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文档简介

线性微分方程组§5.1存在唯一性定理一、线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.称为(5.1)的通解.2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为注:对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.(2)函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.3一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:则(5.1)可写成(1)定义1(2)定义2初值问题例1验证向量是初值问题解:显然4n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程

组的初值问题关系初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.例2将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设则有即有也即注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如:方程组不能化为一个二阶微分方程.(3)矩阵向量的范数定义(4)向量或矩阵序列的敛散性(一致收敛),(一致收敛).(一致收敛),(一致收敛).如果上一致收敛.二、存在唯一性定理1存在唯一性定理2存在唯一性定理的证明证明共分五步完成第一步

第二步

证明向量函数在区间上有定义且连续．命题２

第三步由考虑向量函数项级数：设

则第四步设即证明积分方程的连续解的唯一性.

第五步３

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