北京市某中学2024-2025学年高二年级上册9月月考数学试题

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9

月份）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.（4分）已知直线/经过点（-3,-2）,（1,2）,则下列不在直线/上的点是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,D

2.(4分)直线狈+勿+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a,b,C应满足()

A.ab>0,be<0B.ab<0,bc>0

C.ab>0,bc>0D.ab<0,be<0

3.(4分)已知M=(2,1,-3)石=(一1,2,3),1=(7,6,1),若a,b,c共面，则X等于()

A.-3B.3C.-9D.9

4x+2y+l=0

4.(4分)若关于X,y的方程组c(〃£R)无解，则。=()

2%+ay+l1=0

历

A.2B.J2C.lD.—

2

5.(4分)如图底面为平行四边形的四棱锥夕—ABCD,EC=2PE,若OE=xA5+yAC+zAP,则

x+y+z=()

I5

A.lB.2C.-D.-

33

6.（4分）“帆=2”是"直线乙：（加一3）%+加,+1=0与直线/2:mx+（加一1）＞一2=0互相垂直”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（4分）设直线/的方程为x—ysin。—2=。，则直线/的倾斜角。的范围是（）

71713兀7171713兀

A.[0,7l]B.—,71D.

4249T'4,229T

8.（4分）在平面直角坐标系中，记d为点尸（cos6,sin。）到直线％一切―2=0的距离.当。、机变化时，d

的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

9.（4分）如图，三棱锥A—中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC与底面垂直，

E为BC中点,EF//AD，则平面AD8与平面AaF夹角的余弦值为（）

10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素

描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一

条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相

对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2,高为

4后的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（）

B.点C的坐标为（—2,2,26）

C.o,E，F，A四点共面

D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为—

6

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）已知。=（2,-1,3）/=（—4,2,x）,且则％=.

12.(5分)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3的直线方程为.

13.(5分)若a=(2,3,—1),人=(-2,1,3),则以为邻边的平行四边形面积为.

14.(5分)已知A(2,1,3),B(2,—2,6),。(3,3,6),则向量AC在上的投影向量坐标为.

15.(5分)若直线/:'+上=1(。＞0力＞0)经过点(1,2),则直线/在x轴和＞轴的截距之和的最小值是

ab

16.(5分)在正三棱柱A5C—4月£中，AB=A4=1,点p满足5。=几8。+〃54，其中

2e[0,l],//e[0,l],则下列说法中，正确的有.(请填入所有正确说法的序号)

①当4=1时，A与P的周长为定值；

②当〃=1时，三棱锥P—43C的体积为定值；

③当彳=；时，有且仅有一个点p,使得APLBP；

④当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得平面

三、解答题(共50分)

17.(12分)已知，A5c的顶点分别为A(2,4),B(7,-1),C(-6,l).

(1)求边的中线AD所在直线的方程；

(2)求5C边的垂直平分线上的方程.

18.(12分)在平行六面体ABC。—A笈GA中，A3=AA=2,AD=1，

ABAD=ZBA^=ZDA^=60°.

(1)求3。的长;

(2)求A到直线5C的距离;

(3)动点P在线段CR上运动，求AP-CP的最小值.

19.(12分)如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AAf,MD的中点.在五棱锥尸―A3CDE

中，F为棱PE上一点、,平面AB下与棱P。，PC分别交于点G,H.

(1)求证：AB//FG；

71

(2)若底面ASCDE,且以=AE,直线与平面AftF所成角为一.

6

(i)确定点厂的位置，并说明理由；

(ii)求线段PH的长.

20.(14分)设正整数〃之3,集合A={a|4=(尤1，%,・eR,左=1,2,,〃},对应集合A中的任

意元素。=(%,42,…尤”)和人=(%，%，…K)，及实数％，定义：当且仅当々="(左=1,2,…,〃)时

:

。=比。+力=(菁+%,/+%,...%”+丁")；%=(a1，丸马,.../1%").若4的子集5={«1,«2,g}满足：当且

仅当4=4=4=0时，4al+44+4a3=(°，°，、。)，则称8为A的完美子集.

(1)当〃=3时，已知集合

用={(1,0,0),(0/,0),(0,0,1)},为={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)},分别判断这两个集合是否为A的完美子

集，并说明理由；

(2)当〃=3时，已知集合3={(2〃z,人机加—桃一1,2m)}.若8不是A的完美子集，

求机的值；

⑶已知集合B=[al,a2,a3}^A,其中4=(马,第,…拓)(，=L2,3).若2闻＞民|+民J+1%J对任

意，=1,2,3都成立，判断8是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9

月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.D

y-(-2)x-(-3)

【解答】解：由直线的两点式方程，得直线/的方程为即％—y+l=。，

2-(-2)1-(-3厂

将各个选项中的坐标代入直线方程,

可知点（—2,—1）,（—1,0）,（0,1）都在直线/上，点（2,1）不在直线/上.

故选：D.

2.【答案】A

【解答】解：由于直线狈+勿+。=0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于o,在y轴上的截距大于

0,

a八

——<0

h

故1,故ab>0,Z?c<0,

-->0

.b

故选：A.

3.【答案】C

【解答］解:a=（2,1，-3）2=（-L,2,3）,C=（7,6,2）,

a.b.c共面，

二设a=mb+〃c，则(2,1,-3)=(-m+7n,2m+6n,3m+A,n),

-m+7〃=2

,,,<2m+6n=1,解得m=——,n=一,

44

3m+=-3

解得4=—9.

故选：C.

4.【答案】C

4x+2y+l=0、

【解答】解：：关于龙，》的方程组、，c(zaeR)无解,

2x+ay+l=0v'

•••直线4x+2y+l=0与直线2x+ay+l=0平行,

2a1

:.-=—=一,

421

解得a=1.

故选：C.

5.【答案】A

【解答】解：由题意，DE=DC+CA+AE=AB-AC+AP+PE

=AB-AC+AP+-PC=AB-AC+AP+-(AC-AP}=AB--AC+-AP,

33V733

又因为DE=xAB+yAC+zAP,

22

所以x=l,y=——，z=一,

33

所以x+y+z=l.

故选：A.

6.【答案】A

【解答】解：由题意两条直线垂直时，则”(/“-3)+m(mT)=°，即2加2一4加=0，

解得772=0或机=2,

所以“相=2”是"直线4：(加-3)x+7孙+1=0与直线]：7加+(加一1)丁一2=0互相垂直”的充分不必

要条件.故选：A.

7.【答案】C

7T

【解答】解：当sin9=0时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为一，

2

当sinJwO时，则直线的斜率上二——，

sin。

JTJT\

当0<sin。,,1时，则左G[1,+OO),这时直线的倾斜角为—I,

(兀3兀

当一L,sine<0,则左这时直线的倾斜角为1万,彳

TT3兀

综上所述：直线的倾斜角的范围为.

_44_

故选：C.

8.【答案】C

【解答】解：由题意d=忖上竺吧刍

Vl2+rn2

当sin(^-tz)=-1时,

:.d的最大值为3.

故选：C.

9.【答案】B

【解答】解：如图，连接

因为AB=BC=AC=DB=DC,E为6c中点,

所以AELBC,DELBC,

又平面ABC，底面5cD,平面ABCc底面38=8。,AEu平面ABC,

所以AE,平面38,故E£>,EB,EA两两垂直,

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2，由EF〃AD，

可得A(0,0,73),D(Q,0,0),3(0,1,0),F(-A/3,0,V3),

则AB=(0,1,-A/3),AD=(A/3,0,-^/3),AF=(-A/3,0,0),

设平面ABD的一个法向量为m=（x,y,z）,

m-AB=y—V3z=0

则有〈令x=l,得y=z=l,则m=

m•AD=A/3X-A/3Z=0

设平面AB厂的一个法向量为“二（。,反。），

n-AB—b—=0

则有《令c=l,得。=。力=6，得〃=（0,石』）,

n,AF=—=0

m-n42小

则cos<m,n>=p-n-r=-----广=--，

|m||n|2xV55

则平面AD8与平面AKF夹角的余弦值为25.

5

故选：B.

10.【答案】C

【解答】解：由题意正方形ABCD的对角线8。=2夜，

则G(2,2,2⑹，网0,2,3⑹,

则GE=J(2-Of+(2-2)2+(2&-3行f=瓜,故A错误;

因为GA=gx40=2近,则0卜2,2,2直），故8错误;

对于C,A（0,4,2夜），B（0.2,虚），

则OA=（0,4,2吗,OE=（0,2,3A/2）,（9F=（0,2,V2）,

所以。4=2。/，

又。为三个向量的公共起点，所以。，瓦工A四点共面，故C正确;

由OE=&，得。（一1,3,3四），

则CE=（2,0,拒），DG=（3,—1,-亚卜

6+0-2_72

贝！Jcos<CE,DG>=

V6X2A/3-3

所以直线CE与直线QG所成角的余弦值为变，故D错误.

3

故选：C.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为a=（2,-L,3）力=（T,2,x）,且a〃b，

所以存在实数力使得

2=-42

a-Ab即<-1=24

3=Ax

解得x=-6.

故答案为-6.

12.【答案】见试题解答内容

【解答】解：设要求的直线方程为：x-2y+m^Q,

把点(—1,3)代入上述方程可得：—1—2x3+m=0,解得m=7.

二要求的直线方程为：x—2y+7=0,

故答案为：x-2y+7=0.

13.【答案】见试题解答内容

【解答】解:设向量的夹角为。，

a=(2,3,-1),^=(-2,1,3).

.cos6=a-b=2x(-2)+2xlj(-l)x3=_2

"问似,22+32+(—1)2•5(-2)2+仔+3271

由同角三角函数的关系，得Sin6=Jl—cos2，=芷,

7

二以a1为邻边的平行四边形面积为S=|a|-Wsin，=JIZxJi4x±5=6j?，故答案为：6卮

14.【答案】mi

【解答】解:因为4(2,1,3),5(2,—2,6),C(3,3,6),

所以4。=(1,2,3),45=(0,-3,3),

所以ACAB=-6+9=3，

ACABAB3(0,-3,3)<11)

所以向量AC在AB上的投影向量坐标为诲「•丽=屹・三吠=1°，—5,5人

故答案为：W

15•【解答】解:直线/」+工=1(。>0力〉0)经过点(1,2)

ab

」+吗,

ab

/12、〃2

a+b—(<a+b^[—----1-.3+2^/2,当且仅当沙=J5a时上式等号成立.

•••直线在X轴，y轴上的截距之和的最小值为3+20.

故答案为：3+272.

16.【解答】解：由题意得：BP=ABC+/nBB,,2e[0,1],//e[0,1],所以P为正方形耳内一点,

①当;1=1时，BP=BC+JuBBl,即CP=〃34，〃e[0,l],

所以P在线段CG上，所以ABF周长为AB]+AP+与P,

如图1所示，当点尸在片,鸟处时，B.Pi+AP}^B,P2+AP2,故①错误；

②如图2,当〃=1时，即，即4P=/L3C,Xw[0,l],

所以尸在B]G上，^P-AIBC=§'SAIBC'"，

因为与&〃平面ABCu.BCu平面ABC,所以点P到平面4BC距离不变，即人不变,

故②正确；

③当X=g时，即+,如图3,

M为301中点，N为5C的中点，P是MN上一动点，

易知当〃=0时，点尸与点N重合时，由于A3C为等边三角形，N为BC中点、,

所以4VL3C,又叫41cA7V=A,

所以BN_L平面ANMA,

因为[Pu平面ANMA，则

当〃=1时，点P与点”重合时，可证明出，平面BCC4,

而5A/U平面5CG4,则即APL5P,故③错误；

11

④，当〃=a时，即BP=430+584,如图4所示，。为8片的中点，E为CG的中点，

则P为DE上一动点，易知ABLAB],

若45,平面AB/,只需43,31P即可,

取用C的中点尸，连接AfBE,

又因为[R，平面BCC/],所以AFLPB],

若A5LP4，只需用「，平面AF6,即用PLFB即可,

如图5,易知当且仅当点P与点E重合时，与PLFfi故只有一个点p符合要求，使得48,平面

ABXP,故④正确.

故答案为：②④.

C

E

C

A

AB

图2

“Z

,✓

，Z

//

/一

P

/_一一2

」一

图1

三、解答题（共50分）

17.【答案】（1）8x-3y-4=0；

(2)26x-4y-13=0.

【解答】解：（1）设5C中点。的坐标为（飞,阳）,

皿7—61-1+1八

则％=亍=5，%=-=0,

边的中线AD过点A（2,4）,"；,o）两点,

Q_4-02^],即8x_3y_4=0；

・AD所在直线方程为丁一yr

.•2--

2

-1-12

(2)3C的斜率左=-----

7+613

BC的垂直平分线DE的斜率匕=一,

2

直线DE的方程为'—万］'即26x-4y-13=0.

18.【答案】（1）5

（2）2；

【解答】解：(1)AB=AAi=2,AD=\,ZBAD=ZBA\=ZDAA,=60,

因为町=BA+AD+DDr=-AB+AD+AAl,

222

所以|=,AB+AD+AA^=^AB+AD+A^-2ABAD-2ABAAi+2ADAAi

而AD=|AB|•|AD|cos60°=2xlxg=1,

ABAA,=\AB\-\AA^cos60°=2x2x^=2,

=|A£>HA411cos60°=lx2x1=l,

所以,用=74+1+4-2x1-2x2+2x1=逐,

即BA的长度为近；

(2)因为AD=A4jCOs60=2xg=l,

所以A。，AD,AD〃5C,

所以4DL3C,

在.ABD中，BD=7AD2+AB2-2AD-ABcos60=^l+4-2xlx2x1=百，

所以AD2+3£>2=Ag2,

即

又因为A]£)cBD=D,

所以NC,平面A3。，

而ABu平面\BD,

所以ABLBC,

即48为A到直线BC的距离，

而AX】=AB=2,Z\AB=60,

所以三角形A4]5为等边三角形，即=2,

即4到直线5c的距离为2;

(3)设C户=XCD；,

则""二丛小十0+匿+砌爪山平-3-砌海《乂九姬-池-幽九姬

=［（2-1）AJB-2A41-AD］-2（AB-A41）

=2{^-}}AB-^-1）AB-AAx-XAAx-AB+XA\-AD-AB+AD-AA^

22

=2［（2-1）X2-（22-1）|AB|-|A41|COS60+2X2-|AD|-|AB|COS60+|叫{A41kos60

=44（2-l）-（22-l）x2x2x-+42-lx2x-+lx2x-=422-22=4（

一222」I4J4

当4=工时,

4

这时APCP的最小值为-'.

4

19.【答案】（1）证明见解答；

（2）（1）尸为尸E中点；（2）2.

【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，AB//DE，

又A3e平面PDE,DEu平面PDE，

所以AB〃平面PDE，

又ABu平面ABFG,平面ABFGc平面PDE=FG,

则AB//FG；

7T

（2）解：（1）当尸为PE中点时，有直线5c与平面A5尸所成角为一,

6

证明如下：由24_L平面ABCDE,可得PA_LAB,?A，AE,

建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示:

Pl

则A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（2,1,0）,P（0,0,2）,

又F为PE中点、,则E（0,l,l）,3C=（Ll,0）,AB=（L0,0）,AF=（0,Ll），

设平面AB尸的一个法向量为为=（尤,y,z）,

n-AB=0x=0

则有〈.，即《八，令z=l,则y=-1,

〃,AF-0[y+z=°

则平面ABF的一个法向量为n=（0,-1,1）,

设直线3C与平面A3下所成角为a,

\n-BC\_1_1

则sina=|cos<n,BC>|=

\n\\BC\~j2xy/2~2

TT

故当尸为PE中点时，直线5C与平面A5尸所成角的大小为一.

6

（2）设点H的坐标为

因为点H在棱PC上，所以可设P//=2PC（O<2<1）,

即（见%坟一2）=2（2,1,—2）,所以M=24V=4W=2-22,

因为〃=（0,—1,1）是平面ABFGH的法向量,

所以〃•A"=0，即（0,—1,1）•（2442—22）=0,

2f422（424

解得4=:，故，则P吟了「

3

所以|「叫=

20.【答案】（1）四是A的完美子集，层不是完美子集;

（2）m=-

4

（3）8是A的完美子集.

【解答】解（i）设4q+44+4%=（0，0，0），