整式与因式分解-2023年中考数学一轮复习

专题03整式与因式分解

区命理趋势

1.整式部分主要考查整式的相关概念、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出

现；

2.由式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中

进行考查.

3.主要体现的思想方法：转化的思想、.分类讨论的思想、数形结合的思想等.

皆知宫导图

__________㈠定义-由系数或字母的积组成的式子

T单项式J系数数字因数

二次数一所有字母的指数和

定义几个单项式的和

项一每个单项式

常数项-不含字母的项

次数次数最高项的次数

二同类项子母相同

相同字母的指数也相同

,整式的加减;合并同触聋阪变

''"如果括等外的因数是正数，去括号后原括号内各项符号与原来的符号相同

手如果括孰的因数是负数,去括号后原括号内各项解与原来的也相反

步骤去括号

合并同类项

同底数帚乘法

幕的运算；FT：?

积的乘方

同底数相除

整式乘法单X单

-整式乘法单X多

一般多项式相乘

;*鼠做多项式相乘整篝:

整式乘法和因式分解

一整式除法

多・单

___________提公因式法

因式分解［八平方差公式

工工’完全平方公式

处重声考向

一、代数式

概念：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代

数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.

【注意】

1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。

2.代数式中不含有=、〈、又W等

3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。

代数式的分类：

单项式

多项式

分式

列代数式方法

列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒

数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.

列代数式时应该注意的问题

（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“X”号或用“.

（2）数字通常写在字母前面.

（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.

（4）除法常写成分数的形式.

代数式的值

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

单项式

概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫

单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）.

【注意】：

1）圆周率乃是常数，所以,也是常数；

JI

2）当一个单项式的系数是1或一1时，“1”通常省略不写；

3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；

单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

【注意】：

1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者1。

2）一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。

3）负数作系数时，需带上前面的符号。

4）若系数是1或1时，“1”通常省略不写。

多项式

概念：几个单项式的和叫多项式.

多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，

次数最高项的次数叫多项式的次数；

【注意】

1.ax'+bx+c和x>px+q是常见的两个二次三项式（若a、b、c、p、q是常数）.

2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。

翼例引顺

J.______I

一、单选题

1.下列各式符合代数式书写规范的是（）

n一-3,

A.mx6B.—C.x-7兀D.2—xy

【答案】B

【分析】根据代数式的书写要求判断各项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写;

（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；

（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式.

【解析】解：A、不符合书写要求，应为6加，故此选项不符合题意；

B、W符合书写要求，故此选项符合题意；

C、不符合书写要求，应为（x-7）元，故此选项不符合题意；

D、不符合书写要求，应为故此选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是掌握代数式的书写要求.

2.一个两位数，十位数字是从个位数字是°,这个两位数可表示为（）

A.abB.10Q+6C.10b+aD.ba

【答案】c

【分析】根据数的表示，两位数=10x十位数字+个位数字，将对应字母或数值代入即可求解.

【解析】解：由题意可知，该两位数可表示为：106+。，

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是列代数式，重点在于掌握多位数用字母表示.

3.若式子x-2y+l的值是4,贝的值是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】先根据x-2y+l的值是4,得出x-2了=3,然后整体代入求值即可.

【解析】解：：x-2y+l的值是4,

x—2y+1=4,

x-2y=3,

二.2x—4y—1

=2（x-2y）—1

=2x3-1

二5,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用.

4.如果代数式2/+3歹+5的值是-3,则代数式4/+6y-3的值是（）

A.1B.-9C.-14D.-19

【答案】D

【分析】首先由题意得至1」2/+3歹+5=-3,然后整体代入求解即可.

【解析】•・•代数式2j?+3y+5的值是-3

2y2+3y+5=-3

2y2+3y=-8

4/+6y-3=2（2/+3y）-3=2x（-8）-3=-19.

故选：D.

【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键.

193

5.下列式子中：-一，a,--abc,%-九8x3-7x2+2,整式有（）

33x

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】根据整式的概念，对式子逐个判断即可，单项式和多项式统称为整式.

【解析】解：是单项式，为整式；

。是单项式，为整式；

-是单项式，为整式；

x-y是多项式，为整式；

3

分母含有未知数，不是整式；

x

8/一7炉+2是多项式,为整式；

整式有5个，

故选：C

【点睛】此题考查了整式的判断，解题的关键是掌握整式的概念.

6.下列说法正琥的是（）

A.单项式变的系数是2B.单项式型的次数是2

77

C.一2/,是四次多项式D.、2,一2/，有两项，分别是和2丁,

【答案】c

【分析】根据单项式的系数、次数和多项式的次数、项数的定义解答即可.

【解析】解：A、单项式肛的系数是。，故该选项错误，不符合题意；

B、单项式型的次数是3,故该选项错误，不符合题意；

7

C、是四次多项式，故该选项正确，符合题意；

D、一了一？d^有两项，分别是/了和-2x》，故该选项错误，不符合题意.

故选：C

【点睛】本题考查了单项式、多项式，属于基础题型，需要熟练掌握相关基础知识.单项式中的数字因数

叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；由若干个单项式相

加组成的代数式叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是

这个多项式的次数.

7.下列各式中，-中z+1,左，,n-\,细二2是多项式的有（）

1803x7

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，即可求解.

【解析】解：-呼+1是多项式，急/是单项式，万-1是单项式，不是整式，细式是多项式

1X。jjc7

：.-xyz+l,”上N是多项式，共2个，

7

故选B

【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键.

8.按一定规律排列的单项式：X3,2X5,3X7,4X9,5XH,6X13..第〃（«>1,“为正整数）个单项式是（）

An+1o2M+1C2n-\2n+l

•nxB.nxC.nxL）.X

【答案】B

【分析】通过观察系数和指数的规律即可求解.

【解析】解：；1,2丁,3/,4/,5婢,6”……，

.•.系数的规律为以1,2,3,4,«；指数的规律为3,5,7,9,2«+1

...第〃（“21,〃为正整数）个单项式是巾2日.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键.

二、填空题

9.单项式-。Y/的系数为,次数为.

【答案】5

【分析】根据单项式的系数和次数的概念，求解即可，单项式中的数字因数是单项式的次数，所有字母的

指数的和是单项式的次数.

【解析】解：-艮的系数为一?，次数为5

故答案为：,5

【点睛】此题考查了单项式的有关概念，掌握单项式的有关概念是解题的关键.

10.将多项式Vr一3/》3+//+2尤与一7按字母x降幕排列.

【答案】x5y2+2x4y4-x3y4-3x2y3-7

【分析】依题意，多项式3工2,+工3歹4+2%5—7按字母x降幕排列即可求解.

【解析】解：x5y2-3x2y3+x3y4+2x4y-7

=x5y2+2x4y+x3y4-3x2y3-7,

5243423

故答案为：xy+2xy+xy-3xy-7

【点睛】本题考查了多项式按某个字母的降幕排列，掌握多项式的项的定义是解题的关键.几个单项式的

和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.

11.已知多项式—+my-3（/2+2町;）-1（m为常数）不含肛项，当x=-l,y=2时，该多项式的值为.

【答案】-12

【分析】根据合并同类项法则把原式合并同类项，根据题意得到代数式，再把x,了的值代入代数式计算即

可.

【解析】解：X2+mxy-3（y2+2xy）-I

=x2+mxy-3j/2-6xy-1

=x2+［m-6）xy-?）y2-1,

,多项式—+冽中-3（V+2中）一1（加为常数）不含切项，

・••这个多项式为：x2-3/-l,

当工=-1,»=2时，

原式二（-1）2—3x22—1

=1-12-1

=—12.

故答案为：-12.

【点睛】本题考查多项式的概念，合并同类项，求代数式的值.合并同类项法则：把同类项的系数相加，

所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.根据题意正确列出算式是解题的关键.

12.某文具店的钢笔每支m元，练习本每本〃元，小颖买了2支钢笔和3本练习本，应付元.

【答案】（2切+3〃）

［分析］根据总价=单价x数量的关系列出代数式即可.

【解析】解：应付（2加+3"）元.

故答案为：（2m+3«）.

【点睛】此题主要考查代数式问题，解答此题的关键是根据总价=单价x数量的关系列出代数式.

13.有三个连续的奇数，中间一个是〃，则另外两个奇数的和为.

【答案】2〃

【分析】根据每两个连续的奇数之间相隔2,即得出另外两个奇数分别为“-2和〃+2,再相加即可.

【解析】•.•三个连续的奇数，中间一个是〃，

另外两个奇数分别为〃-2和〃+2,

另外两个奇数的和为〃-2+〃+2=2〃.

故答案为：2n

【点睛】本题考查列代数式，整式的加法运算.理解每两个连续的奇数之间都相隔2是解题关键.

14.若a1-2b=3,则代数式4/_86_2的值为.

【答案】10

【分析】根据1-26=3,得到4a2-86=12,从而计算4a?-86-2即可.

【解析】因为/-26=3,

所以4a2-86=12,

所以4a2-86-2=12-2=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键.

15.已知用是方程式尤2+x-3=0的根，贝I式子和3+2加2-2加+2022的值为.

【答案】2025

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.把'="，代

入方程即可得到/+〃7的形式，再整体代入/+加=3,即可求解.

【解析】解：：加是方程x?+无一3=0的根，

.•.加2+冽=3，

•/m3+2m2-2m+2022

=m3+m2+m2-2m+2022

=m+加）+疗_2m+2022

=3m+m2-2m+2022

=3+2022

=2025.

故答案为：2025.

【点睛】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关

系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值.

中重声考向

二、整式的运算

整式的加减

同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.

同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。

合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.

步骤：①找②移③合

去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是号,

括号里的各项都要变号.

注意：

1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.

2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.

3、括号前面是“”时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而

忘记改变其余的符号.

4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.

5、遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号。

整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同

类项.

注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。

多项式的升幕和降幕排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按

这个字母的升幕排列（或降幕排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升塞（或降幕）排列.

塞的运算

幕的运算性质1：

a-a"=a+"（m、n为正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

【同底数幕相乘注意事项】

1）底数为负数时，先用同底数幕乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

幕的运算性质2：

a+球=端一"（aWO,m、n都是正整数，且m>n）同底数幕相除，底数不变，指数减.

【同底数赛相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数aWO.

2.运用同底数幕法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，如X84-Xx7,计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幕相除时，应按顺序计算。

a°=l（aNO）任何一个不等于零的数的零指数幕都等于1.

整式的乘法

单项式义单项式

单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘法易错点：

单项式乘法概念易错点

系数相乘先确定积的符号，再计算积的绝对值

同底数塞相乘底数不变，指数相加。

只在一个单项式含有的字母，连同它的指相乘结果数据遗漏

数作为积的一个因式(出现字母照抄，避免遗漏数据)

【注意】

1.单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

2.运算顺序：先算乘方，再算乘法。

单项式X多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加

【单项式乘以多项式注意事项】

1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。(同号相乘得正，异号相乘得负)

3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

多项式X多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

【多项式乘以多项式注意事项】

多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包

括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

乘法公式

①完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

【扩展】

扩展一(公式变化)：/+"=(a+妤-2ab

扩展二：(a+妤+(a-b)2=2(/+

(a+b)2(a-b)2=4ab

扩展三：£^+/+。2=9+—+《尸2ab2ac2bc

②平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

【运用平方差公式注意事项】

1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式.如：(a+3b)(3ab),不能运用平方差公

式.

2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、

多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误.

整式的除法

单项式+单项式

一般地，单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它

的指数作为商的一个因式.

【同底数募相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数aWO.

2.运用同底数幕法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幕相除时，应按顺序计算。

多项式+单项式

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

【解题思路】

多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。

整式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。

典例引顺

1—._______________I

一、单选题

1.下列各组中，不是同类项的是()

A.5?与5^B.一刈与声C.2a%与-62aD.5a3b?与2a3b2

【答案】C

【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案.注意同类

项与字母的顺序无关，与系数无关.

【解析】解：A、52与53都是常数，则它们是同类项，故不符合题意；

B、一孙与声字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意；

C、2/6与-6,所含字母相同；相同字母的指数不同，不是同类项，故符合题意；

D、5//与字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键.

2.下列计算正确的是()

A.(x-2)2=/-4B.(-)+(-2^3)=

C.a4-2a4=-a4D.(6a3-4a2+2a^2a—3a2-2a

【答案】C

【分析】根据完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式，逐项判断即可求解.

【解析】解：A、(X-2)2=X2-4X+4,故本选项错误，不符合题意；

B、(-(-2/)=2/,故本选项错误，不符合题意；

C、/-2/=-.4,故本选项正确，符合题意；

D、(6a3-4a2+2a)^2a=3a2-2a+1,故本选项错误，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式，熟练掌握

相关运算法则是解题的关键.

小2017

3.计算义（-2.5）刈6义（-1）刈7的结果是（)

2525

A.—B.-C.—D.—

5252

【答案】c

【分析】先根据同底数嘉乘法的逆运算将原式变为|x[|]X（-2.5）2016X（-1）,再根据积的乘方的逆运算

求解即可.

,八0217

2162017

【解析】解：[I]X(-2.5)°X(-1)

22f5V.n

=|x（一1）%（一1）

__2

-I，

故选C.

【点睛】本题主要考查了同底数幕乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

4.若/是一个四次多项式，3也是一个四次多项式，贝1]2/-33是一个（）

A.八次多项式B.四次多项式

C.次数不超过四次的多项式D.次数不超过四次的代数式

【答案】D

[分析】利用整式的运算法则判断即可得到结果.

【解析】解：若/是一个四次多项式，且2也是一个四次多项式，

则2/-3B一定是不高于四次的多项式或单项式.

故选：D.

【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.小丽做一道数学题，已知两个多项式A、B,且3为/-2x+l,求“N+2”；小丽把/+8错看成了A-B,

计算的结果是/+3x+l,那么/+5正确的结果为()

A.2x~+x+2B.2尤2+x+1C.3x~-x+3D.5x

【答案】C

【分析】根据计算的结果是*+3x+l,求出多项式A,再计算/+B正确的结果即可.

【解析】解：：/-B=Y+3X+1，且3为一一2X+1,

••A.—+3x+1+x~—2x+1=2x~+x+2，

•,4+B=2x~+x+2+x2-2x+1—3x~—x+3,

故选C.

【点睛】本题主要考查多项式的加减运算，能够熟练掌握运算法则是解题关键.

6.下列计算中，正确的是()

A.a2-a3=a5B.(a2)3=a5C.(2a3)2=2a6D.a6^a2=a5

【答案】A

【分析】利用同底数幕的除法的法则，同底数幕的乘法的法则，募的乘方与积的乘方的法则对各项进行运

算即可.

【解析】解：A.a2.a3=a5,故符合题意；

B.(a2)3=a6,故不符合题意；

C.(2/)2=4不，故不符合题意；

D./+/=/,故不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，同底数塞的除法，解答的关键是对相应的

运算法则的掌握.

3

7.已知N=a/-3x+6y-l,B=3-2y--x+x2,若无论x,V为何值时，/-28的值始终不变，则6"的

值为()

A.16B.-16C.-4D.4

【答案】A

【分析】先将/-28化简，然后根据题意得出a=2,b=-4,代入求解即可.

3

【解析】解：A=ax2-3x+by-I,B=3-2y--x+x2,

A-2B

3

=ax--3x+by-1-2(3-2y——x+x~)

=ux~—3x+by—1—6+4y+3x—2x~

=(o-2)x2+(b+^)y-7,

•.•无论x,V为何值时，/-23的值始终不变，

/.a—2=0,6+4=0,

.**a=1,b=—4,

：.6"=(-4)2=16,

故选：A.

【点睛】题目主要考查整式的加减及取值无关型问题，求代数式的值，熟练掌握整式的加减运算法则是解

题关键.

8.下列运算，正确的是()

A.3a+2a=5a2B.a5-a2=a10

C.(2a+bf=4a2+b2D.(2a+b')(2a-b)=4a2-b2

【答案】D

【分析】根据合并同类项法则，同底数幕的乘法法则，乘法公式逐一判断各个选项即可.

【解析】解：A.3«+2a=5a,故原选项错误；

527

B.a.a=a,故原选项错误；

C.(2a+b)2=4a2+4ab+Z)2,故原选项错误；

D.(2a+b)(2a-b)=4a2-b2,,故原选项正确，

故选D.

【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幕的乘法法则，乘法公式，掌握完全平方公式和平方差公

式是关键.

9.如图所示的是小章家房子的结构图(单位：米)，她打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖，地砖

每平方米x元，木地板每平方米2x元，小章家总共花费()

k——2b—

厨房

卧室1餐厅

卫生间

5a1

客厅卧室23a

1

<---------5b---------->

A.15a元B.20azzr元C.25abx元D.35a6x元

【答案】D

【分析】根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积之和，再分别乘以价钱即可得

到结果.

【解析】解：由题意得：

卧室的面积是：3a（5b-2b-b）+2b（5a-3a）=10ab（平方米），

厨房、卫生间、客厅的面积之和是：

5a-5b-\0ab=\5ab（平方米），

V地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米2x元，

.♦•所需要花费的钱为：

10ab-2x+15ab-x-20abx+15abx-35abx（元），

故选：D.

【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法.

10.若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足〃-6。+9+0-4|=0,则该直角三角形的第三边长的平方

为（）

A.5B.16C.5或近D.25或7

【答案】D

【分析】先根据非负数的性质求出。、6的值，再利用勾股定理进行求解即可.

【解析】解：：。2-6.+9+。一4卜0即（-3）2+84|=0,

。—3=0,6—4=0,

「・a=3,6=4,

当4是直角边时，则该直角三角形第三边的长的平方为/+〃=32+42=25；

当4是斜边时，则该直角三角形第三边的长的平方为〃一/=42一3?=7;

综上所述，该直角三角形第三边的长为25或7,

故选D.

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

11.如果单项式巧？与2尤V的和是单项式，那么°+6=.

【答案】5

【分析】根据同类项的定义直接可得到。、6的值，然后代值计算即可.

【解析】解：，•,单项式//与2d式的和是单项式，

・•.x"）与2/产是同类项,

a=3,6=2,

a+b=3+2=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键.同类项的定义：所含字母相同,

并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.

12.已知与-3丈产是同类项，那么优+〃=.

【答案】5

【分析】根据同类项的定义，列出关于加，〃的方程组，即可求解.

【解析】解：与-3/煌是同类项，

3〃=9

+4=2n

解得:

m+n=5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查同类项的定义，解二元一次方程组，掌握同类项：字母相同，相同的字母的指数也

相同是关键.

13.多项式3/一2〃减去一个多项式得4/+2/,则减去的多项式是

【答案】-a2-4b2##-4b2-a2

【分析】根据被减数减去差等于减数列式计算即可.

【解析】解：由题意得，(3a2-2b2)-(4a2+2b2)

3a2-2b2-4a2-2b2

=­a2—4b2

即减去的多项式是-/-4/,

故答案为：-/一4/

【点睛】此题考查了整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

14.已知4=3--4/-2x+l,8是关于x的机次〃项式，若N+3的结果为三次多项式，则”的最大值为

【答案】5

【分析】根据N+B的结果为三次多项式可得出加=4,由此即可得出答案.

【解析】解：•.•/=3--4--2X+1是四次四项式，B是关于x的加次"项式，/+B的结果为三次多项式,

:.m=4,

四次多项式最多有五项，

，”的最大值为5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了多项式的项数和次数、整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键.

15.若(x2+px+q)(x-3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是.

【答案】q=3p

【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出(/+px+q)(x-3)的结果，再根据结果中不含x的一次项,

即含x的一次项系数为0进行求解即可.

【解析】解：(尤2+px+q)(尤-3)

=x3+px2+qx-3x2-3Px-3q

=x3+(j?-3)x2+(^-3/?)x-3^,

：+pr+4(尤-3)展开后不含x的一次项，

夕一32=0,即q=32,

故答案为：q=3p.

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式中的无关型问题，正确求出(x2+/+q)(x-3)的结果是解题的

关键.

16.若9"+81〃=9,则。-26的值为.

【答案】1

【分析】利用幕的乘方及同底数幕的除法对式子进行整理即可得出结果.

【解析】解：=9,

.­.90-926=9,

则9。口=9,

a—2.b=l.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查幕的乘方，同底数幕的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

17.若a-b=7,ab=-12,贝!］。2+/=.

【答案】25

【分析】先将所求式子进行变形后，代入可得结论.

【解析】解：,:a-b=7,ab=-12,

Aa2+b2=(a-6)2+2a6=72+2x(-12)=49-24=25,

故答案为：25.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是本题的关键，注意：a2+b2=(a-b^+2ab.

18.如果4-—(〃-2)x+9是个完全平方式，那么机的值是.

【答案】14或-10

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值.

【解析】解：♦.,4尤2-(加-2)X+9=(2》)2-(»1-2)丫+32是个完全平方式，

m—2=±2x2x3,

m=14或加=-10,

故答案为：14或-10.

【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

19.如图，线段8E的长度为5,点C是线段8E上一点且3C>CE,分别以8C、CE为边在同一侧作正方

3

形ABCD、CEFG,点//为线段FG上任意一点（不与尸、G重合），若ABCH的面积为；，则QG的长度

2

为.

【答案】V13

【分析】先根据题意求出8CCG=3,再由“线段BE的长度为5”得到DC+CG=5,然后通过完全平方公式

的变形得到DG=y/（DC+CG）2-4DC-CG,最后代入求值即可.

一3

【解析】解：:△5C7/的面积为，

2

13

：・一BCCG=—,

22

・・・BCCG=3,

・•・DC-CG=3

・・•线段5月的长度为5,

・•.BC+CE=DC+CG=5,

DG=DC-CG=^（DC-CG）2=&DC+CG）2-4DC.CG,

DG=,52-4x3=V13，

故答案为屈.

【点睛】本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是得到

DG=^（DC+CG）2-4DC-CG.

20.已知一一3x-1=0,则/H--.

x

【答案】119

【分析】根据已知可得x-」=3,然后再利用完全平方公式，进行计算即可解答.

X

【解析】解：:一一3%_1=0,

/.x—3—=0,

x

x—2H——=9,

x，+2+二=121,

X

：.X4+-^=U9

X

故答案为：119.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

心重点考向

三、因式分解

因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

【因式分解的定义注意事项】

1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

2.因式分解必须是恒等变形；

3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.

因式分解的常用方法：

提公因式法

【提公因式法的注意事项】

1)定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。

2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

3)定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幕。

4)查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。

公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

①平方差公式：a—b2=(a+b)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a—b)

十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式X+bx+c,若存在＜，则X?++c=(x+7)(％+q)

要点：（1）在对V+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c〉0,则）、q同号（若c<0,

则p、q异号）,然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号

（2）若Y+bx+c中的枚c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看

这两个整数之和能否等于b,直到凑对为止.

首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式aV+bx+c（aWO）中，如果二次项系数。可以分解成两个因数之积，即。=。M2,常数

项c可以分解成两个因数之积，即。=4。2,把力，4,％，。2排列如下：

的勺+a2cl

按斜线交叉相乘，再相加，得到%。2+。2。1，若它正好等于二次三项式a—+/?x+c的一次项系数Z?,

即aAc2+a2cl=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式qx+q与a2x+c2之积，即

2

ax+bx+c=（aAx+Cj）（a2x+c2）.

要点：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数。一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项

式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方

法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解一一分组分解法.即先对

题目进行分组，然后再分解因式.

要点：分组分解法分解因式常用的思路有:

方法分类分组方法特点

①按字母分组②按系数分组

二项、二项

四项③符合公式的两项分组

分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式

分解五项三项、二项各组之间有公因式

法三项、三项

各组之间有公因式

六项二项、二项、二项

三项、二项、一项可化为二次三项式

添、拆项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或

分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟

练掌握技巧和方法.

翼例引襁

1I____I

一、单选题

1.下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是()

A.+6)2=。-++6?B.厂-2x+5=-2)+5

C.a2-2ab+b2-(a-b)2D.x2+1=x(x+—)

x

【答案】C

【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可.

【解析】(。+6)2=/+2而+/是多项式乘法，不是因式分解，故A不符合题意;

X2-2X+5=X(X-2)+5,结果不是几个最简整式的乘积，不是因式分解，故B不符合题意；

/-2"+〃=(。一方了，符合因式分解得定义，是因式分解，故C符合题意；

x2+l=x(x+-),分母中含有字母，不是因式分解，故D不符合题意.

X

故选C.

【点睛】本题考查判断因式分解.掌握因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式是解题关

键.

2.下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为()

A.(x-j)(-x-y)=y2-x2

B.12/63=2/.6/

C.—-81/=92+9y2)(x+3y)(x-3y)

D.(〃~+2a)—8+2a)+12=+2a)(“-+2a—8)+12

【答案】C

【分析】根据因式分解的定义，即可求解.

【解析】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意；

B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意；

C.符合因式分解的定义，故C符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式

的过程是解题的关键.

3.下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是()

A./-2=&+后)(尤-扬B.(X+V2)(X-V2)=X2-2

C.x-4=(Vx+4)(A/X-4)D.(Vx+2)(Vx-2)=x-4

【答案】A

【分析】根据因式分解的定义，从表现形式，恒等性两个方面去判断即可.

【解析】-2是多项式，

且f-2=(x+板)(x-血)，符合因式分解的定义，

，选项A正确；

•••(X+A/I)(X-拒)是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，

二选项B错误；

是多项式，

但x-4=(6+4)(«-4)不是恒等变形，不符合因式分解的定义，

二选项C错误；

•；(«+2)(«-2)是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，

，选项D错误；

故选A.

【点睛】本题考查了因式分解，解答时，严格按照因式分解的定义去解答是解题的关键.

4.数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m

的值有几个.小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？()

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【解析】根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可.

解：•.•4x4=16,(-4)x(-4)=16,2x8=16,(-2)x(-8)=16,1x16=16,(-1)x(-16)=16,

/.4+4=2m,-4+-4=2m,2+8=2m,-2-8=2m,l+16=2m,-1-16=2m,

分别解得：m=4,-4,5,-5,8.5,-8.5；

二整数m