2024年高考数学适应训练试卷（新高考专用）（解析版）

2024年新试卷题型适应模拟训练卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：

色差X21232527

色度y15181920

已知该产品的色度y和色差》之间满足线性相关关系，且9=O.8x+G,现有一对测量数据为（30,23.6）,则

该数据的残差为（）

A.0.96B.-0.8C.0.8D.-0.96

【答案】C

-1—1

【详解】解：依题意可得彳=^（21+23+25+27）=24,y=*（15+18+19+20）=18,所以18=0.8x24+2,

解得"-L2,所以亍=0.81.2,所以当x=30时9=0.8x30-1.2=22.8,所以该数据的残差为

23.6-22.8=0.8；

故选：C

2.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,E是AC的中点，2丽=诙，则而•近的值为（）

【答案】C

【详解】由题意可得：1而|=3,1正|=4,

^ADBE=(AB+JBC)(^AC-AB)=(AB+JAC-^AB)-(^AC-AB)

=|(AB+|AC)-(|AC-AB)

2―.21—.2210

=——(AB——AC)=——(9-4)=--

3433

故选：C

3.已知公差不为零的等差数列｛%｝满足：%+/=20,且应是出与知的等比中项.设数歹！J｛2｝满足

么=-^(”eN*),则数列出｝的前〃项和5“为()

anan+l

11<1)n

B.1+

2\2n+l)2n+l<2n+lJ2n+l

1,(1、I〃

2(1-2^+1J-2n-1D.1+=------

21I2n+l;12n-\

【答案】A

2q+9d=20[a,=1

“3+/=20则‘(％疗解得"

【详解】根据题意可得+4=(q+d)(q+13d)'=2所以。“=2〃-1,

。5~。2"14

1”1______

(2/I-1)(2M+1)，2〃-12n+l)

=—1-----------

212/7+1

n

2n+\

故选：A.

4.已知优，”是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，给出下列命题：

①若a〃£,"ua,nu/3,则才||〃；②若，"||c,m||n,则川|a；③若机，〃是异面直线，则存在a,

"，使根ue,nu/,且tz〃夕；④若a,夕不垂直，则不存在mua,使机

其中正确的命题有.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】①由图可知符合：a//13,mea,〃u〃，

但〃?，〃为异面直线，不平行，故①错误.

②由图知符合：加IIa,m||n,

但wua,故②错误.

③根据条件：机，”是异面直线，则存在a,/3,使wiua,nu/3,可画出c〃6,

如图所示:,即存在a〃夕，故③正确.

④假设：mua,mVp,由平面与平面垂直的判定可得：a1/3,与已知矛盾，

故a,口不垂直，则不存在mua,使机_1_〃，④正确.

故选:B

5.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办

的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个歌舞，节目,现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相

对顺序不变，则不同的排法种数为()

A.56B.90C.110D.132

【答案】B

【详解】根据题意分两类，

第一种两个“对唱”节目相邻：C阳=9x2=18,

QXQ

第一种两个“对唱”节目不相邻：c＞；=—x2=72,

则不同的排法种数为18+72=90.

故选:B

6.若对函数〃x)=2x-sinx的图象上任意一点处的切线乙，函数g(x)=+(m-2)x的图象上总存在一点

处的切线4,使得则机的取值范围是()

A.[-别B.因

C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】D

【详解】由"尤)=2x-sinx,得r(x)=2-cosxe[l,3],所以一；；一'---e=A,

由g(x)=%/+(m-2)x,得/(%)=m/+m-2,设该导函数值域为5,

(1)当机>0时，导函数单调递增，gr(x)e(m-2,+oo),

由题意得七,土2,广&)，(工2)=t/•，(电)=-予工••4口5

故加一2<-1,解得0<相<1；

(2)当mv0时，导函数单调递减，g'(x)£(-co,机-2),同理可得根-2>-与m<0矛盾，舍去;

(3)当机=0时，不符合题意.

综上所述：加的取值范围为(0,1).

故选：D.

7.已知单位向量1,5的夹角为8,且tan6=g,若向量/=百万-3$,则网=

A.72B.73C.V26D.血或回

【答案】A

【详解】由tan9=:，。为圆5的夹角，故。为锐角，所以求得cos0=2叵；

25

又因为|应「=(君/一35『=14一66万0=14-6右同卡卜0$6=2

所以网=也.

故选：A.

8.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆

22

周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：宏+方=l(a>6>0)的左，右焦点分别是%尸2,

产是C上一点，归耳|=3归居HP*4,C的面积为12%，则C的标准方程为()

=1

2C。卜D.f4

A.—+=1B.—+y=l

36412

【答案】C

O1

【详解】由椭圆的定义可知|母;|+|「闾=2。，又|班|=3|尸闾，所以|尸用=声，|尸局=（.又居=7?r

寓阊2=|尸耳『+］尸阊2一2户周.|尸闾cosN耳尸耳,所以4c2=#+#-#,所以°=君,

万=J/-。？=/c.又椭圆的面积为12兀,所以余5=12万

解得c?=7,a2=16,b2=9.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

Cf

A."a为第一象限角”是“蓝为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件

JT1

B.iia=—+2k7i,左eZ”是"sina=-"的充要条件

62

C.设加=“。=配±；,4£2,,N="a=?,%£Z,,则“夕£”是"OcN”的充分不必要条件

A

D."sin，>0”是“tan—>0”的必要不充分条件

2

【答案】AC

【详解】对于A,因为。为第一象限角，

71

所以2fai<a<—+2尿,keZ,

2

兀

贝ljE<a<一+kit,keZ,

4

当上为偶数时，a为第一象限角，

当上为奇数时，a为第三象限角，

所以充分性成立；

当。=：时，a为第一象限角，则2a=T，为第二象限角，

即必要性不成立，故A正确；

7T

对于B,当a=—+2%兀,左eZ时，

6

sina=1成立，则充分性成立；

2

17T、5兀

当sina=—时，a=—+2也或1=----卜2kn,k$Z,

266

故必要性不成立，则B错误;

71Q.：(43)兀

对于C,M=aa=kit土一，keZ\=<a,k\,

44

而N=jaa=w，kEZ1,

则MN,故则“d^M”是“6£N”的充分不必要条件,故C正确；

对于D,当sin。>0时，2E<e<2E+jr«£Z,

则E<g<fai+工，kEZ,

22

A

则tan；>0,故充分性成立，

2

当tan—〉0H寸，ku<—<ku—,k£Z,

222

贝|J2kji<0<2hi+7i,kGZ,

贝ijsin"0成立，

A

所以“sin6>(T是的充要条件，故D错误，

故选：AC.

10.已知复数Z1=l+2i,复数Z满足|z-zj=2,则()

A.Z]•Z[=5

B.A/5-2<|Z|<A/5+2

C.复数I在复平面内所对应的点的坐标是(-L2)

D.复数z在复平面内所对应的点为Z(x,y),则(x_l)2+(y-2)2=2

【答案】AB

【详解】由已知,=1—2i,其对应点坐标为(1,一2),C错;Z/)=12+22=5,A正确；

由|z-zj=2知z对应的点在以4对应点为圆心，2为半径的圆上，匕|=右，

因止匕6-2w|z|<正+2,B正确；4对应点坐标为(1,2),因此(x-l)2+(y-2)2=4,故D错误,

故选：AB.

11.已知定义在R上的连续函数〃元)，其导函数为f(x),且/(O)=ejg]=l,函数y=/'与为奇

函数，当尤时，r(x)>/(X),贝u()

A./(l)=eB./(2)>e2

01

C.3X0GR,/(X0)<1D./(e)>/(-lnl.l)

【答案】ABD

【详解】A项，在〃力中，/(O)=e,/^=l,函数尸尸1+J为奇函数，

所以函数y=/(x+£j为偶函数，则=,

所以函数关于x=:对称，

所以/(l)=/(O)=e,故A正确；

B项，令g(x)=与，

因为当x>g时((x)>〃x),

所以当时，g，(x)=7'(He：/")二=/⑺-"x)>0,函数g@)单调递增,

2ee'v

所以g⑵=ghg(l)=*{=l,

所以〃2)>e2,B正确;

c项，当x>g时，g(x)=^>gQ^=^y=4>o>

所以尸(x)>〃x)>0,函数f(x)单调递增,

所以当时，函数/(无)单调递减，

则/⑺在x=p又得最小值为1,

所以不存在天€旦/(5)<1,C错误；

D项，由函数〃x)关于尤=：对称，

当x>0时，令Mx)=e“—x,〃(%)=1—1>0,函数〃(x)单调递增，

y/z(x)=ex-x>/z(O)=e°-O=l,则e*>x+l,

所以e°」>l+0.1=l］，e01-1>l.l-^=0.6,

22

1Y

令夕(x)=ln(l+x)—%,夕'(％)=-----1=---------<0,

1+x1+x

所以函数。(%)单调递减，^(x)=ln(l+x)-x<^(O)=ln(l+O)-O=O,

所以ln(l+x)<x,

所以lnl.l=ln(l+0.1)<0.1,1-(-lnl.l)<1+0.1=0.6,

所以e。」与g的差大于3与-lnl.1的差，

因为函数/(X)关于尤=g对称，当x>g时，函数/(无)单调递增，

所以/(e°」)>/(-lnLl),D正确；

故选：ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.^f{x|O<x<l}n{x|x2-2%+；M>O}=0,则实数机的一个取值为.

【答案】"7=0(答案不唯一)

【详解】因为{彳1一2%+%>0}#0,

且当A=4—4/"<0时，即机£1时，{x|0V尤V1}口{X/-2x+m>0}*0,

当A>0时，即R>1时，才有可能使得{xlOWxWWnix*-2尤+相>0}=0,

当Y一2x+m=0的两根刚好是。,2时，即m=0,止匕时/一2x>0的解集为(f,0)U(2,收)刚好满足

{x|0<x<\}H{x|x2-2x+m>O}=0,

所以加40,所以实数加的一个取值可以为帆=0.

故答案为：m=0

13.已知。为抛物线C俨=4x上的动点，动点M满足到点4(2,0)的距离与到点尸(尸是C的焦点)的距

离之比为孝，则|。暇|+1。石的最小值是.

【答案】4-V2

由题意得歹(1,0),I。尸I等于点Q到准线x=-l的距离,

过点。作QS垂直准线于点S,则|Q典=|QS|,

22

.、J(x-2)+yJ22

设动点M(x,y),则可I-=*整理得(》-3)一+，=2,

22

所以点M的轨迹为以5(3,0)为圆心，半径为后的圆，

所以|QM+|QF闫QB|-0+|QS|,所以当S,0,MB四点共线时，|。闾+|。司最小，

故(|QM+|QHL=1+3_0=4-点.

故答案为：4-^2.

14.如图所示，在正方体48。-4耳£。中，M是棱AA上一点，平面MBA与棱CG交于点M给出下面

几个结论：

①四边形M2NQ是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线8月垂直；④任

意平面MBND、都与平面ACB1垂直.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

【详解】对于①，因为平面九/2与棱CG交于点N,所以M,8,。,N四点共面,

在正方体ABCD-AAG"中，由平面2CC4〃平面ADD^,

又平面平面平面MBqn平面2CC4=2N,所以MDJ/BN,

同理可得N2〃MB,故四边形MBNA一定是平行四边形，故①正确

对于②，在正方体ABCD-4耳中，AiDl1面ABBiAi,

因为u面，所以AD-LBM,

若MBND,是正方形，有MD、IBM,MDt=BM,

若A，M不重合，则与A.矛盾，

若4,加重合，则不成立，故②错误；

对于③，因为平面MBNQ,3BR<90。,

若直线8片与平面MBNR垂直，则直线2月J.22,显然矛盾，

所以平面M2NQ与直线8月不可能垂直，故③错误

对于④，因为2月，平面ABCD,ACu平面ABC。，所以

又BD_LAC,BB[cBD=B,BB],BDu平面BBQQ,所以AC_L平面B8QD,

又〃Bu平面8BQ。，所以RB_LAC,

同理：D^IAB,,又ACu平面AC4，AB]U平面ACB-ACnAB1=A,

所以28,平面ACB-因为08u平面MBNR,所以平面MBNR，平面4c遥，故④正确.

故答案为：①④.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知/(x)=V+以2+1,。eR.

2

(1)若/(*)在x=§处取极值，求/⑺在点(-。1)处切线方程；

(2)若函数/⑺在区间[0,1]最小值为一1,求a.

【答案】(1)y=x；(2)a=-3.

22

【详解】解：(1)•.,/口)=3》(》+鼻。)，又Ax)在％=可处取极值，

DJ

%)=0得。=—1,

当a=-l时广(x)=3x,-1］,函数在(-8,0)和||,+<|上单调递增，在上单调递减，满足题意;

/.f(x)=x3-x2+l,切点为(L1),切线斜率为左=/'⑴=1

.../(X)在点(1,1)的切线方程为y=X

(2)•••/'(x)=3x(x+?),令r(x)=。得x=0或一号

若则xe(。」)时尸(x)>0,/(x)在［0,1］为增函数

此时，(x).=/(0)=l>T舍去

32

若5，则—此时％㊂(。/)时/'(X)<o,/(尤)在［0,1］为减函数

a

fWmin=/(I)=2+«=-1,得a=-3£(-8,-万)满足题意

若0〉a>—』，贝止匕时工£(0,-2。)时r(x)<0,%£(一丝」)时广(%)>0

2333

/(X)在(0,母单调递减，在(-年,1)单调递增，

此时/(X)mM=/(-争=?+1=-1解得。一^停货(-|，。)舍去

综合以上得a=-3

16.(15分)为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参

加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为:，乙同学晋级第二轮的概率为机.若甲、乙能进入第

二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为1.假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互

不影响.

(1)若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为、，求加的值；

(2)在(1)的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率.

、119

【答案】⑴产而

【详解】(1)设事件A表示“甲在初赛中晋级”，事件B表示“乙在初赛中晋级”，

由题意可知，P(A豆uAB)=P(AB)+=；(1-%)+11-j加=卷，

解得根=；

(2)设事件C为“甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，。为“甲能参加市级比赛”，E为“乙能参加

市级比赛”,

111

则尸(。)—X—=—

339

尸

lx1-111-1x11=19

所以尸（0=+

912912108

JT

17.（15分）如图‘在平行四边形中,48=0,BC=2,ZABC=-,四边形ACE尸为矩形，平面

ACEF±¥ffiABCD,Ab=1,点M在线段所上运动.

（1）当时，求点M的位置;

（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECO所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）点M为斯的中点⑵萼

JT

【详解】（1）解：,•,A8=0，AD=BC=2,ZABC=~,

4

AC=\lAB2+BC2-2AB-BCcosZABC=近,

AB2+AC2=BC2,ZR4C=90°,:.AB±AC,又APJLAC,

又平面ACER_L平面ABC。，平面ACEFPl平面?WCD=AC,AFu平面AC。,

.,.钻1.平面4£仪）,

所以以AB,AC,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

贝I]A(0,0,0),B(72,0,0),C(0,-J2,0),0(-^,-J2,0),E(0,72,1),F(0,0,1),

设M(0,y,l),噫犷-J2.

贝■二©&),W=(A/2,J-A/2,1)

-.■AE±DM,AE-DM=y/2(y->/2)+l=0,V=--—=-

2FE2

.,.当AELDM时，点M为E尸的中点.

（2）解：由（1）可得丽=（一行,#』），BC=（-72,72,0）

设平面MBC的一个法向量为沆=（尤1，%，4）,

L_「亚

m•BM=—12x、H----y,+z.=0-

则T2-11，取％=2,贝I]加=(2,2,夜)，

m-BC=-y/2xl+0yl=0

易知平面E8的一个法向量为元=(0,1,0),

c,,\m-n\2而

cos6=cos<m,n>=—1----=,_=---,

\m\-\n\14+4+25

,平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值为巫.

5

18.(17分)已知椭圆G：，■+y2=l(a>l)与抛物线C2：/=2px(p>。)在第一象限交于点。(4,五)，A,

5分别为G的左、右顶点.

⑴若x°=l,且椭圆G的焦距为2,求C?的准线方程；

（2）设点尸。,0）是G和C2的一个共同焦点，过点尸的一条直线/与G相交于C,。两点，与C?相交于E,G

两点，CD=AEG，若直线/的斜率为1,求九的值;

（3）设直线QA,直线。8分别与直线x=a+l交于N两点，与AQAB的面积分别为S，邑，若空

»2

的最小值为%求点。的坐标.

【答案】（1）》=一：（2）2=±也（3）4

o6

【详解】（1）由题意得2c=2,故c=l,则=解得4=2,

故椭圆G：—+/=1-

2

因为。（无2,%）在第一象限，X°=l,所以为=g,

所以Q,将其代入y2=2px（p>0）中，即2P=g,解得p=:,

故Cz的准线方程为x=Y，x=W；

2o

（2）由题意得。2-1=14=1,解得/=2,p=2,

2

故C|：[+y2=l,C2-.y=4x,

直线/的方程为y=xT,联立C：L+/=1得，3X2-4X=0,

2

设。（药,弘）,。（%2，%），则Xi+X2=g，%%=°，

故\CD\=Jl+1J（X[+0）2_4占/=A/2xJ=~~，

联立kXT与C2：y2=4x得，X2-6X+1=0,

设双玉,%）々优,%）,则%+匕=6,X3X4=1,

故忸G[=Jl+]J（%+xj--4X3X4=xJ36-4=8i

_.逑

若诙,两方向相同，力=£2=工=立，

EG86

若丽,而方向相反，2=-—,

6

\0/FJX

^~7D\^

所以4=+-^-;

6

(3)由A(—a,0),g(xe,ye]，”(a+1,%)三点共线，可得

YM丁。.,y(2—(2a+l),

o=，故加=

2a+1xQ+axQ4a

同理，由5g,0),Q[XQ^Q),N(a+1,%)三点共线，可得

yQ

yN=，

xQ-a

I

贝!J£=5(>M-后卜(。+1-%0

v

2\^XQ+axQ-aJ

(x-a-l)ya(xQ-a-l)~yQ

=aQQ=--------------,

Q

XQ-a2、'O2~XQ

因为《+〃2其=",所以〃一《?=片区,

所以S«兀-y)&a(q))2_他一々-1)

ayQ

又S?=—|AB|-yQ=yQa,

故县=(尤叱力=2

—,

2

S2々2,a一《

因为演£(0,a),令Q+1-XQ=/e(l,a+l),

贝IXQ=Q+1—1，

si(xQ-a-iy_______?_________________1__________

所以司―2()

a2T--r+2fl+2f-2fl-l（一2。_1）；+（2。+2）；-1

“•一

其中二1e

Q+1J

因为“>1,所以y=（-2a-l）g+（2a+2）：-1的开口向下,

2〃+2a+1

对称轴为一2（-24-1）=罚,

Q+11a?+2。+1—2〃—1a?_

其中------=------------------------=------------------->0

2a+16/+1(2。+1)(〃+1)(2Q+1)(Q+1)

故当；=黑时，y=（-2a-l）J+（2a+2）f取得最大值,

212

Q+1

最大值为y=(-2a-l)+(2cl+2),---------1---------

2。+11172。+12Q+1

故］的最小值为&L

令”=：，解得。=2,负值舍去,

a4

,1a+13…/口5

故L-=7~~7=7'解得/=彳，

t2a+153

】054

x=Q+1一方=2+1—=—,

nQ33

又吃+a2y1=a2,故y°=g,

则点。的坐标为

19.（17分）已知有穷数列｛见｝的各项均不相等，将｛4｝的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列｛%｝,

称｛%｝为｛4｝的“序数列”.例如,数列生、的、%满足4>%>出，则