立体几何中的截面问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展25立体几何中的截面问题(精讲+精练)

、知识点梳理

一、截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件

①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行

二、截面问题的基本思路

1.定义相关要素

①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.

②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.

③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.

④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.

⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本逻辑：找截点一连截线一围截面

3.作截面的具体步骤

(1)找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点

方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点

(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线

(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面

三、作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程。

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线

的平行线找到几何体的截面的交线。

模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点

方法：两点成线相交法或者平行法

特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF(这类型的关键)；

2.“第三点”是在外棱上，如Ci,注意：此时合格Ci点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处,

只要在棱上就可以.

方法二：平行线法，做法如下图.

四、正方体中的基本截面类型

0©6^00

锐角三角形等腰三角形等边三角形梯形平行四边形

(1)(2)(3)

006100

二、题型精讲精练

【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形C.正五边形D.正六边形

【答案】ABC

【分析】

根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答

案中的图形进行比照，即可判断选项.

【详解】

当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；

截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；

当截面为五边形时，不可能出现正五边形；

截面为六边形时，可能出现正六边形，

故选：ABC.

【典例2】己知正四棱柱A8CD-A4GR中，BE=^BBt=2,4AB=3AAX,则该四棱柱被过点A，C,E

的平面截得的截面面积为.

【答案】12M

【分析】在。2上取点歹，使得2歹=2,连接ARC/,则四边形AEC尸是平行四边形，

由勾股定理可得A2虑,AC,再结合余弦定理与面积公式即可求解

【详解】由题意，正四棱柱A8CD-中，BE=*=2,4AB=3AAt,

可得441=84=。6=8,8£=2,在。2上取点P，使得£＞尸=2,连接A1,CF,则有4尸=CE，AF//CE,

所以四边形4ECF是平行四边形，由勾股定理可得

AE=V62+62=6近,CE=V22+62=2A/10,=762+62+82=2A，

_72+40—136=4，所以sin/AEC=^

所以cosZ/^EC=,所以四边形AEC歹是平

2AExCE2x6A/2x2y/10

行四边形的面积为AExECxsinNAEC=6忘x2标X迤=12M，故答案为：12M

【典例3］如图，在正方体A2CO-A4GQ中，AB=4,E为棱BC的中点，/为棱AA的四等分点（靠

近点2）,过点AE,尸作该正方体的截面，则该截面的周长是.

【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点AE，尸的正方体的截面，从而求截面的周长.

【详解】如图，取G2的中点H,取CG上靠近点G的三等分点G,

连接AE,EG,GH,HF,FA,易证AE//HRA尸〃EG,则五边形AEGHF为所求截面.

84

因为AB=4,所以3E=CE=Ci〃=2〃=2，Ab=3,Dp=l,CG=],℃=§

则AE=2下,EG=2,GH=3®,HF=®AF=5,故该截面的周长是

33

4厂+25+2J13战死小49y+25+2J13

AE+EG+GH+HF+AF=------------•故答案为：—.........

33

【典例4】已知三棱锥A-5CD的所有棱长均相等，四个顶点在球。的球面上，平面。经过棱AB,AC,

S

AD的中点，若平面。截三棱锥A-5co和球。所得的截面面积分别为5，S2,则日=（）

A.巫B.至C.—D.—

8万16万87r64万

【答案】B

【分析】根据平面截三棱锥A-BCD所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.

【详解】设平面a截三棱锥A-BCD所得正三角边长为a,截面圆的半径为r,则^=日/,

由正弦定理可得一看=孚〃,S136好洛

-故选：B

S?167r

【题型训练-刷模拟】

L截面形状问题

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

2.（2023•全国•高三专题练习）已知在正方体43。。-4月£，中，E,F,G分别是AB,BB1,4G的中

点，则过这三点的截面图的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.（2023•全国•高三专题练习）已知在长方体ABC。-4月6"中，AB=BB1=2BC,点P,Q,T分别在棱

BB「C&和48上，且与P=38P,CQ=3GQ,BT=3AT,则平面尸。7截长方体所得的截面形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

4.（2023秋•江苏南京•高三统考开学考试）在正方体ABC。-AAGA中，过点B的平面a与直线垂直，

则。截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

5.（2023・河南•模拟预测）在正方体ABCD-AAGA中，M,N分别为AD,C2的中点，过N,用三

点的平面截正方体ABCO-A用G2所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

6.（2023•全国•高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体中，点股为8的中点,

点尸在侧面AD24上，且到4A的距离为6,到A4的距离为5,则过点P且与AM垂直的正方体截面的形

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

7.（2023・上海•高二统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形£FG〃为截面，长方

形ABCD为底面，则四边形的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定

2.求截面的面积

一、单选题

1.（2022春.山西朔州.高一校考阶段练习）在正方体A8CQ-ABC。中，棱长为3,E为棱B片上靠近耳的

三等分点，则平面AE2截正方体A8CD-A4C。的截面面积为（）

A.2vHB.4VHC.2A/22D.4A/22

2.（2022秋・安徽合肥・高三统考期末）已知正方体A耳£2的棱长为2,M,N分别为A由、耳£的

中点，过M.N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）

A.272B.2非C.更地D.-

22

3.（2023•安徽蚌埠•统考一模）如图，正方体A3CO-4耳。12的一个截面经过顶点AC及棱A由上一点K,

截面将正方体分成体积比为2:1的两部分，则三的值为（）

4.（2023春・全国•高一专题练习）已知二棱锥尸-ABC的所有棱长均为3,球。与棱以，PB,PC都相切,

且平面ABC被球。截得的截面面积为2兀，则球。的半径为（）.

A.1B.72C.2A/2D.近或2万

5.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）若球。是正三棱锥A-3a＞的外接球,

8C=3,A8=2^/L点E在线段54上，BA=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面

的面积为（）

A.—B.2兀C.—D.无

33

6.（2023•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥（底面是正三角形，

顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=43,=点E是线段的中点，过点E作球。的

截面，则所得截面面积的最小值是（）

,3兀2717171

A.—B.—C.-D.一

4324

7.（2023秋・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABC。-A46R中，M,N

分别为棱A。,DR的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）

8.（2023・四川成都・校联考模拟预测）在三棱锥V-ABC中，平面E4C,VA=1,AB=AC=&，

cos/VAC=侦，点/为棱AV上一点，过点尸作三棱锥V-ABC的截面，使截面平行于直线和AC,当

2

该截面面积取得最大值时，CF=（）

A.MB.总

32

Lr.-V---n-n\-J.-V--i3---

43

9.（2023•安徽合肥•统考一模）已知正方体的棱长为4,M,N分别是侧面CR和侧面BG的

中心，过点M的平面a与直线A©垂直，平面a截正方体AG所得的截面记为S,则S的面积为（）

A.5A/3B.4A/6C.7"D.976

10.（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥A-3CD中，

AB=BC=CD=DA=272,ZADC=ZABC=90°,平面ABC，平面AC。，三棱锥A-BCD的所有顶点都在

球。的球面上，耳尸分别在线段。民CD上运动（端点除外），BE=0CF.当三棱锥E-ACF的体积最大时，

过点歹作球。的截面，则截面面积的最小值为（）

l3

A.兀B.y/3iiC.—兀D.2兀

2

11.（2023•江苏•高一专题练习）已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱长为2&,SC的中点为£,

过点E做与SC垂直的平面a,则平面a截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为（）

A.迪B・侦C.逑D.§

3333

12.（2023春・湖北武汉•高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥尸-ABCD的体积为36,底面

ABCD的面积为18,点E、尸分别为丛、PC的中点，点G为的靠近点B的三等分点，过点E、F、G

的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）

A”B.W5©.吆5D,3下

555

二、填空题

13.（2023春•河北保定•高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体ABC。-A片中，若E为棱2旦

的中点，则平面AEG截正方体4BCD-AgGR的截面面积为.

14.（2022•广西桂林•校联考二模）在三棱锥ABC。中，对棱A3=。=«，AD=BC=^13,AC=BD=回,

当平面a与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值

为.

15.（2019春・上海•高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，A8=l,DDt

中点为。，过A、。、用三点的截面面积为

16.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台ABCD-44G。中，A8=24用，的=2右,

M为棱8G的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是.

17.（2023•江西吉安•吉安三中校考一模）如图，正方体ABCD-AqGR的棱长为1,P为BC的中点，Q为棱

CG上的动点，过点A,尸，。的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是.（请写出

所有正确命题的编号）

①当CQ=:时，S为等腰梯形；

31

②当。。=工时，s与G2的交点R满足GE=§；

3

③当<CQ<1时，S为六边形；

4

④当CQ=1时，S的面积为好.

2

3.求截面的周长

一、单选题

1.（2023•河南新乡•统考三模）如图，在棱长为2的正方体ABC。-44GA中，E是棱CG的中点，过

三点的截面把正方体ABCD-A耳分成两部分，则该截面的周长为（）

9

A.3y/2+2y[5B.272+75+3C.-D.2忘+2丘+2

2.（2023春•四川南充・高三阖中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱ABC。-A耳6。的所有棱长均为2,

ZBAD=^,E是侧棱AA的中点，则平面ACE截四棱柱ABC。-446。所得的截面图形的周长是（）

C.30+上+2D.3A/2+V5+V7

3.（2023•江西鹰潭・贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体ABC。-4吕G。的棱长为2,点P为线段入4

的中点，若点尸e平面。，且AG，平面a,则平面。截正方体ABC。-所得截面的周长为（）

A.节B.375C.3亚D.6正

4.（2023•全国•高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC。中，点尸是棱42上的动点，过

A，G,尸三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（）

A.且B.3+逑C.5+巫D.5+还

2222

5.（2023•全国•高三专题练习）在正方体ASCD-AB'C'D中，AB=4,E为棱BC的四等分点（靠近点8）,

P为棱AD的四等分点（靠近点A）,过点C',E,P作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

.9A/225D8A/225„8屈40八4忘40

42323333

6.（2023•全国•高三专题练习）正三棱柱ABC-A4/G中，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱AiCi

A.2+2逐B.2A/5+|A/13C.26+屈D.26+卓

7.（2023春•广西南宁・高三南宁三中校考专题练习）已知正方体ABCO-A4G2的棱长为4,E,尸分别是

棱A4,BC的中点，则平面2足/截该正方体所得的截面图形周长为（）

A.6B.106C.岳+2下D.2而+产+25

二、填空题

8.（2023•全国•高三专题练习）已知长方体48。。一4月£2中，AB=2,AO=4,A4t=3,E,尸分别为4月，

4G的中点，则过。，E,尸三点截得长方体ABCD-ABGR的截面周长为

9.（2023秋•四川成都・高三树德中学校考开学考试）如图，正方体的棱长为4,E是侧棱AA

的中点，则平面4CE截正方体ABC。-A4C2所得的截面图形的周长是.

10.（2023春•上海黄浦・高三格致中学校考开学考试）正三棱柱ABC-中，所有棱长均为2,点E、F

分别为棱8旦、4cl的中点，若过点A、E、尸作一截面，则截面的周长为.

11.（2023.LU东泰安・统考模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD-4月£。中，点瓦忆G分别是BXB、B£、

CC的中点，则过线段AG且平行于平面4防的截面图形的周长为.

12.（2023•全国•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=1,BC=2,AC=也,M=3,

M为线段B片上的一动点，则过A,M,Q三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为.

4.圆柱、圆锥、球的截面问题

一、单选题

4

1.（2023•山西阳泉•阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4,侧面积是底面积的§倍，过圆锥

的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（）

A.8B.4币C.3A/7D.376

2.（2023・广西•统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球。的球面上，且球心。在圆锥体内部,

若球0的表面积为16兀，。到圆锥底面圆的距离为1,则该圆锥的侧面积为（）

A.6万B.4〃C.3兀D.2%

3.（2023•天津红桥•统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为兀，则球的体积为（）

A4A/3R40

33

r873n8a

33

4.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球。的一个截面的面积为2兀，球心。到该截面

的距离比球的半径小1,则球。的表面积为（）

A.87tB.9兀C.1271D.16兀

5.（2023•全国•高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是

6.（2023秋•陕西西安・高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底

面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形

7.（2023•全国•高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面

为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面

为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A.4万一4B.4%C.4万一2D.27一2

8.（2023•全国•高三专题练习）若过圆锥的轴S。的截面为边长为4的等边三角形，正方体ABCD-A4GA

的顶点A,B,C,。在圆锥底面上，A，耳，q,2在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（）

A.2&B.3白C.2（3V2-2A/3）D.2（3«-2拒）

9.（2023・海南海口•海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆

柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心,

。为球心，E尸为底面圆的一条直径，若球的半径r=2,则平面。所截球所得的截面面积最小值为（）

13-14c16

A.2兀B.—兀C.---71D.——71

555

10.（2023-江西南昌・江西师大附中校考三模）已知正方体43。。-44£4的棱长为2,E为棱CG上的一点,

且满足平面平面48。，则平面43。截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）

、13「25八8「2

A.—itB.—兀C.—nD.—71

61233

11.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,将△的沿对

角线8。翻折至AABO的位置，使得平面42£＞，平面BCD,则在三棱锥A-BCD的外接球中，以AC为直

径的截面到球心的距离为（）

AA/435R60-7239n7113

1051010

12.（2023・全国•高三专题练习）某圆锥母线长为2,底面半径为G，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得

截面面积的最大值为（）

A.2B.1C.2A/3D.百

13.（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别

为，，R,高为/1,平面。经过圆台Q。的两条母线，设a截此圆台所得的截面面积为S,则（）

A.当/zNR-r时，S的最大值为（R+2r）/z

s的最大值为（R+「）［万+（R'）［

B.当〃NR—r时,

2(")

C.当力<R—r时，S的最大值为（R+2