平行线的综合运用（原卷版）-2021-2022学年七年级数学下册常考题专练（北师大版）

专题09平行线的综合运用

题圆=平行线中的推理题型

1.如图，已知AA5C中，于点。，E为48边上任意一点，EFLBC于点、F,

Z1=Z2.求证：DG//AB.请把证明的过程填写完整.

证明：•/ADLBC,EF±BC{）,

:.ZEFB=ZADB=90°（垂直的定义）

:.EF//（）

4=—（一）

XvZ1=Z2（已知）

—（—）

:.DG//AB()

2.阅读下面解答过程，并填空或在括号内填写理由.

已知平分NN8C交NC于点£,DE//BC,且N4SC=110。，ZC=35°,

请说明8E_L/C.

解：;BE平分/ABC（已知），

ZEBC=-Z（角平分线定义）.

2

■：ZABC=110°,

ZEBC=°.

VDE/IBC,ZC=35°（已知），

:./EBC=N—（两直线平行，内错角相等），

NC=N4ED=35%）.

NAEB=Z+Z=90°.

/.BELAC.

3.已知：如图，DGtBC,AC-LBC,EF上AB,Z1=Z2,求证:CDVAB.

证明：vDG1BC,ACIBC(已知)

/.ZDGB=AACB=90°(垂直定义)

DG//AC()

.・・/2=()

vZ1=Z2(已知)

AZ1=Z(等量代换)

:.EF//CD()

ZAEF=Z()

•/EF1AB(已知)

/.ZAEF=90°()

ZADC=90°()

/.CD1AB{)

平行线中的动态问题

4.如图①，已知ABC,ZB=ZD=120°.

（1）若点E、尸在线段C£＞上，且满足NC平分ZBNE,A尸平分NDAE,求NE4C的度数；

（2）若点E、歹在射线DC上，且满足/£平分NE48,当点尸运动时，NDE4:NDE4的度数比值是否随

之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；

（3）若点E在直线CO上，且满足=,直接写出乙4。:乙4即的值.

2

图①备用图

5.如图，已知4W//3N,点尸是射线上一动点（与点/不重合），BC、3D分别平分NNAP和NPBN,

分别交射线于点C,D.

（1）①当乙4=50。时，ZABN的度数是

②•；AMHBN,

ZACB=Z；

（2）当乙4=x。，求NC3。的度数（用含x的代数式表示）；

（3）当点尸运动时，NND8与//网的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比

值；若变化，请写出变化规律.

（4）当点尸运动到使=时，请直接写出2/D2N+!//的度数.

2

6.如图，已知直线48//射线CD,ZCEB=100°,尸是射线£3上一动点，过点P作尸0//EC交射线CD

于点。，连接CP,作NPCF=NPCQ,交直线48于点尸，CG平分NECF,交直线于点G.

（1）若点尸，F,G都在点E的右侧，求ZPCG的度数；

（2）在（1）的条件下，若NEGC-NECG=40。,求/。尸。的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使包£=之？若存在，求出NCP。的度数；若不存在,

ZEFC2

请说明理由.

7.如图，已知AM"BN,//=64。.点尸是射线上一动点（与点/不重合），BC、分别平分418尸

ZPBN,分别交射线于点C,D.

U）ZABN的度数是,ZCBD的度数是；

（2）当点尸运动时，//四与44D8之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关

系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；

（3）当点尸运动到使=时，N/2C的度数是多少？

8.如图，已知直线/3//射线CD,ZCEB=100°.P是射线£3上一动点，过点尸作尸Q//EC交射线CD

于点Q,连接CP.作/PCF=NPC。，交直线43于点F，CG平分/ECF.

（1）若点尸，F,G都在点£的右侧.

①求/PCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=40°,求ZCPQ的度数.

（2）在点尸的运动过程中，是否存在这样的情形，使包9=3?若存在，求出NCP。的度数；若不存在,

NEFC2

请说明理由.

AEGFPBAEB

cQDc备用图0

9.如图，已知AMI/BN,//=60。，点P是射线4W上一动点（与点/不重合），BC,BD分别平分ZABP

和NPBN,分别交射线放于点C,D.

（1）求NCAD的度数；

（2）当点尸运动时，乙4四://m的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化

规律;

ZACB=ZABD,求此时ZABC的度数.

10.AB!ICD,C在。的右侧，BE平分NABC,DE平分NADC,BE、£>£所在的直线交于点

E.ZADC=70°.

（1）求NEDC的度数;

（2）若N/8C=30。，求/BED的度数;

（3）将线段8c沿。C方向移动，使得点8在点力的右侧，其他条件不变，若/4BC=〃。，请直接写出N8ED

的度数（用含〃的代数式表示）.

备用图

11.如图，已知直线/"〃2，直线/与直线4、4分别交于点C和点。，点尸是直线/上一动点，点/在直

线/］上，点B在直线上，且点力和点3位于直线/同一侧.

（1）如图（1）,当尸点在线段CD（不含端点C和0上运动时，求证：ZAPB=ZPAC+ZPBD.

（2）如图（2）,当点尸运动到直线4上方时，试写出NP/C、/AP8和/尸AD三个角的数量关系，并证明.

系.⑴(2)(3)

12.珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯”,B.如图1,2所示，假如河道两岸是平行的，PQ//MN,

且ZBAM=2ZBAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转

至3。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯/转动的速度是每秒2度，灯3转动的速度是每秒1度.

（1）填空：ZBAN=°；

（2）若灯8射线先转动30秒，灯/射线才开始转动，在灯3射线到达8。之前，/灯转动几秒，两灯的

光束互相平行？

（3）如图3,若两灯同时转动，在灯/射线到达/N之前，若两灯发出的射线NC与8C交于点C,过C作

乙4CD交PQ于点D,且N/C0=12O。，则在转动过程中，请探究N3/C与48CD的数量关系，并说明理

由.

13.如图1,AB//CD,点、E,尸分别在直线CD,48上，ZBEC=2ZBEF,过点Z作/G_LAE1的延长

线交于点G,交CD于点N,4K平分NBAG,交EF于点、H,交BE于点、M.

C1）直接写出ZFAH,/KE”之间的关系：=+；

（2）若NBEF=L/BAK,求NAHE；

2

（3）如图2,在（2）的条件下，将AA7/E绕着点E以每秒5。的速度逆时针旋转，旋转时间为当KE边

与射线即重合时停止，则在旋转过程中，当然加的其中一边与AENG的某一边平行时，直接写出此时才

的值.

14.已知/8//CD,线段即分别与/3、C。相交于点E、F.

图①图②图③

C1）如图①，当N/=20。，N/PC=70。时，求NC的度数；

（2）如图②，当点尸在线段即上运动时（不包括E、尸两点），ZA、N4PC与NC之间有怎样的数量?

试证明你的结论；

（3）如图③，当点尸在直线环上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，

直接写出它们之间的数量关系.

题园且平行线中的其他综合问题

15.如图，已知直线CD被直线/C所截，AB//CD,£是平面内任意一点（点E不在直线48、CD、

NC上），设NBAE=a,ZDCE=13.下列各式：①a+£,@a-[3,@p-a,④360。-&-£,N/EC的

度数可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

16.已知乙4与25（0。<乙4<180,0。</8<180。）的两边一边平行，另一边互相垂直，且244-/5=18。，

则乙4的度数为°.

17.已知：如图（1）直线48、C。被直线“N所截，Zl=Z2.

（1）求证：AB//CD；

（2）如图（2）,点E在43,CD之间的直线“N上，尸、Q分别在直线/3、CD上，连接尸£、EQ,PF

平分NBPE,QF平分NEQD,则/尸£。和NPF0之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；

（3）如图（3）,在（2）的条件下，过P点、作PH//EQ交CD于点、H,连接尸。，若PQ平分NEPH,

18.已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点。放在直线N3上，射线OC平分N/ON.

（1）如图1,若NMOC=28。，求N8ON的度数.

（2）若2Moe=m°,则/BON的度数为.

（3）由（1）和（2）,我们发现NMOC和N80N之间有什么样的数量关系？

（4）若将三角形MON绕点。旋转到如图2所示的位置，试问/MOC和N80N之间的数量关系是否发生

变化？请说明理由.

19.已知/8//CD,点、M、N分别是48、CD上的点，点G在48、CD之间，连接MG、NG.

（'】）如图1,若GM1GN,求N4WG+/CWG的度数；

（2）如图2,若点尸是C。下方一点，MG平分/BMP,ND平分NGNP,已知乙8MG=32。，求

ZMGN+ZMPN的度数；

（3）如图3,若点£是上方一点，连接EM、EN,且GM的延长线平分//ME,NE平济NCNG,

2ZMEN+AMGN=105°,求ZAME的度数

E

图1图2图3

20.已知直线4W、CN和点8在同一平面内，且4W//CN,ABVBC.

(1)如图1,求乙4和/C之间的数量关系；

(2)如图2,若BD工AM,垂足为。，求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,已知点。、E、尸都在直线上，且ZABD=NNCB,BF平分NDBC,BE平分NABD.若

ZFCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,请直接写出NE8C的度数.

21.已知，AB//CD,点£为射线FG上一点.

(1)如图1,若ZEAF=25。,ZEDG=45°,则//££)=.

(2)如图2,当点£在尸G延长线上时，此时CD与/E交于点〃，则乙4E。、NEAF、NEDG之间满足

怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,当点E在厂G延长线上时，DP平分NEDC,KZEAP:ZBAP=1:2,ZAED=32°,ZP=30°,

求/EKD的度数.

22.已知/"7/CN,点8为平面内一点，AB工BC于B.

(1)如图1,直接写出44和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点8作5DJ.4W■于点。，求证