湖南衡阳2025届高三一轮复习强化练 10月第3周 数学试题（含解析）

10月份第3周

数学

一、选择题

1.设集合/={/,()},8={口+2,1},若/口5={1},则°=()

A.lB.-iC.OD.+1

2.［2x-+］的展开式中，常数项为()

A.60B.-60C.120D.-120

3.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测

试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,42b试根据正态分布的

相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为()

参考数据：若〃〜则尸(〃—a)<X<〃+a)=0.6826,

P^fj.-2a<X<〃+2a)=0.9544,尸(〃一3a<X<〃+3cr)=0.9974.

A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%

4.圆G:》2+了2+2》_6了_26=0与圆C2：x2+y2—4x+2y+4=0的位置关系是()

A.内切B.外切C.相交D.外离

5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为迪，则圆台的体积为()

3

A266兀B26百兀C23乖>TID23娓R

9-3-

已知函数，

6./(x)=xlnx-ax?-gx2,则“/(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是

()

c.-l<«<0

A.-1<6Z<1B.--<4/<0D.0<4Z<―

422

7.已知抛物线C:/=2夕x(夕>0)的焦点为F点幺1_1,|］在C的准线上，点5在C上且

位于第一象限，则14sl=()

A46B8V10c10V5DIOVIO

3-3-'-3-'-歹

8.斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数

列如下定义：设｛%｝为斐波拉契数列，q=1，°2=1，%2(〃23,〃eN*),

1「(1/7Y(y_/7V"|

其通项公式为4=上电2—二。，设〃是Iog2〔(l+逐)(1—君)［<x+4

的正整数解，则〃的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

9.若函数/(%)=」■一二+加在［2,4］上单调递增，则实数机的范围为()

JCX

A.771>1B.m>—C.—<m<1D.m<—

222

10.函数/(x)=ln2x-工的图象在点处的切线方程为()

A.y=6x-5B.y=8x-6C.y=4x-4D.y=10x-7

11.在△48C中，设角4B,C所对的边长分别为a,b,c,且

(c+b)sinC=(a-b)(sinZ+sinB),a=2班，则△48C面积的最大值为()

A.百B.2百C.2D.4

12.已知某圆锥的侧面积为行兀，轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为

()

A.150B，30°C，45°D.6O0

13.四面体Z8CD中，AC=AD=2AB=2-ZBAD=60°-AB-CD=2>贝1

ABAC=()

A.60°B.900C.12O0D.15O0

14.已知直线4:ax+y-2=0,4：2x+(a+l)y+2=0,若/J4,贝Ua=()

A._i或2B，iC.i或_2D.-2

15.足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干

人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的』，女

性喜爱足球的人数占女性人数的L若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的

3

前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有()人

2n(ad-be?

”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8415.6357.87910.828

A.10B.llC.12D.13

二、多项选择题

16.复数z=2+3i，下列说法正确的是()

A.z的实部为2B.z的虚部为3i

C.F=2-3iD.|F|=V13

17.如图，棱长为2的正方体48CQ-44GA中，E为棱。A的中点，尸为正方形

GC3Q］内一个动点(包括边界)，且8尸〃平面则下列说法正确的有()

A.动点尸轨迹的长度为企

B.4尸与43不可能垂直

C.三棱锥用-REE体积的最小值为工

3

D.当三棱锥用-QQ9的体积最大时，其外接球的表面积为二75兀

2

18.青少年是国家的未来和民族的希望，党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工

作,亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参

与体育健身.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学

校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体

重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是()

A.样本的众数为67.5B.样本的80%分位数为72.5

C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60kg的学生大约为300人

19.已知函数/(x)=-ax+l有两个极值点X],9,且X[<》2，则()

人以的范围是口之。B.X2=-xt

C./(X1)>l>/(x2)D.函数/(x)至少有一个零点

三、填空题

20.已知向量Z花满足向=2⑻=4,且"-2同=5,则向量Z卷夹角的余弦值是.

sin(兀-a)+cos(6Z一兀)

21.已知角a的终边经过点尸(2,-3),则一J^r一"—V______.

sin—Fcc+cos—cc

UU)

22.已知抛物线E：/=4x的焦点为/，准线为/，抛物线E与双曲线

22

C：5—与=1伍〉0力〉0)的一条渐近线交于点尸(尸在第一象限)，过尸作/的垂线，

a2b1

垂足为0.若直线”的倾斜角为120。，则双曲线。的离心率为.

23.一般地，把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式必一依+2左<o有实数

解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为.

24.将函数/(x)=cos2x-V3sin2x的图像向右平移(p((p>0)个单位长度后，所得图像对

应的函数是偶函数，则(P的最小值为.

25.对于任意实数a,b,定义设函〃x)=-x+6,

[a,a>b

g(x)=log2x,则函数〃(x)=max(x)｝的最小值是.

四、解答题

26.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市

购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间（分钟/人）11.522.53

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

27.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且d+2%-〃=2S*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设1,若数列｛c“｝满足且数列｛c“｝的前〃项和为7；,若

bjbn+1

1-北三厂J恒成立，求4的取值范围.

28.已知关于x的不等式》2+.+°_3<0的解集为（T2）.

⑴当xe（0,3］时，求—+'x+c的最小值；

X

（2）当xeR时，函数了=/+云+。的图象恒在直线y=2x+机的上方，求实数机的取值范

围.

29.如图，直四棱柱48CQ-451GA的底面是菱形，幺4=4,48=2,

ABAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,的中点.

B

(1)证明：MN〃平面GDE；

(2)求二面角Z-阪41-N的正弦值.

30.已知椭圆£：二+£=1(。〉6〉0)的离心率为1,点尸在椭圆£上运动，且

a1b22

△产大心面积的最大值为VL

(1)求椭圆E的方程；

(2)设48分别是椭圆E的右顶点和上顶点，直线/与直线Z3平行，且与x轴，了轴

分别交于点N,与椭圆E相交于点C,D,。为坐标原点.

(i)求△OCW与△ODN的面积之比；

(ii)证明：|。呻+|"以为定值.

参考答案

1.答案：A

解析：2口8={1},则1=。2,解得。=±1.

当a=1,8={3,1}满足题意；

当a=-1,5={1,1}，不满足集合元素互异性；

故a=1.

故选:A.

2.答案：A

解析：2x-十]的展开式的通项为&]=C[(2x)6-(-十]=(-1)JC>26T

令6—3尸=0，解得尸=4，

2

4

所以-eJ的展开式中的常数项为(-1).C：-26-=60

故选:A

3.答案：A

解析：依题意〃=78,a=4,90=〃+3。，

所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为匕丝叫xl00%=0.13%.

2

故选：A.

4.答案：A

解析：由X?+/+2%-6了-26=0,得(x+1)-+(y-3)2=36,

所以圆G的圆心为G(-1,3)泮径「=6.由V+j/一4x+2y+4=0,

得(x-2)2+(y+疗=1,所以圆&的圆心为C2(2,-1)泮径r2=l.

所以|CC|=J(-1-2y+(3+1『=5=今一々,所以两圆内切，

故选A.

5.答案：A

解析：因为圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为迪,

3

所以圆台的体积匕=」兀xF+兀x3?+兀xlx3)xS=史况.

故选：A.

6.答案：A

解析：/(%)的定义域为(0,+8),则(x)=Inx+1-lax-x,

因为/(%)有两个极值，所以f\x)=0有两个不等的实数解，

由/z(x)=lnx+1-lax-x=0,得q=1―-,

2x

A、lnx+1-x

令g(zx)=--——，y=。，

2x

Ulil2x(1)-2(lnx+1-x)]

贝」g'(x)=--------]-------=当，

(2x)22x2

当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,gf(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上递增，在(l,+oo)上递减，

因为g(x)Jnx+l-x=止+D。

2x2x2x2

所以当xf0时,g(x)-—co,当xf+8时,g(x)-—g，

所以g(x)的图象如图所示，

极值,

因为<a--<a<0是｛4-l<a<l｝的真子集,

2

所以“/(x)有两个极值”的一个必要不充分条件是-1<a<1,

故选:A

7.答案：D

解析：由点彳-1,|)在抛物线「=2?«>0)的准线上河得g=l,即2=2,

所以抛物线C的方程为/=4%，焦点F(1,O)，准线方程为x=-l,

设义演,先),则%>0,j0〉0,由^4_1_反,可得七4.%=-1，即^___X，。一°=

-1-1x0-l-

整理得％-i又y；=4%,所以、/—1[=4%,解得%=9或％=g,

点B位于第一象限，所以七〉0,/=9n%=6,且/=gn%=g，显然J,j不满足垂

直，

所以怛F|=J(9—14+(6—0『=10,|4F|=T『+一'

所以|幺哥=以歼+忸歼=1()2+*，所以以同=竺普.

故选：D.

8.答案：A

解析：由题知〃是log2[。+出厂-(1-君)[<x+4的正整数解，

n

^log2[(l+V5)-(l-V5)"]<«+4,

取指数得(1+百)"_(1_若)"<2"+4,

\n

’1-出

同除2"得,<24.

2

1丁17

故专‘1+6]”‘1一•[44

<~^=x2,BPan<-^=x2,

22

V7\7

根据｛%｝是递增数列可以得到｛"｝也是递增数列，

于是原不等式转化为^<|X28<52.

而%=5,%=8可以得到满足要求的〃的最大值为5,故A正确.

故选：A

9.答案：A

解析：令工=/，贝！J/e—，则g«）=/—皿+机，对称轴为/=一~——m_m

x422a~T~^

m，因为工为减函数，且/（》）=与-二+机在［］上

则函数的单调递减区间为—00,——y=2,4

2xx~x

单调递增,

m

所以u-co,—，则二2±解得切

42一I222

所以实数机的范围为加之1.

故选：A.

10.答案：A

解析：/[]=In1一2=-2,因为f(x)=J+：,所以/出=6,

所以切线方程为^-(-2)=,即>=6x-5,

故选：A.

11.答案：A

解析：因为(c+b)sinC=(a-b)(sinZ+sinB),

由正弦定理可得(c+b)c=(a—b)(a+b),即/一/=02+加，gpc2+b2_a2^_bc,

所以cosJ+c-2=」，又ze(o㈤，则5由2=@,

2bc22

又因为/+。2_。2=-A,q=2W，b2+c2=12-be>2bcj

所以6c<4，当且仅当b=c=2时取得等号，

所以，

S=2-bcsmA<y/3

即△幺BC面积的最大值为道，当且仅当b=c=2时取得.

故选：A.

12.答案：C

解析：设圆锥的母线为/>0,底面半径为r>0,高为人>0,

设该圆锥的母线与底面所成的角为0，则0。<。<90。，

可得tan蚱2=i,所以该圆锥的母线与底面所成的角为。=45。.

r

故选:C.

13.答案:C

解析：由题知，AC=AD=2AB=2^/BAD=60°

所以

AB-CD=AB-(1D-AC)=AB-AD-AB-AC

=画.西cosZBAD-画.西cosABAC=2,

所以l-2cos60°—l-2cosNR4c=2，解得NR4c=120°，

故选：C

14.答案：B

解析：因为/J//2，:ax+v-2=0,/2:2x+(a+1)j+2=0,

所以a(a+1)=1x2,所以/+a_2=o，解得a=一2或a=1,

当a=-2时，：2x-y+2=0,32x-J+2=0,直线《4重合,不满足要求，

当a=l时,/1：%+卜—2=0,/2：》+7+1=0,直线/1，/2平行，满足要求，

故选:B.

15.答案：C

解析：设被调查的男性为x人，则女性为2x人，依据题意可得列联表如下表:

男性女性合计

5x2x3x

喜爱足球

~6T~2

X4x3x

不喜爱足球

6T~2

合计X2x3x

3』5x4x2x

因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的

结论，所以有

7Y

r2>7,879»即」27.879，

z3

解得x之11.8185，又因为上述列联表中的所有数字均为整数,

故x的最小值为12.

故选:C.

16.答案：ACD

解析：因为z=2+3i，

所以实部为2,虚部为3,-=2-3i^|z|=V13.

故选：ACD.

17.答案：ACD

解析：对A选项，如图，分别取GR,CG的中点G，H,

则易知HG〃。0,且HGCB-H

可得平面B}GHII平面AXBE,

二当尸为G〃上的点时，3尸〃平面ZRE,

二动点尸轨迹为线段G8,又易知GH==DIC=6,

2

A选项正确；

对B选项，由A选项分析可知45//G8,又易知B[G=B[F=亚,

二当斤为G8的中点时，B.F1GH,即稣F_L48，，B选项错误；

对C选项，由A选项分析可知，当尸与G点重合时，△EE2的面积取得最小值为

11

—X1X1——,

22

.•.三棱锥与-瓦7〃的体积的最小值为gxgx2=；,即三棱锥用-尸的体积的最小

值为工，；.C选项正确；

3

对D选项，根据A选项分析可知，当尸为CG的中点时，△DQ尸的面积最大，从而

可得三棱锥用-〃£）厂的体积最大，如图，取用。的中点笈，连接8F,

则易证HF/MC,且HF=LAC=6,

2

又易证NCJ_平面5。。百，.•.HF，平面5。。中,又H到。，Dx,用三点的距离相

等，直线〃F上的点到。，2，与三点的距离也相等，

在FH的延长线上取点。，使得OF=ODX,则0即为三棱锥用-QQE的外接球的球

心，设三棱锥男-尸的外接球的半径为凡则氏=。尸=0。］,又易知

D[H=；BD\=B

.•.在RtZM9£)£中,由勾股定理可得小心向F,解得转上，

当三棱锥男-尸的体积最大时，其外接球的表面积为4兀叱=上,

2

；.D选项正确.

故选ACD.

18.答案：ABD

解析：对A:因为65:70所占的频率最高，可用竺土四=67.5估计样本众数，故A正确；

2

对B:因为55:70所占的频率为：5(0.03+0.05+0.06)=0.70,70:75所占频率为

5x0.04=0.20，所以样本的80%分位数为:70+5x=72.5，故B正确；

20%

对C:样本平均数为:57.5xl5%+62.5x25%+67.5x30%+72.5x20%+77.5xlO%=66.75,

故C错误；

对D:根据频率分布直方图，体重低于60kg的学生的频率为:5x0.03=15%，所以估计该校

男生中体重低于60kg的学生的人数为:2000x15%=300,故D正确.

故选:ABD

19.答案：BCD

解析：对于A,由题可得/（X）=3X2-«=0有两个不相等的实数根,

所以A=0+12。>0,所以a>0,A不正确；

对于B,根据题意,西,马为3/-a=0的两个根，所以々=-Xi，B正确;

对于C,因为再<0<%,且和%为3x2-a=0的两个根，

所以由/'（X）=3x?—a>0得x<X]或x〉/，

由/'（X）=3/一a<0得X]<x<》2，

所以函数/（X）在（-00,王）上单调递增，

在上单调递减，在（肛+°°）上单调递增，

所以/（%1）>/（0）=1>/卜2）成立,C正确；

对于D,由以上分析可知/（x）的极大值为

当x趋于负无穷时J（x）也趋于负无穷，

所以存在£充分小且£<《，使得f（x'）<0,

由零点存在定理可知，存在£「祗｝使得/（%）=0,所以函数/（X）至少有一个零

点,正确；

故选:BCD.

7

20.答案：一

32

解析：因为2加=5,所以0—2及2=25,所以/-4£3+4片=25.因为|々|=2|1|=4,所

以42—4a%+4x2?=25,所以a•B=工,则cos（a,b）=，2=—.

4Itz||Z?I32

21.答案：5

解析：由角a的终边经过点尸(2,-3)可知:tana=-3,

2

sin（兀-1）+cos（a—兀）_sina—cosatana-\

则.「兀\（兀\cosa+sina1+tana

sin—+a+cos——a

UJU）

故答案为5

22.答案：叵

3

解析：抛物线£：/=以的焦点为b(1,0)，准线为/:x=-l，

令/交x于点T,即有|我|=2,

由尸0，/,直线0尸的倾斜角为120。，得/尸0/=/“7=60。，

则同=2归7|=4,依7|=2追，

又|PE|=|尸口,则△尸。尸为正三角形，|尸0|=4,因此点尸(3,2道卜

22

双曲线c：二—匕=l(a>0,b>0)过点P的渐近线为y=-x

a2b2

于是26=32，解得2=二，

aaV3

所以双曲线C的离心率6=五正1+(/4=Y|

a\a2I百J3

故答案为：叵.

3

23.答案：[-l,0)U(8,9]

解析：不等式/—丘+2左＜0有实数解等价于x?—kx+2k=0有两个不相等的实数根,

则A=(-左)2—8左〉0,解得:左>8或左<0

设一依+2左=0的两根为X],x2，不妨令再<x2，则xr+x2=k,X[X2=2k

由题意得:/-X]=](/+%)2-4再/=正-8k<3，解得：-14左49，结合左〉8或左<0,

所以实数上的取值范围为[-l,0)U(8,9]

故答案为:[-l,0)U(8,9]

24.答案：-

6

解析：/(x)=cos2x-V3sin2x=2cos^2x+y,

图像向右平移(p((p>0)个单位长度后得到y=2cos^2(x-^)+=2cos^2x-2(p+^是

偶函数，

-2(p+—=E:,0=2•一"•，左eZ夕〉0,，。的最小值为4.

3626

25.答案：2

解析：由题意得X£(0,+OG)，

因为函数/(x)=-x+6在X£(0,+oO)上单调递减，

函数g(x)=log2XitXG(0,+QO)上单调递增，

又〃4)=-4+6=2,g(4)=log24=2,

所以点(4,2)是两个函数的交点，

所以当x24时,/(x)<g(x),可得力(x)=g(x),

当0cx<4时,/(、)>g(x)，可得力(%)=/(%)，

可得的大致图象，如下图，

26较安.(1)1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10_]§

100

(2)—

10

解析：(1)由已知得25+y+10=55,x+y=35,;.x=15,y=20,该超市所有顾客一次

购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容

量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估

计值为.+5><30+2x25+2.5义20+3*10=19(分钟)

'ioo—>

(2)记/为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,4,出,4分别表示事

件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为L5分钟”，“该

顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

…、153…、303…、251

尸(41)=—100=—20，尸(a)=—100=—10，尸(43)=—100=­4•

•••幺=4UaU4,且4,4,4是互斥事件，

3317

...尸(Z)=尸(4uaua)=0(4)+尸(4)+尸(4)-----1--+-

2010410

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为工.

10

27.答案：(1)aH=n；

⑵^>g(«)max=g(l)=l

解析：(1)•.•片+2%—〃=2S“，当”22时，a3+2a”i—(〃—l)=2S,i，

两式相减得：a；+2%-2%_]-1=2%,整理得a：=(%_]+1『，

an>09an=an_x+\(n>2),当〃=1时,a；+2%-1=2%,

ax=—1(舍)或q=l,

.••{4}是以1为首项，1为公差的等差数列，则%=〃;

T_1______]_

(2)由(1)知，〃=2"—1,c„

(2"-—2"-]2,,+1-1

Md''由f＜岛"'当'令g(〃)=U,

g(-g(〃-1)=上*_"=

则〃22时,,2+1)(.

2,,+1-12"-1(2"+1-1)(20-1)

所以g⑺<g(〃T),即随着〃增大,g⑺减小,

所以221.

28.答案：(1)1

⑵n

解析：⑴因为关于x的不等式/+区+°_3<0的解集为(T2),

所以-1和2是方程必+汝+0—3=0的两根,

-1+2=，解得/=T

所以

-lx2=c-3C=1

由X-+bx+c可知,XH0,所以当xe(O,3]时,

X

x2+H+c=x2—x+l=x+4—122、口—1=1,当且仅当x=l时，等号成立,

xxxVx

所以的最小值为1.

X

(2)结合(1)可得y=x2+Z)x+c=x2-x+L

对于VxwR,函数》=%2+及+°的图象恒在函数歹=2%+冽的图象的上方,

等价于％2_%+]>2%+加在区上恒成上，

即加<Y_3%+1在R上恒成立，则m<(x2-3x+l)即可，

\/min

因为X2-3X+1=(X-3]所以加<_3,

I2)444

所以实数m的取值范围为1-叫-：：

29.答案：（1）证明见解析;

⑵叵

5

解析：（1）证明：连接8,C,M,E.

因为初,£分别为5片，5c的中点，所以“E〃片C,且

又因为N为4。的中点，所以4。.

由题设知4男生C,可得用。幺ZQ•故放幺ND，因此四边形跖VDE为平行四边形，

ME//ED.

又7W史平面EDG，所以〃平面GDE.

（2）由已知可得DELD4.以。为坐标原点，方的方向为