a,b,c,且6cosc+csiaB=a.

第2页(共20页)

(1)求角B的大小，

(2)若48边上的高为£,求cost?.

4

16.(15分)已知抛物线C：y1=2px(p>0)的焦点为凡点。Cxo,2)在抛物线C上，且|DF|=2.

(1)求抛物线C的标准方程；

―»->

(2)抛物线的准线与x轴交于点K,过K的直线/交抛物线C于两点，且KM=4KN,46(1,2],

点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标XG的取值范围.

17.(15分)如图，已知四边形48CD是矩形，平面/BCD,且口=2,M、N是线段P8、DC上的

4rBMDN

点’满足而=而=人

(1)若入=1,求证：直线〃平面P"；

(2)是否存在实数入，使直线儿W同时垂直于直线网，直线。C?如果有请求出入的值，否则请说明理

由；

(3)若入=1,求直线与直线尸口所成最大角的余弦值.

1

18.(15分)已知函数/(%)="(％+a)+2%2(a>0).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

1

(2)若4=1,设9(%)=/(%)一2%2,证明：对任意两个不等实数％],X2旦0,+8),不等式第1一%2〉(。(%1)-

g(%2))+%1+%2+1恒成立.

19.(17分)在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若/(x)在包含处的某个开区间(a,b)中

具有〃+1阶导数，设/Q(%)表示f(x)的n阶导数.则对(a,b)有f(x)=f('。)+'(%—%o)+

,，°)(%-%o)2+…+"?)(%-+Rn(x).其中R式%)二盘黑，(%一%o严,孑是位于xo与工

之间的某个值，它称为n阶泰勒余项.Pyi(%)=f(%o)+'(%—久o)+'与。)(%—%o)2+…+

“一xo)n+&i(%)叫做f(x)在x=xo处的n阶泰勒多项式.

(1)求仇(1+x)在x=0处的1阶泰勒多项式Pi(x)和2阶泰勒多项式尸2(x),并证明：当％三0时，

第3页(共20页)

Pl(x)Win(1+x)WPi(x)；

d-i

(2)整数几22024.定义数列劭=阮=L网=硫—i+声，瓦=优+2九一.'k>1.设e为自然对

数的底数.

(/)求证：an<e；

(ii)求证：bn>e.

第4页(共20页)

2025广东省广州市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

T—TT

1.（5分）已知向量。=（1,3）,b=（3,x）,若。_1力，则实数x的值为（）

A.9B.-9C.1D.-1

TT—T

【解答】解：•向量a=（1,3）,b=（3,x）,a±b,

TT

.,.a-b—lX3+3x—0,解得x=-1

故选：D.

2.（5分）已知集合N={X|1<X2<9},B={-2,-1,0,I,2},贝UNC8=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,2}D.{-2,-1,1,2}

【解答】解：1<X2<9,

即l>0且％2-9<0,

即（x+1）G-1）>0且（x+3）（x-3）<0,

得-3<x<-1或l<x<3,

则/=（-3,-1）U（1,3）,

所以/门5={-2,2}.

故选：C.

3.（5分）某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据XI，X2,X3,…，X9,后来复查数据时，又将

X3,X9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）

A.平均数B.中位数C.极差D.众数

【解答】解：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，

中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，

极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将X3,X9重复记录在数据中，最大值与

最小值并未改变，所以极差一定不变，

众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.

故选：C.

4.（5分）曲线y=，+sin2x在点（0,1）处的切线方程为（）

第5页（共20页）

A.3x+2y-2=0B.2x-2y+1=0C.3x-尹1=0D.3x~2y+2=0

【解答】解：因为歹,=+2cos2x,

所以y="+sin2x在点（0,1）处的切线斜率为y1x=o=e°+2cosQ3,

所以切线方程为V-1=3X(x-0),即3%-八1=0.

故选：C.

5.（5分）若a是第二象限角,4sin2a=tana,则tana

B.WV7

A.-V7c.—D.V7

7

【解答】解：若a是第二象限角,

又4sin2a=tana,

|o-sina

贝mUiosinacosa=------

cosa

即cos2a=

o

贝！Jcosa=—噌

4

即sina=V1—cos2a=

4

sina

贝rmUit,ana=------=—产=—Vn7.

cosa—72

故选：A.

6.(5分)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的

六位数的个数为（)

A.60B.108C.132D.144

【解答】解:0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻,

首先排列1,3,5,3个数字，然后插入偶数，可得用（题-用）=108个不同数字.

故选：B.

7.（5分）已知函数/（%）的定义域为R,y=/（x）+，是偶函数，y=f（x）-3"是奇函数，则/（历3）

的值为（)

71011

A.-B.3c-TD.—

33

【解答】解:因为函数（x）+/为偶函数,

则/(-%)+ex=f(x)+/,即f(x)-/(-x)=ex-，①,

又因为函数＞=/（%）-3"为奇函数,

第6页（共20页）

则/(-x)-3e'=-/(x)+3，，即/(x)4/(-x)=3区+3/工②，

联立①②可得/G)="+2/x,所以/"(m3)=战3+2e-加3=争

故选：D.

TTTT

8.(5分)已知向量向=|b|=4,a*b=-8,1=今£且苗一[=1,则|与"夹角的最大值为()

717171STI

A.—B.-C.-D.—

64312

,T—TT

【解答】解：已知向量|a|=|b|=4,a9b=-8,

,T-

贝！J4x4xcos<a,b>=-8,

——1

即cosVa,b>=_2J

—»—"2TT

即<a,b>=丁，

建立如图所示得平面直角坐标系，

设。4=a,OB=b,OC=c,ON=n,

则4(4,0),B(—2,2次)，C(l,V3),

—>—>

又|n-c|=l,

贝！

即N的轨迹为以(1,遮)为圆心，1为半径的圆，

显然，当ON与圆相切时，NCON最大,

止匕时sin/CON=.*=

7T

则/CON的最大值为二，

即蓝与W夹角的最大值为？

6

故选：A.

第7页(共20页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点尸在底面

/BCD内（包括边界）移动，且满足以尸_L£h£,则（）

1

A.与平面CCIDLD的夹角的正弦值为Q

4V2

B.小点到。1E的距离为丁

C.线段81P的长度的最大值为2/

TT4

D.PA与PE的数量积的范围是[一三，1]

【解答】解：如图，以。为坐标原点，DA,DB,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

第8页（共20页）

则4(2,0,0),E(1,2,0),Ai(2,0,2),B\(2,2,2),Di(0,0,2),设尸(x,y,0),x,

昨[0,2],

—>—>

可得BIP=(X-2,y-2,-2),DXE=(1,2,-2),

—>―»

若81P_LD1£,则。止=久一2+2(y—2)+4=0,可得x=2-2y,

则1y*2，解得O0W1,即尸(2-27，y,0),ye[O,1].

对于选项/：可知平面CCiDbD的法向量£=(1,0,0),

->T

1

贝!Jcos<nfDrE>=二口唾=---===i,

1XJ

\n\-\DrE\lxJ12+22+(_2)2'

1

与平面CCiDi。的夹角的正弦值为W，故4正确；

―>

对于选项3：•.•。遇1=(2,0>0),

-_

...41点到。田的距离为。丁一(0止？叫2=%-(9)2=挈故2正确;

y"I"

―>

对于选项C：'：BxP=(x-2,y-2,-2)=(-2y,y-2.,-2),

1

贝J|BiP|=J4y2+(y—2)2+4=^/SyZ_4y+8=J53_|)2+善，

且俎0,1],可得当且仅当产1时，|B；P|取到最大值3,

线段囱尸的长度的最大值为3,故C错误；

—>—>

对于选项。：VPA=(2y,-y,0),PE=(2y—l,2—y,0),

TT24

则P4PE=2y(2y-1)-y(2-y)=5y2-4y=5(y-1)2—g,

且阳0,1],可知当y=|时,日1•晶取到最小值一季

第9页（共20页）

—>—>

当y=l时，P4PE取到最大值1,

，P4・PE范围是［一看，1］，故。正确.

故选：ABD,

(多选)10.(6分)已知等比数列｛斯｝的公比为q,前〃项和为S〃，若Si=-1,且V几EN*,。什2>即，则

()

1

A.。2>0B.0<q<1C.斯+1>斯D.S九Vq_I

【解答】解：根据题意，等比数列｛即｝的公比为外

若V〃EN*,即+2>斯，即劭/>斯，

n1

变形可得an(/-1)>0,即a\q(/-1)>0,

又由Si=-1,即a\=-1<0,

则有/"I(/-I)<0恒成立，

必有,解可得0<夕<1,3正确；

lq2-K0

Q2=〃iq=~q<0,A至昔1^；

n12

an+\~an=an("1)=aiqCq-1)>0,故Q〃+I>Q〃，。正确；

由于0<q<l,m=-l,则S产呼普=亶>工，。错误.

1—qq-±q-1

故选：BC.

(多选)11.(6分)已知/(x)=2x3-3X2+(1-a)x+b,则下列结论正确的是()

A.当。=1时，若/(x)有三个零点，则6的取值范围是(0,1)

B.当a=l且(0,n)时，f(sinx)</(sin2x)

C.若/(x)满足/(1-x)=2-f(x),贝！Ja-26=2

D.若/'(x)存在极值点xo，且/(xo)=f(xi),其中xoWxi,则2%o+Xi=2

【解答】解：对于选项A,当a=1时，f(x)=2x3-3«+6,f(x)=6x2-6x=6x(x-1),

由，Cx)=6xCx-1)>0,得到x<0或x>l,由/(x)=6x(x-1)<0,得到0<x<l,

所以/(x)=2?-3/+6单调递增区间为(-8,0),(1,+8)；减区间为(0,1),

故/(x)在x=0处取到极大值，在x=l处取到极小值，

若/(x)有三个零点，则［"。)一°>°,得到0<6<1,故选项/正确；

1/(1)=b—1<0

第10页(共20页)

对于选项5,当(0,n)时，OVsinxVl,0<sin2x<l.,

又sinx-sin2x=sirix(1-siru)>0,BPsinx>sin2x,

由选项4知，/(x)在区间(0,1)上单调递减，

所以/(sinx)</(sin2x),故选项5正确；

对于选项C,因为/(I-X)=2-/(x),即/(I-x)4/(x)=2,

所以/(X)关于点弓，1)中心对称，

又/(X)=2/_3》2+d_a)x+b的定义域为R,

所以/'6)=2x—3x+(1—a)xg+b=1,整理得到2b-a=2,所以选项C错误；

对于选项D,因为f(x)=2x3-3X2+(1-6Z)x+b,所以/(x)=6x2-6x+l-a,

由题有A=36-24(1-a)>0,即a>—

由=6就—6x0+1—a=0,得到a=6就—6x0+1,

令2xo+xi=/,则xi=/-2xo,又/(XO)=f(xi),所以/(xo)=f(L2xo),

得到2%Q—3XQ+(1—CL)XQ+b=2(t—2%o)3—3(t—2%o)〉+(1-u)(t—2%0)+lb,

整理得到(3xo-t)(6%Q+2?-6/xo-3/+9xo+l-a)=0,又a=6xg-6x0+1，

代入化简得到(3%o-t)2(-2t+3)=0,又2xo+xi=G,所以3xo-/=xo-xiWO,

得到-2/+3=0,即2%o+%i=t=2，所以选项。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知集合4={%『。02%＜血}，8={%|公＜1},若是“比5”的充分不必要条件，则

实数m的取值范围是（-8,2].

【解答】解：由log2x＜加=0VxV2机.所以4=（0,2加）;

%—2x—2x-2—x+42

由——<1=>-----1<0=---------<On——<0nx<4.所以2=(-°°4).

X—4X—4X—4%—4

因为“XE4”是“x€B”的充分不必要条件，所以“U5且

所以2'”W4n机W2.

故答案为：（-8,2].

13.（5分）已知函数/（x）=^-a-x-x（其中a＞0且aWl）,若存在加€（0,+«=）,使得/（比）＜0,

则实数。的取值范围是_（0,1）U（1,近）

【解答】解：由题知/（0）=0,f⑴=（a*+/x）Ina-1,

第11页（共20页）

若a>\fe,则当x20时，22lnay/ax-a~x—1—2lna-1>0,当且仅当x=0时第一个等号成立,

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，

所以当x>0时，/(x)>/(0)=0,不满足题意；

若0<a<l,则当x>0时，f(x)<0,f(x)在(0,+8)上单调递减，

所以当x>0时，/(x)</(0)=0,满足题意；

若IVaVB，则当x>0时，则/(0)=2>"1<0,

令g(x)=f(x),贝1Jg(久)=°於1(ma)2>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

当x-+8时，f(x)f+8,所以存在唯一的xjC(0,+8),使得/(xi)=0,

且xe(0,XI)时，/(X)单调递减，所以xe(0,XI)时，f(X)<f(0)=0,满足题意.

故实数。的取值范围是(0,1)U(1,«).

故答案为：(0,l)U(L«).

14.(5分)设严格递增的整数数列。2,…，。20满足。1=1,020=40.设/'为。1+。2,。2+。3,…，a19+020

这19个数中被3整除的项的个数，则r的最大值为18,使得了取到最大值的数列缶”｝的个数为

25270.

【解答】解：第一个空，由ai=l,。20=40,且｛斯｝为严格递增数列，

为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1,一个模3余2这

样的组合，

这样它们之和才会被3整除，而ai=l,。20=40,均为模3余1,

则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，

如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40,

满足题意，

所以/的最大值为18.

第二个空，因为1〜40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2,则要从这27个数中选出

满足要求的20个数.

第一步，在ai到。20这20个数中删去一个数(后面再加回来)，使得剩下的19个数满足任意相邻数一

个模3余1,一个模3余2,

这样就形成了18组，即使得了的最大值为18；

第二步，将这27个数从小到到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列，它们中任意相邻两数

一个模3余1,一个模3余2,

第12页(共20页)

因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数；

第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数，有3种情况：

①两端均删去，这种情况不满足要求，因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加回来

时也最多加回1或40中的一个，

而1和40必定在数列中，因此不满足；

②两端均不删去，从中间21个数中选4个删去，有C丸种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19

个数中，有废种方法，共有种；

③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有2或1种，此时加回来的数必定是删去的两

端之一的1或40,有1种选法，共有201种;

第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个

数，而对于删去的数，假设为

它旁边两个数分别为2,C,即排列为2,A,C,在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为A4,然后删去，

再补回&或者为NC,然后删去，再补回C,这两种删去方式结果相同.

综上，共有gx(废1玛+2最1)=25270种.

故答案为：18；25270.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(15分)设△/2C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且6cosc+csinB=a.

(1)求角B的大小，

(2)若48边上的高为一，求cosC.

4

【解答】解：(1)在△45。中，A=u-(5+C),

所以siib4=sin(n-(5+0)=sin(B+C)=sin5cosC+sinCcos5,

、abc

所以由正弦定理：----=-----=----，sirU=sin5cosC+sinCcos5,

sinAsinBsinC

可得a=bcosC+ccosB,

又由题意知a=bcosC+csinB,

所以sin5=cos5,且(0,n)

可得B=~

(2)在△/BC中过点C作边的高CD,交边AB与D,

由题意可知CD=",且△BCA和△/CD都是直角三角形.

第13页(共20页)

因为B=?

所以△BCA是等腰直角三角形,

所以BD=CD=

所以AD=A8—BD=7c,

由勾股定理，BC2=BD2+CD2,AC2=AD2+CD2,

解得BC=¥C,4C=乎C,

a2+b2—c2

在△中，由余弦定理得：cosC=

45C2ab

因此cosC=在

2.务鲁

BDA

16.(15分)已知抛物线C：产=28：(p>0)的焦点为凡点。Go,2)在抛物线C上，且0尸|=2.

(1)求抛物线C的标准方程；

—>—>

(2)抛物线的准线与x轴交于点K,过K的直线/交抛物线。于两点，且KM=4KN,Ae(1,2],

点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，求点G的横坐标XG的取值范围.

【解答】解：(1)因为。(xo，2)在抛物线C：«=2px(p>0)上，

所以4=2?犹，解得：％0=旨又|。尸|=2,

所以久o+§=2,即一+与=2,解得：p=2,

所以抛物线C的标准方程为产=4%；

(2)易知抛物线的准线为x=-1,则可得K(-1,0),

如图，设M(xi,yi),N(X2,”)，直线/：x=my-L

->—>

因为KM=4KN,即(xi+1,yi)=入(%2+1,>2),

则歹1=仙2,

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联立方程｛；2二^一1，消去x得：丁-4»0+4=0,则A=16混-16>0,即苏>1,

所以>2-4叼+4=0,yi+y2=^m,>1"=4,

即可得加2+丫2=4m,4秃=4,

联立两式并整理可得4m2=%比=4+*+2,

又%1+%2=租31+72)—2=4m2-2,

由1c入W2可得y=4+$+2递增，

即有4m2e(4,/HPm2e(1/；卷］,

又MV中点坐标为(2加2-1,2m),

可得直线脑V的垂直平分线的方程为〉-2nl=-m(x-2m2+l),

令y=0,可得％G=2血2+i£(3,竽］,

即XG的取值范围为(3,竽］.

17,(15分)如图，已知四边形45CQ是矩形，Q4_L平面45cZ),且F4=2,M、N是线段尸5、。。上的

,「BMDN

点’7两足运=而=九

(1)若入=1,求证：直线〃平面尸D4；

(2)是否存在实数入，使直线同时垂直于直线尸2,直线。C?如果有请求出入的值，否则请说明理

由；

(3)若入=1,求直线与直线PD所成最大角的余弦值.

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p

【解答】解：（1）证明：取/产的中点。，连接加，QD,

因为入=1,所以又是线段尸2上的中点，

1

因止匕有QMII4B,QM=-jAN,

因为/BCD是矩形，N是线段DC上的中点，

所以DN||AB,DN二AB,

因此有DN〃M。，DN=QM,

所以四边形DNM。是平行四边形，所以有

而2WC平面PZX4,°£>u平面PZM,

所以直线VN〃平面PDA；

（2）假设存在实数入，使直线"N同时垂直于直线尸2,直线。C,

因为四边形/BCD是矩形，所以CD〃幺B,

BPMNLPB,MN±AB,[fnPBHAB=B,PB,/3u平面ABP,

所以MALL平面NHP,

因为48CD是矩形，所以/B_LAD,

因为刃_L平面48CD,NOu平面/BCD,

所以以_LAD,R4CiAB=A,PA,N3u平面ARP,

所以平面尸，因此显然不可能，所以假设不成立,

因此不存在实数入，使直线同时垂直于直线尸2,直线DC；

（3）当入=1时，由（2）可知：MN//DQ,

所以/PD。是直线与直线尸。所成角，设4D=a（a>0）,

由（2）可知处_L/。，所以PD=Va2+4,DQ=Va2+1,

在△尸£>0中，由余弦定理可知：

_PD2+DQ2-PQ2_a2+4+a2+l-l_a2+2

°°=_2PD^DQ-=2^+4x^+l=^+4x^+1

11

令02+2=/O>2）,所以OV^V分

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f1

cosZ-PDQ=-i===।，

SEJ-2（H）24

112V2

当［=［时，cosN尸。。有最小值，最小值为亍，此时/尸。。有最大值.

2V2

则直线MN与直线PD所成最大角的余弦值为亍.

1

18.(15分)已知函数/(%)=M(％+a)+2%2(口>0).

（1）讨论函数/（X）的单调性;

1c

（2）若。=1,设9（%）=/（%）-］%2,证明：对任意两个不等实数XI,X2W［0,+8）,不等式汽］一式2〉（。（%1）-

g(%2))+%2+1恒成立.

1

【解答】解：（1）由函数/（%）=M（％+a）/的定义域为（-〃，+8）,

口「〃、1,x24-ax+l

=

且Jf('%)'=~x+；aXx+：a

令>=，+4%+1,可得A=6Z2-4,

当0VaW2时，即AW0时，此时，（%）20,所以/（%）在（-4,+8）上单调递增;

当。＞2时，即△＞（）时，由，+"+1=0,

—a±Va2-4—a—Ja2—4

可得久=-且->—a.

2

—a—7a2—4—a+Va2—4

令，（x）>0,解得一aV%<••或第＞

22

—a—J<2—4—a+Jq2-4

令f(x)<0,角牛得5<xV-

—a—Va2—4—a+Va2—4—a—Va2—4—a+Va2—4

所以/（%）在（一以，+8）上单调递增，在（）上

2）和（222

单调递减.

综上，当0VaW2时，/G）在（-〃，+8）上单调递增，无单调递减区间;

—a—Va2—4—a+Va2—4—a—Va2—4—a+Va2—4

当时火》）在（—）和（，+8）上单调递增，在（

a＞2，a,2222)

上单调递减.

1

（2）证明：因为a1,所以g(%)=f(x)一讶/=M(％+1),

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不妨设％1>X2三0,

则要证明％1-％2>(g(%i)-g(%2))J%i久2+%1+到+1，

只需证明(第1+1)-(%2+1)>[伍(久1+1)-Zn(%2++1)(%2+1)，

即。1+1)2-2(%]+1)02+1)+3+1)2%1+12

(%1+1)(%2+1)%2+1

%1+1%2+1%1+1

即证---7-2+—•>(仇—')2,

%2+1X1+1x2+l

设"罂(t〉l),则只需证明7^1>仇如化简得/〉/*

设0«)=一方t(t〉o),则8。)=(彳蓝〉o在(1，+8)上恒成立,

所以叩(t)在(1,+8)上单调递增.

所以当，>1时，(P(力>(p(1)=0,即，^■得证.

19.(17分)在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若/(x)在包含xo的某个开区间(a,b)中

n

具有n+\阶导数，设/)(x)表示/(%)的n阶导数.则对VxE(a,b)有/(%)=/(%0)+'空)(%一%o)+

/(%—%。)？+…十外,。)Q—&)九+R九(%).其中R式式)=’；二2?(%一孙)计1,己是位于xo与x

之间的某个值，它称为n阶泰勒余项.Pn(x)=f(x0)+'(%—%o)+‘.。)(%—%o)2+…+

n

"Q-Xo)+Rn(%)叫做于(x)在x=xo处的n阶泰勒多项式.

(1)求历(1+x)在x=0处的1阶泰勒多项式Pi(x)和2阶泰勒多项式尸2G),并证明：当x20时，

尸2(x)Win(1+x)W尸i(x)；

(2)整数〃三2024.定义数列劭=打=1,q=破一1+击，bk=用+2二九'k>1.设e为自然对

数的底数.

(?)求证：an<e；

(ii)求证：bn>e.

【解答】解：(1)令/(x)=ln(1+x),贝炉(无)=击，f'G)=—岛7，

所以八。)=击=1，广(0)=一击=1，

所以Pl(x)=X,P2(x)=X-条

1

证明：令力(x)=ln(1+x)-x,x20则/\(x)=不及一1W0,

故力(x)在(0,+8)上递减，则力G)W力(0)=0,即历(1+x)WPi(x)；

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令/2(%)="(1+%)—%+，%N0,则72(%)=]+%—1+%=]+%+%