2024-2025学年深圳某中学高二年级上册数学第二次月考试卷（附答案解析）

2024-2025学年深圳中学高二上数学第二次月考试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的。

1.（5分）直线近x-3y-l=0的倾斜角为（）

A.30°B.135°C.60°D.150°

2.（5分）如图，空间四边形CM5C中，0A=a，0B=b0C=o点M在。4上，且。儿」。4点N为夕。中点，

3

则而等于（）

3.（5分）已知直线/i：ax+y-1=0与直线I2：x+ay-a"。平行，则°的值为（）

A.-1或1B.-1C.0D.1

4.（5分）如图，在正方体/BCD-/151cl。中，M,N分别为D3,小。的中点，则直线出m和8N夹角的余弦值

BcD

人•与-4-t4

第1页（共16页）

A.巨B.V2C.AD.1

22

7.（5分）已知实数x,y满足方程y=J_x2+4x-「则工的最大值为（）

A.0B.1C.V3D.2

8.（5分）已知点尸为直线八：mx-2y-m+6=0/2：2x+my-m-6=0（mER）的交点，点。为圆C：（x+3）

2+S+3）2=8上的动点，则下。的取值范围为（）

A.12^2,872]B.（272,872]C.[V2,672]D.（V2,6>/2]

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）若三条直线/i：2%-7+1=0,/2：x+y-1=0,Z3：2x+砂+a-2=0不能围成一个三角形，则实数

。的值可以为（）

A.-1B.0C.1D.2

（多选）10.（6分）已知直线/：fee-厂上+1=0与圆C：X2+/-4J=0,则下列说法正确的是（）

A.圆C的半径为4

B.直线/过定点（1,1）

C.直线/与圆C的相交弦长的最小值为次内

D.直线/与圆C的交点为/,B,则△NBC面积的最大值为2

（多选）11.（6分）在棱长为2的正方体488-小历。1。1中，点尸在线段51c上运动，则（）

A.三棱锥尸-NiCi。的体积为定值生巨

3

B.P8+PD的最小值为

C.NBPDi290°

D.直线N尸与小。所成角的取值范围是「工，2L1

L32J

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.（5分）直线Zi：2x-y+l=0与直线b：4x-2y-3=0之间的距离为.

13.（5分）已知向量2=（2,-1,2）,b=（-4,2,t）的夹角为钝角，则实数/的取值范围

为.

14.（5分）已知点P为直线/：x+y-2=0上的动点，过点尸作圆C：/+2工+炉=0的切线为，PB,切点为/,B,

当用最小时，直线的方程为.

第2页（共16页）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15・(13分)已知向量之=(2,-1,m),b=(1,4,且

(1)求心+2石|的值；

(2)求向量与夹角的余弦值.

16.(15分)已知平面上有两点/(-1,0),B(1,0)和直线/：x-y+2=0.

(1)求过点3(1,0)的圆(x-3)2+(厂4)2=4的切线的方程；

(2)动点尸在直线/上运动，求|E4|+|P目的最小值.

第3页(共16页)

17.(15分)已知直线/：kx-y-l-2^=0"eR)过定点尸.

(1)求过点尸且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)设0为C：/+)2-27-3=0上的一个动点，求PQ中点M的的轨迹方程.

第4页(共16页)

18.（17分）如图，在四棱锥P-/BCD中，底面4BCD为矩形，尸。_1_底面/BCD,PD=DC=2AD=2,E是尸C的

中点.

（1）求证：以〃平面EDB；

（2）求平面ED5与平面为。夹角的余弦值；

（3）在棱心上是否存在一点尸，使直线所与平面ED8所成角的正弦值为近，若存在，求出求线段3斤的长;

3

若不存在，说明理由.

第5页（共16页）

19.(17分)常用测量距离的方式有3种.设/Cxi,yi),B(x2,»),定义欧几里得距离

22;

D(A,B)=^(X1-Xo)+(Y1-y2)定义曼哈顿距离•(4B)=|xi-切+历-舛定义余弦距离eG4,

B)=1-cos(4B),其中cos(A,B)=cos<0A,而>(°为坐标原点)•

(1)若/(1,2),3(2,1),求N,B之间的曼哈顿距离M(1,B)和余弦距离e(A,B)；

(2)若c“4X-X2,x-2),D(-l,冬)，求eCD)的取值范围；

(3)动点尸在直线y=2x-2上，动点。在函数》=/图象上，求〃(尸，。)的最小值.

第6页(共16页)

2024-2025学年深圳中学高二上数学第二次月考试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的。

1.（5分）直线6x-3y-l=0的倾斜角为（）

A.30°B.135°C.60°D.150°

解：因为该直线的斜率为1,所以它的倾斜角为30。.故选：A.

3

2.（5分）如图，空间四边形CU8C中，0A=X0B=b,友=3，点M在。/上，且布上逐，点N为8c中点，

3

则诵等于（）

0

B

C

A.4亭亭B.崇亭贵2f271fln2-2,1-

=

解:MN=MA+AN=^-0A（AB+AC）yOA（OB-OA）^（^C-5A）=-短枷标一|；4b

十12故选：B・

2。

3.（5分）已知直线/i：办+y-1=0与直线］之：x+a、9-a2=0平行，贝U。的值为（）

A.-1或1B.-1C.0D.1

解：由于直线/i：QX+JV-1=0与直线］之：x+ay-士12=o平行，故后=1,解得。=±1；

当4=1时，两直线重合，故〃=-1.故选：B.

4.（5分）如图，在正方体4BCQ-4SC1Q1中，M,N分别为。5,4cl的中点，则直线4M和夹角的余弦值

为（）

f片

4B彳

A.巨B.近C.Z-D.1.

3232

解：分别以D4,DC,OG所在直线为x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体/BCD-AiBxCiDi的棱长为2,

第7页（共16页）

得Ni(2,0,2),M(1,1,0),B(2,2,0),N(1,1,2),则］^=(1,-1,2),BN=(-1,-1,2)，

设向量和丽的夹角为e，则直线和3N夹角的余弦值等于|cos9|,

,,MAi•BN-1+1+442工…

故cos8=—.-----；—=-7==—,--=—；故选：C.

iMAj|•|BN|Vl+1+471+1+463

对于3选项：由人得。<0,6>0,由/2得。>0，b>0,矛盾，故8错误；

对于C选项：由/i得a>0,b<0,由/2得。<0，b>0,矛盾，故C错误；

对于。选项：由人得a>0,6>0,由/2得a>0,b>0.故D正确.故选：D.

6.（5分）圆a：x?+y2=i与圆,2：x2+y2+2x-2y+l=0的公共弦长为（）

A.B.&C..1D.1

22

解：圆Ci：x2+y2=l,圆心坐标为。（0,0）,半径r=l,圆C2：x2+y2+2x-2y+l=0,圆心坐标为。2（-1，1），

半径R=l,圆心距dW（-1-0）2+（b0）2=企,所以R-r<d<R+r,故两圆相交，

fx2+y2=1

联立两圆方程（X二1,得x-y+l=o,所以公共弦所在直线的方程为：x-y+l=o,圆心Cl（0,0）

x2+y2+2x-2y+l=0

22

到公共弦所在直线的距离为：=L1J_~=^~则公共弦长为：Jl-（^-）=V2-故选：B.

222

VI+（-D

7.（5分）已知实数x,y满足方程yW_x2+4x-「则工的最大值为（）

X

A.0B.1C.。3D.2

解：方程了=，_，+4又_］化为（x-2）2+y2=3（y^：0）,表示的图形是一个以（2,0）为圆心，正为半径的半圆,

令工二k，即〉=b，如图所示，

X

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离［1芈幺L=V3>解得1<3或卜=耳§（负值不满足条件，舍去），

Vl+k

第8页（共16页）

所以工的最大值为故选：C.

X

8.（5分）已知点尸为直线/i：加x-2》-冽+6=0与直线，2：2x+my-m-6=0（mGR）的交点，点。为圆C：（x+3）

2+（歹+3）2=8上的动点，则修。的取值范围为（）

A.[272,872]B.（2>/2,872]C.[72,672]D.（72,672]

解：因为点尸为直线/i：%x-2y-%+6=0与直线/2：2x+%y-m-6=0的交点，

所以由2加+（-2）根=0可得/I_L/2,且/i过定点（1,3）,/2过定点（3,1）,

22

所以点P的轨迹是以点（1,3）与点（3,1）为直径端点的圆，圆心为（2,2）,r=V（l-3）+（3-l）

而圆C：（x+3）2+（y+3）2=8的圆心为（-3,-3）,半径为区=2\历，

所以两个圆心的距离d=、（2+3）2+（2+3）2='且1>H及，所以两圆相离，所以下。|的最大值为：

CHT+R=8J5，|尸。|的最小值为：d-r-R=2%，所以|尸。|的取值范围是[2&，872].故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.（6分）若三条直线/i：2x-y+1=0,/2：x+y-1=0,Z3：2x+ay+a-2=0不能围成一个三角形，则实数

。的值可以为（）

A.-1B.0C.1D.2

解：当三条直线交于一点时不能围成三角形，由J2x-y+i=o,可得x=o,>=],即直线a和及的交点/的坐标

lx+y-l=0

为（0,1）,由4在/3上可得2义0+。+。-2=0,解得。=1,因为/1与/2的相交，所以当三条直线/1，12,/3有两

条直线平行时不能围成三角形，当乙〃/3时，2=_邑,3二2,解得。=-i,当/2〃/3时，2=包工且二2,解得。

2-1^11K-1

=2,显然/1，/2与/3不可能重合.这三条直线不能围成三角形时实数。的值为{2,-1或1}.故答案为：ACD.

（多选）10.（6分）已知直线/：点-y-左+1=0与圆C：x2+y2-4y=0,则下列说法正确的是（）

A.圆C的半径为4B.直线/过定点（1,1）C.直线/与圆。的相交弦长的最小值为啦

D.直线/与圆C的交点为4,B,则△ABC面积的最大值为2

解：对于N：圆C：x2+j2-4y=0,即/+（厂2）2=4,圆心为C（0,2）,半径r=2,故/错误；

对于3：直线/：kx-y-k+1^0,即左（x-1）-7+1=0,令[x-l=U,得[x=l,即直线/过定点（1,1）,故2

ll-y=0ly=l

正确；对于C因为》+（1-2）2=2<4,所以直线/所过定点（1,1）在圆的内部，不妨设直线1过定点为。

（1,I）,当直线/与圆c的相交弦最小时，cr）与相交弦垂直，

又因为|CD|=V（b0'+（1-2）2，所以相交弦的最小为Wr2-|CD|2=24^，故C正确；

222

对于D,设圆心C到直线I的距离为d,则0<d4|CD|=&,则IABI=27r-d=2V4-d-

所以SAABC11ABIX2V4-d2'dWi-d2.后=Y（4孑）c（24"-d?d=2,

乙乙乙

第9页（共16页）

当且仅当4-屋=/，即dS时取等号，故。正确.故选：BCD.

（多选）11.（6分）在棱长为2的正方体NBCD-NiSCiDi中，点尸在线段BiC上运动，贝U（）

A.三棱锥P-NiCiD的体积为定值生应B.网+尸£>的最小值为2小

3

C.NBPDiN90°D.直线/尸与小。所成角的取值范围是「三，2L-I

L32J

解：对于/：因为小。〃囱。，平面NiCbD,/LDU平面/Ci。，所以囱。〃平面小。。，

又点P在线段BC上运动，所以点尸到平面的距离与点C到平面NCiD的距离相等，

所以三棱锥P-AiCxD的体积等于三棱锥C-A^CiD的体积，由正方体的性质可得平面CCiD,

所以左冏3叫《"?登圣”飞必夺<2><2等故”错误;

C,

AB

对于8：将△5C81旋转至平面N/iCD内，如图所示，旋转到△8C5i，

当尸，B',。三点共线时，尸2+尸。取得最小值，

且最小值为DB，=7DC2+ByC2-2DC-BZCCOS135°="+4+4&=2V2+V2#2+V3，故B错误;

对于C：正方体/BCD-AiBiCiDi的外接球是以BD1为直径的球，

线段C81在该外接球的内部或刚好在外接球上，所以,故C正确；

对于。：因为异面直线AP与4。所成角转化为直线/尸与3C所成角，

又△/21C是正三角形，当点P与线段21C的端点重合时，异面直线/尸与所成角取得最小值为工,

3

当点尸为线段2C的中点时，所成角取得最大值为工，

2

故异面直线NP与所成角的取值范围是「三，—I,。正确.

L32J

故选：CD.

第10页（共16页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.(5分)直线/i：2x-尹1=0与直线/2：叙-2厂3=0之间的距离为_1_.

2

解：Zi：2x-y+l=0的方程可化为4x-2y+2=0,/i与，2平行，

由平行直线之间的距离公式可得方12-(-3)|=近.故答案为：痣_.

-2+1)222

13.(5分)已知向量；=(2,-1,2),b=(-4,2,t)的夹角为钝角，则实数f的取值范围为(-8,-4)

U(-4,5).

解：因为向量之=(2,-1,2),b=(-4,2,t)的夹角为钝角，贝W・E=-10+2t<0,解得/<5,

当;，线时，由b=入a，即(-4,2,t)=入(2,-1,2),解得t=-4,

所以当；，超5角为钝角时怎(-8,-4)U(-4,5).故答案为：(-8,-4)U(-4,5).

14.(5分)已知点尸为直线/：x+y-2=0上的动点，过点尸作圆C：x2+2x+y2=o的切线为，PB,切点为B,

当|尸。口/8|最小时，直线的方程为3x+3v+l=0.

解：已知圆C：x2+2x+f=0的圆心C(-1,0),半径厂=1,易知点1,P,B,C四点共圆，且4S_LCP,

所以「|△物为

|PC4B|=4Scndx/xilXI/CFZI/^,X|B4|=7|pC|2-1，

所以当直线CPL时，|PC|和幽取得最小值，易得|尸Q的最小值为宜巨，|我|的最小值为'还,

22

1

，解得，'，即尸(1,3),

此时|PC，4B|取得最小值，所以直线PC的方程为y=x+l,联立y=x+i

x虹-2=0*22

y2

/1、,、3K

(x=)(x+1)+y(y-z-)=0

则以尸C为直径的圆的方程为(x-工)(x+1)+y(厂3)=0,联立;

2222

tx+2x+y=0

两式相减得3x+3y+l=0,即直线A8的方程为3x+3y+l=0.故答案为：3x+3y+l=O.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知向里a=(2,-1,m),b=(1,4,1),且aj_b.

(1)求|彳+2式|的值；(2)求向量Z+2弱Z-E夹角的余弦值.

(1)解：因为Z=(2,-1,m),b=(l,4,1),alb-所以之用=2-4/=0,解得加=2,

所以Z=(2,-1,2),b=(l,4,1)，贝W+2E=(2,-1,2)+2(1,4,1)=(4,7,4)，

所以|a+2bI=A/42+72+42=9;

⑵解：向量获⑵-1,2),b=(l,4,1)，|1-bI=712+(-5)2+12=3V3)

第11页(共16页)

(l+2b)-(a-b)=4X1+7X(-5)+4义l=-27,设向量Z+2诞ZV夹角为仇

所以cos8=-近，所以向量Z+2己与Z-E夹角的余弦值为正.

33

16.(15分)已知平面上有两点/(-1,0),B(1,0)和直线/：x-尹2=0.

(1)求过点3(1,0)的圆(x-3)2+(厂4)2=4的切线的方程；

(2)动点尸在直线/上运动，求|E4|+|P目的最小值.

解：(1)过点B(1,0)且斜率不存在的直线为x=l,圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心(3,4)到直线x=l

的距离d=3-l=2=F=r，即直线x=l与圆(x-3)2+(y-4)2=4相切，故x=l满足题意；当过点3(1,0)

且斜率存在的直线为了=左(x-1),若直线(x-1)与圆(x-3)2+Cy-4)2=4相切，则阜工J_=2，解

Vk2+1

得k《，此时满足题意的直线为3x-4y-3=0,综上所述，所求切线的方程为x=l或3x-4y-3=0.

(2)如图所示：

设点3(1,0)关于直线y=x+2的对称点囱Gi，/),显然双。1,

“1+0X1+1

2

则”2解得xi=-2,yi=3,所以81的坐标为(-2,3),

X1=-1

设B\A与直线y=x+2交于点Q,

则|PA|+|PB|=|PA|+|PBi|>|ABi|=近百=疝，等号成立当且仅当P。重合，

所以幽+1印的最小值为百5.

17.(15分)已知直线/：kx-y-l-2k=0(左6R)过定点P

(1)求过点尸且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)设0为C：，+/_27-3=0上的一个动点，求P。中点M的的轨迹方程.

解：(1)因为直线/：fcc-y-1-2左=0(任R),即y=A(x-2)-1,

所以直线/恒过定点P(2,-1),

若截距不为0,不妨设直线方程为三退=1履00)，代入(2，-1)，得°=1，

aa

此时直线方程为x+歹-1=0,

若截距为0,即直线/经过原点，则7-2左=0,解得k=二，

2

第12页(共16页)

此时直线I的方程为1+2》=0,

则求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+2y=0或x+y-l=O.

(2)设Af(x,y),Q(Q,b),

a+2

则；2,得到卜-2x-2

所以Q(2x-2,2y+l),

—=vlb=2y+l

2y

又点0在C上，所以(2x-2)2+(2j+l)2-2(2y4-l)-3=0,

整理得/-2了+炉=0,

故M的轨迹方程为(x-1)2+y2=l.

18.(17分)如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，P0_L底面/BCD,PD=DC=2AD=2,E是尸C的

中点.

(1)求证：〃平面ED3；

(2)求平面£03与平面为D夹角的余弦值；

(3)在棱P8上是否存在一点尸，使直线所与平面£03所成角的正弦值为近，若存在，求出求线段3歹的长;

(1)证明：连接NC,交BD于点、O,连接OE,

点E是尸C的中点，点。是/C的中点，

所以刃〃O£,OEu平面ED8,以《平面EDB,

所以以〃平面EDB；

_,...

(2)解：如图，以向量DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，

第13页(共16页)

z

X

即。(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),

则底=(1,2,0),DE=(0,1,1)，

设平面ED5的一个法向量为i=(x,y,z>

f9.

则由而；1而可得但丁x+2y=0,

,DE5=了+2=0

令y=-l，得x=2,z=l,

可得平面助8的一个法向量为'=(2,-1,1)，

不妨取平面的一个法向量为［=(0,1,0),

设平面EDB和平面PAD的夹角为。，

milIIIm-n|1巡

Iml|n|V66

所以平面助2和平面刃。的夹角的余弦值为近；

6

(3)解：由(2)知。(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),

则而=(1,1,-1)'BP=(-1,-2,2>

BF=XBP=(-X,-2入，2入)(0<人<1>

EF=EB+BF=(1,1)-1)+(-人，-2人，2源)=(1-入，1-2入，-1+2X.)>

由(2)知平面瓦叼的一个法向量为、=①，-1,1)>

设直线EF与平面EDB的夹角为a,

则sina=|cos⑥，■//|2(1一入)-(1”-1+2人|率0<X<l，

V(l-^)2+(l-2X)2+(-l+2X)2xV63

整理得8人2-io入+3=0,解得XX卫，

24

故当人时'当X=-^-0^,gp=-^-»

2244

则BF的长为3或2.

24

第14页（共16页）

19.(17分)常用测量距离的方式有3种.设/Cxi,yi),B(x2,»),定义欧几里得距离

22;

D(A,B)=^(X1-X2)+(y1-y2)定义曼哈顿距离B)=|xi-回+伊定义余弦距离eG4,

B)=1-cos(4B),其中cos(A,B)=cos<0A,而>(。为坐标原点).

(1)若/(1,2),3(2,1),求N,B之间的曼哈顿距离M(1,B)和余弦距离e(A,B)；

(2)若c“4乂1,x-2),D(-l,除)，求eCD)的取值范围；

(3)动点尸在直线y=2x-2上，动点。在函数y=/图象上，求M(尸，。)的最小值.

解：(1)M(A,B)=|1-2|+|2-1|=2,

因cos(A,B)=cos(0A>OB/'=哈