导数的概念、运算及几何意义（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第01讲导数的概念、运算及几何意义

（8类核心考点精讲精练）

1%.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

己知切线斜率求参数

2024年新I卷，第13题,5分直线的点斜式方程

公切线问题

利用导数研究含参函数单调性

2024年新II卷，第16题,15分求在曲线上一点处的切线方程

根据极值求参数

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷，第10题,5分求在曲线上一点处的切线方程

求已知函数的极值点

抽象函数的奇偶性

2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系

函数对称性的应用

2022年新I卷，第15题,5分求过一点的切线方程求某点处的导数值

2022年新II卷，第14题,5分求过一点的切线方程无

2021年新I卷，第7题,5分求过一点的切线方程利用导数研究函数图象及性质

两条切线平行、垂直、重合

2021年新II卷，第16题,5分直线的点斜式方程及辨析

（公切线）问题

2020年新I卷，第21题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题

2020年新II卷，第22题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右

【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,

了解极限思想

2能通过函数图象直观理解导数的几何意

3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单

的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表

4能理解导数的几何意义并会求切线方程

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程,

需加强复习备考

知识点1导数的概念

知识点2八大常用函数的求导公式

知识点3导数的四则运算

核心知识点

知识点4复合函数的求导公式

知识点5导数的几何意义

导数的概念、考点1导数的计算

运算及几何意义考点2求曲线切线的斜率或倾斜角

考点3求在曲线上一点的切线方程

考点4求过一点的切线方程

核心考点考点5已知切线(斜率)求参数

考点6两条切线平行、垂直问题

考点7公切线问题

考点8切线(方程)的综合应用

知识讲解

1.函数V=/(%)在x=处的导数

/(xo+Ax)—/(xo)Ay

⑴定义：称函数y=/(x)在x=xo处的瞬时变化率limlim二为函数y=/(x)在x=x()处

Axf0AxoAx

.Ay/(xo+Ax)—/(xo)

的导数，记作了(xo)或VW=xo，即/(xo)=lim—=lim

Axf0AYAr-0Ax

2.函数y=/(x)的导函数

如果函数y=/(x)在开区间(。，6)内的每一点处都有导数，其导数值在(。，6)内构成一个新函数，函数/(x)=

./(x+Ax)—/(x)

lim----------------:----称--为函数〉=/㈤在开区间内的导函数.

Ax

3.八大常用函数的求导公式

(1)C'=Q(C为常数)

27---1--

⑵(心)，"，例:"5x4,(一)=",(内=(3，=寸5

(3)(exy=ex(4)=ax\na(5)(lnx)r=—

x

(6)(logx)r=---(7)(sinx)r=cosx(8)(cosx)r=-sinx

Jflx]na

4.导数的四则运算

⑴和的导数：[/(x)+g(x)]=/'(x)+g'(x)

⑵差的导数：[/(')—g(x)]二/'(x)—g'(x)

(3)积的导数：[/(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)(前导后不导+前不导后导)

f

(4)商的导数：/⑴=/(x)g(x)一』(x)g(x),g(x)wO

_g(x)」g2(x)

5.复合函数的求导公式

函数y=/(g(x))中，设M=g(x)(内函数)，则了=/(")(外函数).,._/=%-Ux

6.导数的几何意义

(1)导数的几何意义

函数y=/(X)在X=X0处的导数/'(X。)就是曲线^=/(X)在点(为,/(%))处的切线的斜率3即

k=f'(x)=lim/(/+.)-/(X。).

0aAx

(2)直线的点斜式方程

直线的点斜式方程：已知直线过点尸(/,%))，斜率为左，则直线的点斜式方程为：y-y0=k(x-x0)

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点尸(如%),求曲线过点尸的切线，则需分点户(4,加是切

点和不是切点两种情况求解.

(1)当点尸(%,%)是切点时，切线方程为y-%)=左(%一双))；

(2)当点尸(%,%)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标尸'(程/区))；

第二步：写出过P'(X],/(xJ)的切线方程为y—/(xj=/'(xj(x—xj；

第三步：将点P的坐标(Z,%)代入切线方程求出对

第四步：将％的值代入方程y—/(xi)=/'(xj(x—xj,可得过点尸(%,%)的切线方程.

考点一、导数的计算

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)求下列函数的导数:

⑴"eRx+iy；

(2)y=cos(3x-l)-ln(-2x+1)；

⑶y=sin2x+cos2x；

⑷y=J21.

X

⑸〉=e“sinx-cosx

(6)y=tanx+ln(-x)

,、.xx

(7)^=x-sin—cos—

⑻..厂ln(l:-x),

ex

2.(2024高三・全国•专题练习)求下列函数的导数:

(土x\

(l)y=2e+xe2；

\7

(2)y=a2x+x2；

⑶y=sin43x•cos34x；

,、xlnxi/n

⑷〉=-----ln(x+l).

x+1

即时检测

1_____________

1.(2024高三・全国•专题练习)求下列函数的导数

(l)J=ln3；

⑵>=

COSX

(3)/(%)

ex

(4)^=(2X2-1)(3X+1)；

⑸/(x)=InJl+%2;

,、1+cosx

⑹尸—

smx

2.(2024高三•全国•专题练习)求下列函数的导数.

(l)y=xex

Inx

⑵了=

x2+l

（3）y=2sin（l-3x）

（4）j=—^lnx+Vl+x2.

3.（23-24高三上•山西临汾•阶段练习）求下列函数的导数:

⑴>=(/+3x+3)e"+i

,、cos(2x+1)

(2)y=---------

x

(3)^=ln——

1+2x

(4)歹=(%+DO+2)(x+3)

(5)j?=x\nx+x2-x+2

(6)y=In2+x，+e*——

考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角

典例引领

1.（全国•高考真题）曲线y=xe，T在点（1,1）处切线的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

2.（全国•高考真题）曲线y=》3-2x+4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

即

1.（2024・上海嘉定•二模）已知曲线y=gx3上有一点P。，1）则过P点的切线的斜率为

2.（2024・福建厦门•一模）已知直线/与曲线y=x3-x在原点处相切，贝心的倾斜角为（

考点三、求在曲线上一点的切线方程

典例目阚

2x—1

1.（2021•全国•高考真题）曲线y=—^在点（T-3）处的切线方程为_______.

x+2

2.（2023・全国•高考真题）曲线y=占在点［1,£|处的切线方程为（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

3.（2024・全国•高考真题）设函数则曲线y=在点（0,1）处的切线与两坐标轴所围成

的三角形的面积为（）

即时检测

1.（2024•全国•模拟预测）函数〃x）=e'（x2-2尤+2）的图象在点处的切线方程为（）

A.x+ey-4=0B.x-ey+6=0C.ex-y+6=0D.ex-j^+e+—=0

e

2.（2024•河北保定•三模）曲线〃x）=e-3x在点（0,〃0））处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

（）

3.（2024・湖北•模拟预测）写出函数=3-十瓦的一条斜率为正的切线方程：,

考点四、求过一点的切线方程

典例引领

1-___________

L（2022•全国•高考真题）曲线＞=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,

2.（2024・贵州•模拟预测）过点尸（1,-3）作曲线y=2d_3x的切线，请写出切线的方程.

1.（2023•全国•模拟预测）过原点可以作曲线＞=/（》）=X2-国+1的两条切线，则这两条切线方程为（）

A.>=x和丁=TB.歹=一3%和y=3x

C.y=x^y=-3xD.丁=一％和歹=3%

2.（2024•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线〃x）=e、，-2x+2）的切线，则切线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

考点五、已知切线（斜率）求参数

典例引领

1.（全国,高考真题）曲线了=（办+1户在点（0,1）处的切线的斜率为-2,贝匹=.

211

2.（2024•湖南长沙•二模）已知m>0,">0,直线y=-x+m与曲线y=2\nx-n+A相切，贝IJ—+-

emn

的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

即时检测

1.（2024・四川遂宁三模）曲线y=/+°x在点P（l,6）处切线的斜率为3,则实数。=.

2.（2024・浙江绍兴•二模）函数/（x）=x+alnx在点（1,1）处的切线与直线y=2x平行，则。=（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.（2024高三下•全国•专题练习）已知函数g（x）=x（"+21nx）,若曲线y=g（x）在x=l处的切线方程为

y=6x+b,贝!Ja+b=.

考点六、两条切线平行、垂直问题

典例引领

L（2021•全国•高考真题）已知函数/。）=,-1|,占<0,々>0,函数/⑴的图象在点/（玉,/（玉））和点

8卜2，/（々））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则微^取值范围是.

2.（2023・四川凉山•一模）函数/（x）=；/+ainx在区间（1,2）的图象上存在两条相互垂直的切线，贝壮的取

值范围为（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-2,0）D.（-3,-2）

3.（2024•河北邢台•二模）已知函数〃x）=x2+21nx的图像在“（国,〃西）），以％,/（%））两个不同点处的切

线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

c10c10

A.%1+x2=2B.xl+x2=—C.xxx2=2D.xxx2=—

即时

1.（2024•全国•模拟预测）己知函数/（x）=（x+ay+lnx的图象上存在不同的两点48,使得曲线》=/（x）

在点42处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数。的取值范围是（）

A.＞/2）B.（1-V^,0）C.卜8,1+V^）D.（0,1+V^）

2.（山东•高考真题）若函数＞=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则

称y=/（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是

A.y=sin%B.y=\nxC.y=exD.y=x3

3.（2024•河南,模拟预测）已知函数/（》）=-奈甘+^（工＞0）的图象经过48两点，且〃x）的图象在48

处的切线互相垂直，则。的取值范围是（）

A.(-3,0)

xH—|e*,x＞0,

7.（2024•河南•三模）已知函数/（'）=12J点A,3在曲线＞=/（%）上（A在第一象限），过A,

x3,x＜0,

\BQ\

8的切线相互平行，且分别交》轴于尸，。两点，则品的最小值为.

考点七、公切线问题

典例引领

1.（2024•全国•高考真题）若曲线y=e，+x在点（0,1）处的切线也是曲线》=ln（x+l）+a的切线，则

a=,

2.（全国•高考真题）若直线y=h+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+l）的切线，贝|

b=.

3.（2024•广东茂名•一模）曲线＞=lnx与曲线y=x2+2◎有公切线，则实数。的取值范围是（）

1D.!，+s

c.—oo—

2

即0唧（

1.2024•河北沧州•模拟预测）已知直线/：y=依是曲线/（X）=町和g（X）=InX+。的公切线,则实数0=.

2.（2024・上海•三模）设曲线仆）=温+6和曲线g（x）=cos5+c在它们的公共点*0,2）处有相同的切线,

则/+c的值为.

3.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线>=/与了=江”20）恰有两条公切线，则f的取值范围为（）

A.总B.目+°°]C.（-”,0）u?,+e]D.（-/⑼口，&

考点八、切线（方程）的综合应用

典例引领

1.（2021•全国•高考真题）若过点（。,6）可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<efcD.0<b<ea

2.（23-24高二下•辽宁本溪•期中）若过点。,6）可以作曲线了=ln（x+l）的两条切线，则（）

A.In2<b<2B.b>ln2

C.0<b<ln2D.b>l

3.（2024•广东广州•模拟预测）已知直线>=h+6恒在曲线了=ln（x+2）的上方，则9的取值范围是（）

k

A.（1,+°°）B.|,+°o|C.（0,+a）D.I—,+0°I

即时性测

1.（2024,全国•模拟预测）若直线歹=2%-6与曲线/（工）=。2%一2飙口>一1）相切,则b的最小值为（）

A.-eB.-2C.-1D.0

1.2.（2024•全国•模拟预测）若直线歹二'与曲线y=bgqX（〃〉0且awl）无公共点，则实数[的取值范

围是（）

A.(l,e)B.]l,ejC.(Ve,+oo)D.｝；,+<»

3.(2024・重庆•模拟预测)已知直线》=ax+6与曲线y=e，相切于点(x0,e'。)，若/e(-8,3),则a+6的取值

范围为()

A.(-00,e]B.(-e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

12.好题冲关.

基础过关

—*、单选题

L（2024•贵州六盘水•三模）已知曲线歹=/-3向的一条切线方程为了=一工+加，则实数加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024•河北保定三模）已知二次函数＞=G（X-6）（b/0且671）的图象与曲线y=lnx交于点尸，与工

轴交于点/（异于点。），若曲线＞=lnx在点尸处的切线为/,且/与ZP垂直，则。的值为（）

A.—B.—1C.—JeD.—2

e

3.（2024•全国•模拟预测）若函数/（x）=x2+3x-41nx,点尸是曲线y=〃x）上任意一点，则点尸到直线

-3=0的距离的最小值为（）

A.472B.述C.3亚D.好

22

4.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）已知曲线y=/+3x+3在x=l处的切线与直线x-2y+l=。垂直，贝壮=

（）

911

A.3B.-C.7D.—

22

5.（23-24高二下•山东枣庄•期中）若点。是曲线y=Mx上任意一点，则点P到直线y=x-4的最小距离

为（）

A.1B.V2C.2A/2D.472

6.（2024•河南•模拟预测）函数/（x）=lnx-/与直线、+»=（）相切于点人，则点A的横坐标为（）

1

A.-B.1C.2D.e

二、填空题

2

7.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知曲线〃x）=lnx+亍在点（1J⑴）处的切线的倾斜角为；，则。的值为.

8.（2024•山西朔州•模拟预测）已知/,2分别为曲线＞=2e，+x和直线＞=3x-3上的点，则|/刈的最小值

为.

9.（2024•陕西安康•模拟预测）已知函数/（x）的图象在点（1,〃功处的切线方程是x-2y+l=0,若

"x）=W，则〃'⑴的值为.

10.2024•四川•模拟预测）已知〃?＞0,"＞0,直线y=,x+加+1与曲线y=lru-〃+3相切，则机+〃=.

能力提升

一、单选题

1.（2024・四川德阳•二模）已知直线了=办-1与曲线/（x）=ln（ex）相切，则。的值为（）

A.—B.1C.y/cD.e

e

2.（2024•辽宁大连•一模）斜率为1的直线/与曲线＞=ln（x+a）和圆/+/=；都相切，则实数。的值为（）

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

3.（2024•重庆渝中•模拟预测）若斜率为1的直线/与曲线V=ln（x+a）和圆工2+必=2都相切，则实数。的

值为（）

A.-1B.1C.3D.-1或3

4.（2024.全国.模拟预测）已知函数〃x）=ei,g（x）=；ex2,若直线/是曲线了=〃x）与曲线y=g（x）的公

切线，贝心的方程为（）

A.ex-y=0B.ex—y—e=0

C.x-y=0D.x-y-\=0

5.（2024•浙江金华•三模）若存在直线与曲线/（x）=d-x,g（x）=/+。都相切，则°的范围为（）

二、填空题

6.（2024•陕西安康•模拟预测）已知若曲线y=a"lna与直线＞=ex相切，贝（|a=.

7.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=（x+42+hix的图象上存在不同的两点42,使得曲线N=/（x）

在点48处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数。的取值范围是.

8.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）若直线＞=2x为曲线＞=em+〃的一条切线，则湖的最大值为.

9.（2024•山东临沂•二模）若直线>="+1与曲线y=6+lnx相切，则浦的取值范围