高考数学专项复习训练：导数及其应用（14题型解读）（原卷版）

清单08导数及其应用

旷=/（七）一/（演）

平均变化率电一再

导

数

及

其

应

用

考点情单

【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题

I、平均的变化率的定义：包=三二21=山上3.

Axx2-x}x2-再

2、设物体运动路程与事件的关系是s=/■⑺,当"趋近于。时，函数F⑺在办到％+加之间的平均变

化率加。土干—%。）趋近于常数,我们把这个常数称为％时刻的瞬时速度。

【例1】（2324高二下.辽宁朝阳•期中）函数〃"=3*-2在［0,3］上的平均变化率是（）

【变式11］（2324高二下•北京.期中）已知f⑴=2x+1和gQ）=3x+2在区间［m,n］上的平均变化率分别

为"和"则（）

A.a>bB.a<b

c.a=bD.“和b的大小随着m,n的改变而改变

【变式12］（2324高二下.广东佛山.期中）已知函数.7'（力=2/_6的图象上一点（1,-1）及附近一点

（l+Ar,T+Ay）,则与=（）

Ax

A.2AxB.2C.4+2Ax2D.4+2Ax

【变式13］（2324高二下•重庆月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动,该物体的位移y（单

位：m）与时间f（单位：s）之间的关系为了⑺=，-2/+5/+1,且线=1mv2（《表示物体的动能，单

位：J；机表示物体的质量，单位：kg;v表示物体的瞬时速度，单位：m/s）,则（）

A.该物体瞬时速度的最小值为lm/sB.该物体瞬时速度的最小值为2m/s

C.该物体在第1s时的动能为16JD.该物体在第1s时的动能为8J

【考点题型二】导数定义中极限的应用

导数的形式化计算主要考查对导数概念/'（%）=lim=Um/（X）-/（X。）的理解。需要

—Ax1殉x-xQ

说明的是导数是一个局部概念，它只与函数y=/（x）在x=x0及其附近的函数值有关，与Ax无关。

【例2】（2324高二下河南月考）已知函数/（x）=/+2x,则如1产±华匕&=（）

△x->oAx

A.5B.10C.15D.20

【变式21】（2324高二下.湖北期中）已知lim®止”上别=2,则/•"）=（）

-。Ax

A.-1B.1C.2D.4

【变式22】（2324高二下.河北邢台期中）已知/'（%）=2,则1面小之注2支注1=（）

【变式23］（2324高二下•江苏无锡月考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若

，(2)T(2+Ar)£

lim，则〃2）=

Ax->02Ax2

【考点题型三】求（复合）函数的导数

1、导数的四则运算法则

(1)加减法:"(X)土g(x)]'=_f(x)士g'(x)

(2)乘法:[/(%)•g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g\x)

/(x)■f(x)g(%)—/(x)g'(x)

（3）除法：(g(xwO))

g(x)[g，)]2

2、复合函数的求导法则

一般地，复合函数y=/（g（x））的导数和函数y=/（"）,“=g（x）的导数间的关系为"'=yu'-ux'

即y对x的导数等于y对"的导数与u对x的导数的乘积.

规律：从内到外层层求导，乘法连接。

[例3]（2324高二下•广东广州•期中）下列函数求导正确的是（）

【变式31](2324高二下•北京期中)下列导数运算错误的是()

A.=则尸(x)=(x+l)e*B./(x)=sin|,则f(x)=cos^

C.f[x)=4x,贝口•〃x)=F,则尸(x)J

【变式32]（2324高二下•重庆月考）下列求导运算正确的是（）

D.(fcosx)=-2xsinx

【变式33]（2324高二下•广东广州期中）（多选）下列求导运算正确的是（）

A,若/（x）=cos（2九+3）,贝[]/>'（x）=2siii（2x+3）

B.若〃尤）=己，则/（%）=子

C.若〃月=6幺+1,则/（x）=edM

D,若〃x)=xlnx,贝［］尸(x)=lnx+l

【考点题型四】“在“曲线上一点的切线问题

求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步(求斜率)：求出曲线在点(天,/(/))处切线的斜率r(x°)

第二步(写方程)：用点斜式y—/(X。)=/(%)(x—%)

第三步(变形式):将点斜式变成一般式。

【例4】(2324高二下.内蒙古.期末)曲线〃耳=-尤2+、在点(11⑴)处的切线方程为()

A.5x+y+3=0B.5x+y-l=0

C.%-y+l=0D.x-y-l=0

【变式41】(2324高二下.广东深圳月考)已知曲线/(x)=«xlnx+l在点(1"⑴)处的切线方程是

y=—x+b，贝！16=()

A.2B.-2C,1D.-1

【变式42】(2324高二下.湖南常德.期中)若曲线/(x)=2x+xsinx+l在点［方处的切线与直线

依->+1=0垂直,则实数。的值为.

【变式43】(2324高二下•江西月考)已知曲线/(0=/+尔+万在x=1处的切线方程为y=3x-l.

(1)求。，6的值；

(2)求曲线股/⑺过点*2,1)的切线方程.

【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题

求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为Q(Xo，/(%o))；

第二步：求出函数y=/(X)在点X。处的导数尸(%)；

第三步：利用2在曲线上和/'(%)=kPQ,解出/及广(尽)；

第四步：根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-/(/)=f'(x0)(x-x0).

［例5］（2223高二下辽宁月考）过原点且与函数/（尤）=ln（f）图像相切的直线方程是（）

21

A.>=B.y=——xC.y=——xD.y=

ee

【变式51】（2324高二下.江西赣州•月考）已知函数/（%）=/一6/+9彳—7,直线/过点（0,1）且与曲线

V=/（%）相切，则直线/的斜率为（）

A.24B.24或一3C.45D.0或45

【变式52】（2324高二下.黑龙江哈尔滨.期中）已知直线丫=〃式-e与曲线y=xe'相切,则实数加的值为

（）.

A.-4B.1C.eD.2e

e

【变式53】（2324高二下河南月考）过点（0,间可作/（x）=e「x的斜率为1的切线，则实数

【考点题型六】两条曲线的公切线问题

求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐

标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。

具体做法为：设公切线在y=/（x）上的切点片（%,/（七））,在y=g（x）上的切点8（马送0；2））,

则,a）=g'（x2）=/a）-g（"）

X,一12

［例6］（2324高二下.湖北月考）已知直线尸质+〃是曲线〃x）=e，与Mx）=e*”2024的公切线,则

k=（）

【变式61】（2324高二下.江苏南通月考）已知直线、=辰+〃既是曲线y=lnx的切线，也是曲线

、=-皿-无）的切线，则（）

A.k=—,b=0B,k=\,b=0

e

C.k=-tb=-1D.k=l,b=-l

【变式62】(2223高二下•湖北•期中)若直线》+>+。=。是曲线，(同=9+笈一14与曲线g(x)=x?-31nx

的公切线，则”6=().

A.26B.23C.15D.11

【变式63】(2223高三下•安徽开学考试)已知直线/与曲线y=e\y=2+lnx者阱目切,则直线/的方程

为.

【考点题型七】利用导数研究函数的单调性

1、求函数单调区间的步骤

(1)确定函数/(尤)的定义域；

(2)求/'(尤)(通分合并、因式分解)；

(3)解不等式/'(司>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/'(X)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2、含参函数讨论的

(1)最高次幕的系数是否为0,即“是不是”；

(2)导函数是都有变号零点，即“有没有”；

(3)导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；

(4)导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。

【例7】(2324高二下.黑龙江哈尔滨•期中)函数y=In无的单调减区间是()

A.(0,1)B,(-8,-1)和(0,1)C.(-<»,1)D,(0,1)0(-oo,-l)

【变式71】(2324高二下福建莆田.期中)已知函数"r)=——-,其单调增区间为

3

【变式72】(2324高二下.黑龙江哈尔滨•期中)已知函数.〃尤)=aln无+广元2一5+3)无，aeR,

(1)当。=1时，求函数的单调区间；

(2)讨论函数的单调性；

【变式73】(2324高二下.吉林长春期中)已知函数/(x)=(l-b)lnx+"+L，wR.

(1)当6=0时，求曲线y=f(x)在(1)(1))处的切线方程;

(2)讨论/a)的单调性.

【考点题型八】已知函数的单调性求参数

(1)函数“X)在区间D上单调增(单减)=f\x)>0(<0)在区间D上恒成立；

(2)函数/(x)在区间D上存在单调增(单减)区间=/'(X)>0(<0)在区间D上能成立；

(3)已知函数/■(%)在区间D内单调=/'(x)不存在变号零点

(4)已知函数/在区间D内不单调=/'(x)存在变号零点

InX

【例8】(2324高二下・四川内江•期中)函数/(*)=——在3,y)上单调递减，则实数。的取值范围为

X

()

A.(0,e)B,[e,+oo)C,[0,e-l]D.(0,e-l)

【变式81】(2324高二下•江苏•期中)若函数〃尤)=必-alnx+1在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范

围是()

A.[0,2]B.(-oo,2)C,[8,+co)D.(-w,2]

【变式82](2324高二下•安徽月考)已知函数〃x)=asinx+xcosx,若/⑺在[-兀,兀]上单调,则实数a

的取值范围为()

A.[0,1]B.C.S，T]D.{-1}

【变式83】(2324高二下.四川凉山.期中)已知函数/(彳)=f-5彳+°111彳在(4,5)上存在递减区间，则实数

。的取值范围为.

【考点题型九】原函数与导函数的图象关系

通过图象研究函数单调性的方法：

(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；

（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负。

【例9】（2324高二下.四川成都.期中）函数y=在定义域卜川内可导，记y=的导函数为

y=f\x）,y=的图象如图所示，则产“X）的单调增区间为（）

【变式91]（2324高二下•全国・期末）如果函数v="X）的图象如图，那么导函数＞=/'（x）的图象可能是

【变式92】（2324高二下.吉林.期中）已知函数Ax）在定义域内可导，/⑺的大致图象如图所示，则其导

函数/‘（X）的大致图象可能为（）

【变式93】（2324高二下.安徽合肥.期中）已知函数y=#'（x）的大致图象如图所示（其中广⑺是函数

f（尤）的导函数），则户/（x）的图象可能是（）

【考点题型十】导数构造法解函数不等式

关系式为“加”型一构造：

(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)构造"(九)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)V(X)+/(%)>0构造W(x)I=w'(x)+/(x)

(3)/(%)+/(x)>0构造=el[/'(x)+/(%)]

(4)犷•’(%)+((%)NO构造=xnf\x)+nxn-lf(x)=x^lxf,ix)+nf(x)](注意x的符号)

(5)r(九)+〃(龙)构造"(x)/r=ra)/+"(x)/=/"'(x)+"(x)]

关系式为“减”型构造：

(6)r(x)g(x)-f(x)g'(x)构造=/'，/⑴一/9抬'。)

g(尤)[g(尤)]

(7)xf(x)-f(x)>0构造［----］=-------z-----

XX

(8)/'(x)-/(x)>0构造［与］/(。，叱二八")二小)

e(e)e

(9)V'(x)—4(x)20构造[忠I=邙⑴-仁/⑴=-J)丁x)(注意》的符号)

%〃(X)无

(10)构造[3],=广⑴e厂心⑴”=r(x)-好(X)

e疝[*丁*

【例10](2324高二下•内蒙古.期末)已知尸⑺是定义域为„函数〃刈的导函数，且

/,(x)sinx+/(x)cosx>0,则不等式/1+])0^>3/1)的解集为()

A•HTB.卜汨)C.(-p°)口.苧

【变式101](2324高二下.山东枣庄月考)已知定义在R上的函数〃x)的导数为尸⑺,f(l)=e,且对

任意的x满足/'⑺-〃x)<e1则不等式/(x)>xe，的解集是()

A.(-℃,1)B.(-oo,0)C.(0,1)D.

【变式102](2324高二下.广东佛山月考)已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，是广⑺的导

函数，且当XW(YO，。)时，xf\x)<2f(x),"-1)=0,则不等式/(巧>0的解集为()

A.(YO,-l)u(0,l)B.1,a)U(。/)

C.+℃)D.co,—l)u(l,+oo)

【变式103](2324高二下•黑龙江哈尔滨期中)已知定义在R上的奇函数“X),其导函数为尸(x),

〃-3)=0,当尤>0时，3/(力+矿(x)<。，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是().

A.(―co,—3)u(0,3)B.(―3,0)o(3,-K»)

C.(-OO,-3)U(3,-H»)D.(f,-3)5-3,0)

【变式104](2324高二下.贵州贵阳月考)已知定义在R上的函数“X)满足：

43)=-5e6,2/(x)-r(x)<2e”,则不等式〃lnx)Wx2-2/lnr的解集为.

【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点

1、函数的极值

(1涵数的极小值：函数)，=%)在点x的函数值加)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,了(4=0；

而且在点x=<2附近的左侧了(X)<0,右侧了(尤)>0,则点。叫做函数y=危)的极小值点，仙)叫做函数>=段)

的极小值.

(2)函数的极大值：函数y=段)在点x=b的函数值型)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0；

而且在点x=b附近的左侧/(x)>0,右侧了(无)<0,则点b叫做函数y=/U)的极大值点，型)叫做函数尸危)

的极大值.

2、利用导数求函数极值的方法步骤

(1)求导数/'(X)；

(2)求方程/'(幻=0的所有实数根；

(3)观察在每个根飞附近，从左到右导函数r(x)的符号如何变化.

①如果/'(x)的符号由正变负，则/(%)是极大值；

②如果由负变正，则/(%)是极小值.

③如果在/'(X)=0的根x=x0的左右侧/'(x)的符号不变，则不是极值点.

【例11】(2324高二下.广东潮州.期中)已知函数/(元)的定义域为R且导函数为尸(x),如图是函数

A.函数外”的增区间是(-2,0),(2,+8)

B.函数的减区间是(-X,-2),(2,+力)

C.x=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

【变式山】(2324高二下•广东佛山月考)函数/'(%)=(尤2-8衣、的极大值点为.

【变式112](2324高二下•广东广州•期中)已知函数〃司=+3+6尤2+CX+3在(-00,-1)和(3,+00)上为增函

数，在(-1,3)上为减函数.

(1)求〃》)的解析式；

(2)求〃。的极值.

【变式113]（2324高二下•四川达州•期中）已知函数7'（》）=；/-（a-l）x+alnx（aeR）,/⑺的图象在

⑴）处的切线交x轴于点,0）.

（1）求实数”的值；

（2）求函数Ax）的极值

【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数

1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：

①求函数的导数/'（x）；②由极值点的导数值为0,列出方程（组），求解参数

注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。

2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即

转化为r（x）之。或ra）wo在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立。

【例12】（2324高二下.宁夏吴忠期中）若〃力=。山+丁在％=1处有极值，贝心=（）

A.0B.-2C.1D.-1

【变式121]（2324高二上.天津滨海新•期中）函数了（幻=4/_依2_2法+2在x=l处有极小值-3,贝畀-a

的值等于（）

A.0B.-2C,-4D.6

【变式122]（2324高二下.广东广州.期中）函数=xlnx—/cx2—x在定义域内有两个极值点，则实数々的

取值范围为（）

AFTB.卜7C.foD.fo

【变式123]（2324高二下.安徽阜阳•期中）已知函数f（x）=lna-3）-依（aeR）.

（1）若”1,判断了（元）的单调性；

（2）若/（元）在（5,+8）上没有极值点，求。的取值范围.

【考点题型十三】利用导数求函数的最值

1、函数的最值

（1）在闭区间,加上连续的函数兀0在传,功上必有最大值与最小值.

（2）若函数4X）在团,切上单调递增，则知）为函数的最小值，型）为函数的最大值；若函数危）在口,切上

单调递减，则知）为函数的最大值，段）为函数的最小值.

2、利用导数求函数最值的方法

（1）若函数y=/（尤）的图象是一条连续不断的曲线，在曲线（七。）内只有一个导数值为o的点，且在这

一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.

（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为。的点，无需判断出是极大值点还

是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的