高考数学专项复习训练：直线的两点式方程（原卷版）

第04讲直线的两点式方程

01学习目标

课程标准学习目标

①理解与掌握两点确定一条直线的公

理。通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，

②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能

用公式求直线的方。解决与之有关的问题.

③理解与掌握直线的截距式方程的公式

及其条件，并能应用公式求直线的方程。

思维导图

便用前提一直线，上的两点々（甬J1）,2（如必）（再工巧，>1*>12）（已知两点）

知识清单

1.当过两点片（和％）,2（%,为）的直线斜率不存在（玉=修）或斜率为0（0（%=%））时，不能用两点式方

程表示.

2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系，即用,%是同一个点的坐标当,乃是另一个点的

坐标.

【即学即练1］（2024高二•全国•专题练习）经过两点（为,%）,（孙％）的直线方程都可以表示为（）

.一々,一%

B.一

%一马弘一必

c.(y—yJG—%)=(%—%)(%—%)

D」一切_

・X-XjX2-Xy

点斜式方程形式

2=1

ab

适用条件aw0,Z?w0

直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在X轴和y轴

上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.

【即学即练2】（2324高二上•江苏南通•期中）直线:-5=1在y轴上的截距为（）

42

A.-4B.-2C.2D.4

知识点03：中点坐标公式

%,+X,

X=-----

2

若点的坐标分别为（和%）,（%,%），且线段2舄的中点M的坐标为（x,y）,则.此公

-2

式为线段IE的中点坐标公式.

04题型精讲

题型01直线的两点式和截距式方程辨析

【典例1】（多选）（2024高二上・江苏•专题练习）下列说法中错误的是（）

A.不过原点的直线都可以用方程2+；=1表示

ab

B.若直线则两直线的斜率相等

c.过两点6（士,以），鸟（々,巴）的直线都可用方程工（%-乂）-、（%-为）+电%-±%=0表示

D.若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直

【典例2】（多选）（2024高二上•全国・专题练习）下列说法不正确的是（）

A.过任意两点A（X，X）,3（W，%）的直线方程可以写成上三=三工

B.若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为-1

C.若直线的斜率为1,则直线在x轴和y轴上的截距之和为0

D.若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1

【变式1］（多选）（2024高二上•全国•专题练习）下列说法中错误的是（）

A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线

B.；-与=1与；+与=-1是直线的截距式方程

2323

C.直线方程的斜截式都可以化为截距式

D.在x轴、y轴上的截距分别是2,3的直线方程为5+,=1

【变式2］（多选）（2324高二上•广东广州•期中）下列说法不E碗的有（）

A.直线的倾斜角越大，斜率越大

B.过点外司,乂）,。（孙%）的直线方程是一二上

Xl~X2%一火

c.经过点（1,1）且在X轴和y轴上截距相等的直线有2条

D.直线］-弓=1在y轴上的截距是3

题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）

【典例1】（2324高二上•全国•课后作业）经过点4（-3,2）,3（4,4）的直线的两点式方程为（）

j-2_x+3y-2_x-3

B.

2-7-2-7

y+2_x-3y-2_2

D.

2-7x+3~7

【典例2】（2324高二•全国•课堂例题）经过两点（-1,2）,（-3,-2）的直线方程是.

【典例3】（2324高二•全国•课堂例题）已知三角形的顶点是4（-5,0）,B（3,-3）,C（0,2）（如图），分别

求这个三角形三边所在直线的方程.

【变式1］（2324高二上•福建厦门•期中）若三点A（O,1）,C（3,2）在同一条直线上，贝心的值

为.

【变式2】（2024高二上•全国・专题练习）求经过点A（-2,3）,8（4,-1）的直线的两点式方程，并把它化成点

斜式、斜截式和截距式.

【变式3］（2324高二•全国•课后作业）在AABC中，已知点4（4,0）,3（-3,4）,C（l,2）.求BC边上中线

所在直线的两点式方程.

题型03直线的截距式方程

【典例1】（2324高二上•天津南开•阶段练习）过点A（l,2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线

方程为（）

A.x-y+l=OB.x+y-l=0

C.2x—y=0或％—y+l=OD.2%+y=0或x+y+l=0

【典例2】（2324高二上•山东济宁•期中）坐标平面内过点A（-2,1）,且在两坐标轴上截距相等的直线/的方

程为.

【典例3】（2324一年级•全国•单元测试）直线/过点P（-6,3）,且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的

3倍，求直线/的方程.

【变式0（2324高二上,江苏南通•阶段练习）过点2）,且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）

A.4条B.2条C.3条D.1条

【变式2】（2324高二上•湖北•期中）求经过（2,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

【变式3］（2324高二•全国•课后作业）在△ABC中，已知A（5,—2）,8（7,3）,且AC边的中点M在y轴

上，边的中点N在x轴上，求：

⑴顶点C的坐标；

（2）直线的截距式方程.

题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题

【典例1】（2324高二上•江苏连云港•阶段练习）设左为实数，若直线/的方程为仕+l）x-2y+2左+4=0,

根据下列条件分别确定女的值：

⑴直线/的斜率为2;

⑵直线/与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.

【典例2】（2324高一下•江苏南京•开学考试）求分别满足下列条件的直线/的方程.

（1）经过直线2x+y+2=0和直线3x+y+l=0的交点且与直线2x+3y+5=0垂直；

（2）与直线4尤-3y-l=0平行且与坐标轴围成的三角形面积为3.

【变式1】（2324高一上•甘肃张掖•期末）求过点尸（2,3）且分别满足下列条件的直线方程

（1）在两个坐标轴上的截距相等.

（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.

【变式2】（2324高二•江苏,课后作业）已知直线/经过点尸（4,1）,且与两坐标轴在第一象限围成的三角形

的面积为8,求直线/的点斜式方程.

【变式3］（2324高一下•江西九江•期末）（1）设直线机的方程为（a+Dx+y+2-a=O（aeR）.若直线加在

两坐标轴上的截距相等，求直线加的方程；

（2）过直线/：V=x上的点尸（2,2）作直线机，若直线/,机与x轴围成的三角形的面积为2,则直线〃，的

方程.

题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题

【典例1】（2324高三・全国•课后作业）过点（1,2）的直线/与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，。为

坐标原点，当AQAB的面积最小时，直线/的方程为（）

A.2x+y-4=0B.x+2y—5=0C.x+y—3=0D.2%+3y—8=0

【典例2】（2324高二上•山东泰安•期中）已知过点P（4,l）的直线/与x轴，＞轴的正半轴分别交于A、5两

点，。为坐标原点，当AAOB的面积最小时，直线/的方程为.

【典例3】（2324高二上•浙江绍兴•阶段练习）已知直线/过点M（2,l）,且与x轴、y轴的正方向分别交于

A,2两点，分别求满足下列条件的直线方程：

（l）BAf=2AM时，求直线/的方程.

（2）当AA03的面积最小时，求直线/的方程.

【变式1】（2324高二上•全国•课前预习）已知直线/过点尸（2,1）,且与x轴、＞轴的正半轴分别为交于A、

B两点，。为坐标原点，则△。钻面积的最小值为,此时的直线方程为.

【变式2］（2324高一下•重庆沙坪坝•期中）已知点M为直线4：2x+y-a=0与直线4:》-2卜+1=。在第一

象限的交点，经过点M的直线/分别交x,y轴的正半轴于A,B两点，。为坐标原点，则当取得最小

值为1葛4时，a的值为.

【变式3］（2324高二•全国,课堂例题）A是直线/：＞=3尤上的第一象限内的一点，8（3,2）为定点，直线A8

交x轴正半轴于点C,求使AAOC面积最小的点A的坐标.

强化训练

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2324高二上•山西太原•期末）直线y=4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（）

1111

A.不，2B.——,2C.—,—2D.——,—2

222342

2.(2324高二上•江苏南通・期中)直线1+5=1的一个方向向量是()

42

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)

3.（2324高二上•天津和平,期中）经过点（1,3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

A.x+y=4-B.y=x+2

C.y=3%或x+y=4D.y=3%或y=%+2

4.（2122高二•全国•课后作业）过坐标平面内两点B（2,0）,尸2（0,3）的直线方程是（）

A2+?=1B壮。

32

C.2=1D.­=1

2323

3

5.（2024高二上•全国•专题练习）已知直线3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则6=（）

A.6B.6或-6

C.—6D.2或12

6.（2324高二上•河南开封•期中）若直线Z:-+^=l（a＞0,/7＞0）经过点（1,2）,则直线/在x轴和y轴上的

au

截距之和取最小值时，（）

b

A.2B.gC.J2D.—

22

7.（2324高二上•河北邢台•期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知AMC的顶点分别

为A（0,2）,为-1,0）,C（4,0）,则AABC的欧拉线方程为（）

A.4x—3y—6=0B.3x+4y+3=0C.4x+3y—6=0D.3x+4y—3=0

8.（2021高二•全国•课后作业）已知直线/过点尸（2,3）,且与尤，＞轴的正半轴分别交于A,8两点.若

的面积为12（。为坐标原点），则直线/的截距式方程为（

X+V=1,xy

A..义=1B,=1C,13BD.—|—=1

46812yy64

二、多选题

9.（2324高二上・吉林•期末）直线，经过点（2,-4）,且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程可

能是（）

A.2x+y=0B.2x+y-8=0C.x-＞一6=0D.x+y+2=0

10.（2122高二上•江苏无锡,期中）光线自点（2,4）射入，经y轴反射后经过点（5,0）,则反射光线所在直线

还经过下列点（）

A.（-9,8）B.（3,1）C.（7,-1）D.（12,-4）

三、填空题

11.（2024•陕西西安•一模）过点PQ,3）,在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为.

12.（2324高二上帙西西安・期中）己知直线/过点尸。,2）且与工轴、》轴分别交于4（4,0）,3（0/）（。＞0力＞0）,

。为坐标原点，那么2|。4|+|。目的最小值为.

四、解答题

13.（2324高二上,全国•课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程:

⑴经过点（4,-2）,斜率为3；

（2）经过点（2,0）,斜率为一1；

⑶经过点（0,T）,斜率为0；

⑷斜率为-2,在y轴上的截距为-2；