贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.过点且斜率为的直线的点斜式方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故选：2.直线：与：的交点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】联立方程组解得，故与的交点坐标为.故选：A.3.已知向量，，若，则（）A. B.4 C.或1 D.4或【答案】C【解析】因为，所以，解得或1．故选：C.4.若直线：与：平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以解得，则：与：之间的距离．故选：D.5.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】对于因为，故三个向量共面；对于假设，，共面，则，使得，故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；对于,，故三个向量共面；对于，故三个向量共面，故选：6.若直线：经过第四象限，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若，则方程为，不经过第四象限．若，则的方程为，经过第四象限．若且，将的方程转化为，因为经过第四象限，所以或,解得或或．综上知，的取值范围为，故选：7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接、，依题意可得，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则，得，取，得，易得与共线的一个向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．故选：A.8.已知为直线上的一点，则的最小值为（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】如图，为点到原点和到点的距离之和，即．设关于直线对称的点为，则得，即．易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（）A.在方向上的投影向量为B.在方向上的投影向量为C.在方向上的投影向量为D.在方向上的投影向量为【答案】ACD【解析】因为平面，平面，所以，又底面为矩形，所以，如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则,所以，则在方向上的投影向量为，故A正确；又，所以在方向上的投影向量为，故B不正确；又，，所以所以在方向上的投影向量为，故C正确；又，所以在方向上的投影向量为，故D正确．故选：ACD．10.直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．对于B选项，当时，符合题意，B正确．对于C选项，当或时，符合题意，C正确．对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．故选：11.若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】BCD【解析】若，则解得．若，则解得．由解得即与的交点坐标为，若过点，则，解得．故选：BCD．12.在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由题意得.设坐标为，若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为，故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________．【答案】【解析】点关于轴对称的点的坐标为．14.已知，，三点在同一条直线上，则________．【答案】【解析】因为，，三点在同一条直线上，所以，即，解得．15.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________．【答案】【解析】因为，所以,又二面角的平面角大小为，四边形，均为边长为4的正方形，所以，，，所以，则．16.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________．【答案】【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．由题可知，直线的方程为，直线的方程为．设，其中，则，，则，，四边形的面积．当时，取得最大值．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点．（1）若与直线：垂直，求的方程；（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．解：（1）由题可知，的斜率为，设的斜率为，因为，所以，则，又经过点，所以的方程为，即；（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，将代入解析式得，解得，故的方程为，若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，由，得，故的方程为，综上，的方程为或.18.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．（1）设，，，用表示；（2）若，求．解：（1）如图所示，连接，可得，因为为的中点，则，所以，所以.（2）因为，所以，因为平面，平面，且平面,平面，所以，又因为，所以，所以.19.如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）连接．因为底面是菱形，所以．因为，分别为，的中点，所以，则平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由，，得，，，，则，，，故直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）知．设平面的法向量为，贝，解得，令，得，故，点到平面的距离为.20.在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，．（1）求点的坐标；（2）求等腰梯形的面积．解：（1）因为，所以．又，所以直线的方程为，即．设，由，得，解得或．当时，，不符合题意，当时，与不平行，符合题意，故点的坐标为．（2），，点到直线：的距离，故等腰梯形的面积．21.如图,在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）取的中点，连接，．因为是的中点，所以，．又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，．设，得，则，．因为，所以，解得，从而，，．设平面的法向量为，则令，得,设平面的法向量为，则令，得,,故平面与平面的夹角的余弦值为.22.已知的三个顶点是，，．（1）过点的直线与边相交于点