北京市顺义某中学2023-2024学年高一年级上册10月月考数学试题

牛栏山一中2023-2024学年度第一学期10月月考

数学试卷

（90分钟）2023.10

第一部分（填空题共42分）

一、填空题共14小题，每小题3分，共42分，把答案填在答题卡相应位置上.

1.如图，数轴上两点A,B,则氏4=/人因=.

AB

--------------1-----------1---------------------------1——>

013

【答案】①.-2②.2

【解析】

【分析】根据数轴上数的表示，及距离公式求解.

【详解】：数轴上的两点A,B对应的数分别是1,3,

.•.34=1-3=-2,|明=3-1=2.

故答案为：—2，2.

2.若集合4={1,2,3},5={1,3,4},则AD5=,=.

【答案】©.{1,2,3,4}②.{1,3}

【解析】

【分析】根据并集、交集的定义求解.

【详解】集合A={1,2,3},5={1,3,4},则AU3={1，2,3,4},4。5={1,3}.

故答案为：{1,2,3,4},{1,3}.

3.已知分式方程幺F+」—=5,令二f=y,化简可得关于y的整式方程为____.

x22x-l%2,

【答案】/_5y+l=0且ywO）

【解析】

2元一1

【分析】先考虑一一二y的范围，再代入分式方程，去分母化简整理可得答案.

x

【详解】：y=m==_'+?=+1<1,（1=1时取等号），

又由题意得y/0,yKl且ywO.

将立?=y,代入在二+-^=5,得y+'=5,

Xx22x-ly

化简整理可得关于〉的整式方程为V—5y+1=0(丁<1且丁/0).

故答案为：y2-5y+l=0(y<l>y^O).

4.因式分解：ab-2a-2b+^=.

【答案】(a-2)0-2)

【解析】

【分析】提取公因式即可分解因式.

【详解】-2a—2Z?+4=a(b—2)-2(〃-2)=(a-2).(/?-2).

故答案为：(a-2>(〃-2).

5.若x—l是2V—G：2+5X—i的一个因式，则。=.

【答案】6

【解析】

【分析】设多项式另一个因式为2V+法+c，贝U(x—1乂2尤2+法+C)=2%3一以2+5%—1,展开整

理，利用对应项系数相等即可求得七仇c的值.

【详解】设多项式的另一个因式为2必+法+c，

则(x—1)(2x~+bx+c)=—ax~+5无一1,

展开整理得，2x3+(Z?-2)x2+(c-Z?)x-c=2x3-ax2+5x-l,

b-2=-a

所以<c—6=5,解得a=6力=—4,c=l.

-c=-1

故答案为：6.

6.若无2—2023X+1=0，则X+^=.

x

【答案】2023

【解析】

【分析】整理方程，将目标式子化简即可求解.

【详解】因为％2—2023X+1=0，所以尤2+1=2023%，

诉”必+12023%

所以％+—=-----=-------=2023

XXX

故答案为：2023.

7.化简工^=____.

a{-a

【答案】-1

【解析】

【分析】将根式化成指数嘉，再根据指数塞的运算法则计算.

故答案为：-1.

8.不等式,―2|<1的解集为.

【答案】(1,3)

【解析】

【分析】利用绝对值不等式的解法求解.

【详解】由,―2]<1得—1<%—2<1,解得1<%<3,

故不等式卜―2|<1的解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

9.设x,yeR,满足方程/+y?=10x-6y—34,则％+丁=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用完全平方公式和非负数的性质求得羽y的值，然后代入求值即可.

【详解】•.*+/=10%—6y-34,

x~+y~—10x+6y+34=0

.(x2-10%+25)+(y2+6j+9)=0,

・・・（尤一5）2+（>+3）2=0,

**•x=5,y=-3,

x+y—5+（—3）—2.

故答案为：2.

10.已知集合加=｛2,0,11｝.若AtjM,且A的元素中至少含有一个偶数，则满足条件的集合A的个数

为.

【答案】5

【解析】

【详解】满足条件的集合A有｛2｝、｛0｝、｛2,0｝、｛2,11｝,｛0,11｝.共5个.

故答案为5

11.在直角坐标系中将二次函数y=-2（x-1）?-2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长

度，则所得抛物线的顶点坐标为.

【答案】（0,—1）

【解析】

【分析】首先得到平移后的函数解析式，从而求出其顶点坐标.

【详解】将二次函数y=-2（x-if-2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

y=-2[（%+1）-1丁-2+1,

即y=—2%2—1,

所以函数的顶点坐标为（0,-1）.

故答案为：（0,-1）

12.若eR,满足---=-----，则------的值为.

aba+bab

【答案】1

【解析】

【分析】对己知方程等价变形即可求解.

【详解】因为工_工=,，所以勺女_?=i,所以卜+2]_卜+2]=1,所以,=1.

aba+bab<aJ\bJab

故答案为：1.

13.若根2=〃+2，/2=〃7+2（7%N〃），则加+〃=.

【答案】-1

【解析】

【分析】两式作差，利用平方差公式求解.

【详解】.\m—n^Q,

若=〃+2,n2=m+2，

两式作差得m2—n2=71+2—（m+2）,即（加+〃）（加—〃）=〃一加,

两边同时除以加一"得：m+n=-l.

故答案为：T.

14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天

售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有种；

②这三天售出的商品最少有种.

【答案】①16；®.29

【解析】

【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为8,第三天售出商品

的种类集为C,

如图,

则第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种;

②由①知，前两天售出的商品种类为19+13-3=29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=

14种，当这14种

商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的

商品种类最少为29种.

故答案为①16；②29.

16AB10J【名师点睛】

本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的

情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.

第二部分（简答题共58分）

二、解答题共6道题，共58分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设全集。=R,集合A={尤[x<l},B=[x\x>a].

(1)若eAuB,求a的取值范围；

(2)若AC5N0,求。的取值范围.

【答案】(1)a<1

(2)a<1

【解析】

【分析】(1)由补集定义可得aA,由包含关系可得。的范围;

(2)根据交集的定义可直接求得结果.

【小问1详解】

A={x|x<l},则4A={x|xNl},

又5={x|x>a},所以a<1.

【小问2详解】

A={%|%<1},3={x|x>a\,

若则avl.

16.请同学们补全下面两个关于工的不等式的解答过程.

(1)x2+or+4>0(6z>0)；

解：令y=f+依+4(〃>0),

令f+依+4=0,计算八二。2—16,

当A〈0时，即0vav4时，方程£+狈+4=0不存在实根;

画y=犬2+依+4草图,

不等式的解集为.

当△二()时，即时，方程%2+依+4=0的两根为

画y=X2+依+4草图,

y八

6-

4-

2-

ii।_________I।_____i»

-6-4-2。246x

-2-

-4-

不等式的解集为

当A〉。时，即时，方程M+依+4=0的两根为

画y=犬2+Q%+4草图,

y八

6-

4-

2-

।।।_____111A

-6-4-20246x

-2-

-4-

不等式的解集为

(2)X(X2-6X+5)<0.

解：令%(%2-6兄+5)=0(*),

则方程（*）的三个根从小到大排列分别为%=

把三个根分别标在x轴上，并完成表格，

iiii111111A

-3-2-10123456^

玉<

X的取值范围x<x1x<x2x2<X<x3X〉电

—6x+5）的符号

请根据表格写出不等式X（X2-6X+5）＜0的解集.

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）结合判别式，根据一元二次方程和二次函数，一元二次不等式的关系求解;

（2）根据方程的根与不等式解集的关系求解.

【小问1详解】

令y=炉+ox+4（a>0）,

令f+ax+4=0,计算A=4-16，

当A<0时，即0<a<4时，方程/+依+4=。不存在实根；回y=X?+OX+4草图,

不等式的解集为R.

当△=€）时，即。=4时，方程/+奴+4=0的两根为％=%=-2.画丁=炉+。》+4草图,

不等式的解集为{x|xw-2}.

Ia—-16—ci+y]G~—16

当A〉0时，即a>4时，方程/+依+4=0的两根为石=二^----------,X。=

2------------2

...r、，，AFq,-a—-16_—ci+da~-16

不等式的解集为\xx<-------------或X〉--------------

22

【小问2详解】

令尤(x?_6无+5)=0(*),

则方程(*)的三个根从小到大排列分别为占=0；%2=1；七=5.

把三个根分别标在x轴上，

―।------1------1---*—*——।------1-----1------*----1——>

-3-2-10123456x

x<0时，X2—6x+5>0,则无(尤2-6龙+5)<0,

0<x<l时，x2—6x+5>0,则厂—6x+5)>0,

1<%<5时，X2-6X+5<0，则尤(V—6X+5)<0,

x>5时，x2—6x+5>0,则无(尤2—6x+5)>0,

完成表格，

X的取值范围x<x1X]<x<x2x2<X<x3X〉

—6%+5)的符号—+—+

根据表格可得，不等式X(X2-6X+5)<0的解集为{x|x<0或l<x<5}.

17.已知A={x|x=3左，左cZ},3={x|x=3左+1,左eZ}.

(1)判断3,5是否在集合A中，并说明理由；

(2)判断6m—2(机wZ)是否在集合8中，并说明理由；

(3)若aeA,b&B,判断a+b是否属于集合8,并说明理由.

【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析

(2)6/篦-2。篦©Z)在集合8中，理由见解析

(3)a+b属于集合8,理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据集合A中元素的特征判断求解；

(2)根据集合B中元素的特征判断求解；

(3)设a=3p,peZ,人=3q+l,qeZ,进而根据集合B中元素特征判断求解.

【小问1详解】

=3=3x1,；.3在集合A中，

令3左=5,则左=gcz,故5不在集合A中.

【小问2详解】

6m-2=3（2m-l）+l,且2/八—IwZ,故6m-2（meZ）在集合8中.

【小问3详解】

设a=3p,peZ,b=3q+l,qeZ,

则。+3=3（夕+4）+1,/?+4€2,

所以a+Z?属于集合反

18.（1）解关于x,y的方程组《

兄2=3.

x=X%一%x1+4/=8,

（2）已知＜和V2是关于X,y的方程组＜LQ+4）1为参数）的两组不同实数解.

y=%

一32公64左2—8

求证：①%+%=

X1X2=7FTI

②xxx2+8+3石+3X2=0；

x+4_石+4

2（其中占,％2片―2）.

%2+2石+2

【答案】（1）｛（2,-1）｝,（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用代入消元法求解即可;

（2）由方程组消元得一元二次方程，结合韦达定理证明即可.

x+V=1

【详解】（1）由方程组《.c，消元得2x—4=0,解得x=2,从而y=l—2=—1,

x-X=3

方程组的解为｛（2,—1）｝.

X"）消元得（4左之+3242九+64左2一8=0（*）,

（2）由方程组

y=Q+4）'

由题意，石,马是此方程（*）的两个不同实根,

211

则A=（3242）-4（4^2+l）（64Z:2-8）＞0,得16/一IvO，即一〈人

-32k264k2-8

①由韦达定理得xt+x2=

64左2一83（—32灯64左2—8+32左2+8—96%2

2+

4k+1+44+14k2+1

③；（％2+4）（玉+2）+（芯+4）（尤2+2）=2[%尤2+3（玉+x?）+8]=2x0=0,

々+4再+4

•玉+2w0,%+2w0,

入2+2$+2

19.证明:

(1)“a>4”是“％2一以+4=o有两个不相等实数根”的充分不必要条件；

(2)设集合4={%|04尤<1},对集合A中的每一个x,不等式辰-加伯1均成立的一个必要不充分条

件为aWb+L

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用充分条件与必要条件的概念，结合方程的判别式证明；

(2)利用充分条件与必要条件的概念，结合特值法证明.

【小问1详解】

炉―公+4=0有两个不相等实数根OA="2—4x4>0Oa<-4或a>4.

'%>4”可以推出“°<-4或0>4",“a<-4或a>4”不能推出"a>4”,

所以“a>4”是“/一6+4=o有两个不相等实数根”的充分不必要条件.

【小问2详解】

若对集合人={]|0斗41}中的每一个天，不等式辰—而归1均成立，

令x=l得|。一441,-l<a—b<l,b-l<a<b+l,从而成立.

若a〈Z?+l,取a=-l3=1,则辰一芯|VI可化为卜+/区1,

当x=l时，满足0<x<l,但,+/|=2>1,即不等式辰—对41不成立.

综上，设集合A={x|0<x〈l},对集合A中的每一个x,不等式|依-历[«1均成立的一个必要不充分

条件为aWb+1.

20.已知A=(q,%,%,4)为实数数组，定义集合

+a

P[A)=[al,a2,a3,a4,al+4,。2+a4,^+a2+03,/+/+。4，卬+。23+/｝，给定正整数

m,若{1,2,…，相—l,m}cP（A）,则称A为相一连续生成数组.

（1）判断3=（0,2,1,4）是否为5-连续生成数组？是否为6-连续生成数组？说明理由；

⑵若。=（0,1,。,2）为6-连续生成数组，求。的值，并说明理由；

（3）数组4=（%,4，/，4）是否为10-连续生成数组？说明理由.

【答案】（1）3=（0,2,1,4）是5-连续生成数组，不是6-