生活中的轴对称 教材讲练-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破（原卷版）

专题01生活中的轴对称教材同步讲练

知识点11轴对称图形及轴对称性质

1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条.

2、两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，

这条直线叫做这两个图形的对称轴.

3、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线

段相等，对应角相等.

注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点.

类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角.

例1.（2021•黑龙江哈尔滨市•八年级期末）下列说法正确的是（）

A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形

B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形

C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形

D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形

变式1.（2021•无锡市八年级月考）下列说法正确的是（）

A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形

B.全等三角形一定关于某条直线对称

C.两图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于对称轴的两侧

D.有一条公共边的两个全等三角形关于公共边的所在的直线对称

例2.（2021•沙坪坝区•重庆南开中学九年级月考）下列平面图形是轴对称图形的是（）

变式2.（2021•黑龙江哈尔滨市•八年级期末）下列图案中，是轴对称图形的是（)

b4^c。

A.

变式3.（2021•江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上

述性质的是（）

A.212B.444C.535D.808

例3.（2021北京市八年级期中）下列说法中正确的是（）

①对称轴上没有对称点；②如果AA8C与关于直线上对称，那么S■c=S“B，c，；③如果线段48=49,

直线工垂直平分N4,则N8和49关于直线Z对称；④射线不是轴对称图形.

A.②B.①④C.②④D.②③

变式4.（2021•四川石室初中八年级期中）如图，AABC与AAB，。关于直线MN对称，P为MN上任一点

（A、P、A，不共线），下列结论中错误的是（）

A.AAAP是等腰三角形B.MN垂直平分AA，、CC

C.AABC与AABC，面积相等D.直线AB,AB，的交点不一定在直线MN上

例4.（2021•四川广安市•八年级期末）如图,已知"BC与YABC关于直线I对称，NB=110。,44'=25°,

则NC的度数为（）

A.25°B.45°C.70°D.110°

变式5.（2021•江苏八年级专题练习）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线

对称，乙4BE=90。，则/厂的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

变式6.（2021•江苏南通市•九年级一模）如图，在用2UC5中，ZBAC=90°,AD上BC,垂足为。，LABD

与及4。夕关于直线4。对称，点5的对称点是点戌，若N5NC=14。，则N5的度数为（）

B

A.38°B.48°C.50°D.52°

知识点12利用轴对称作图

1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直

平分线，这条直线就是它的对称轴.

2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤

方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的

对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形.

例1.（2021•吴江市八年级月考）如图是一个经过改造的规则为4x7的台球桌面示意图，图中四个角上的

阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），

那么球最后将落入的球袋是（）

1号袋4号袋

2号袋3号袋

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

变式1.（2021•河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击

球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

变式2.（2021•湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（)

例2.（2021•福建厦门市•八年级期中）如图，已知△4BC和直线小，画出与△/5C关于直线机对称的图形

（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）

C.D.

例3.（2021•河北秦皇岛市•九年级一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2

中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个

位置是（)

----------------1

②|

I---①----------------------

____1^1

I_④___

图1图2

A.①B.②C.③D.④

变式4.（2021•广东九年级其他模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他

将其中四个小正方形涂成灰色的情形.若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线

对称图形，则此小正方形的位置为何？（）.

第

第

第

第

三

四

一

二

行

行

行

行

---1

►►►

第一列f

第二列一

第三列f

第四列f

A.第一列第四行B.第二列第一行C.第三列第三行D.第四列第一行

变式5.（2021•石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在3x3的正方形网格中，格线的交点称为格点,

以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的A/BC为格点三角形，在图中与A/BC成轴对称的格点

三角形可以画出（）

C

AB

A.1个B.2个C.3个D.3个以上

例4.(2021•河北廊坊市•八年级期末)在正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，格点(网格线的交点)

A,2的坐标分别为(0,2),(—2,—1).利用线段48分别在图1、图2、图3中按要求画出A/BC,并写

出点。的坐标.(1)A/BC的对称轴是J轴；(2)A/BC的对称轴是过点8且平行于坐标轴的直线，

并写出点。的坐标；(3)A/BC的对称轴是过点B但不平行于坐标轴的直线，且点。落在丁轴右侧的格

点上.

变式6.(2021•云南大理白族自治州•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，AA5C各顶点的坐标分别

为：A(4,0),B(1,4),C(3,1).(1)在图中作使A4'5'C'和AA8C关于x轴对称；

(2)写出点9,。的坐标；(3)求AA5C的面积.

变式7.（2020•佛山市顺德区北港镇碧江中学八年级月考）如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网

3的坐标分别是4（3,1）,B（2,3）

（1）请在图中画出A/OB关于J轴的对称△405',点/'的坐标为，点8'的坐标为.

（2）请写出/点关X轴的对称点/〃坐标为.

知识点13轴对称的应用（最短路径）

基本问题：在直线/上找一点尸，使得其到直线异侧两点2、8的距离之和最小.

变式1：在直线/上找一点尸，使得其到直线同侧两点2、8的距离之和最小.

变式2：直线加、〃交于尸是两直线间的一点，在直线加、〃上分别找一点/、3,使得△尸48的周

长最短.

A*

•B

A.

•B

例1.（2021•山东德州市•八年级期末）如图，在4/台。中，AB=6,BC=7,/C=4,直线加是A/BC

中5C边的垂直平分线，P是直线加上的一动点，则△4PC的周长的最小值为

m

P

B

变式1.（2021•山东滨州市•八年级期末）如图，在中，ZACB=90°-D5=30°>AC=6,P为

BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为.

例2.（2020•绵阳期末）如图，在四边形/BCD中，ZC=70°,/B=ND=90°,E、尸分别是BC、DC

上的点，当△，昉的周长最小时，NEN尸的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

变式2（2020•长白县期末）如图，N/O3=a,点尸是内的一定点，点M、N分别在03上移

动，当的周长最小时，的值为（）

A.90°+aB.90°片aC.180°-aD.180°-2a

例3.（2021•湖北八年级期末）如图，A/BC的顶点A,B,。都在小正方形的顶点上，利用网格线按

下列要求画图.（1）画△44G，使它与A/BC关于直线/成轴对称；

（2）在直线/上找一点尸，使点P到点A,点8的距离之和最短；

（3）在直线/上找一点。，使点0到边/C,5C的距离相等.

变式3.（2021•河南驻马店市•八年级期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1,格点三

角形45C（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（-5,5）,（-2,3）.

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出A/BC关于歹轴对称的△4与3；

（3）请在x轴上求作一点尸，使△尸片。的周长最小（保留作图痕迹，不写作法）.

例4.（2021•广西贵港市•八年级期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图,

已知点P在N8/C内，分别在48、ZC边上求作点E和点E,使APEE的周长最小.

变式4.（2022•颍泉区期中）如图，点P是/内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到CM,再

到。瓦最后返回到点P.请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法.）

知识点14等腰三角形性质及判定

1、等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底

的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角.特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形.

2、等腰三角形性质

（1）等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”.

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）.

注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴.

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）.

4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：（1）有三条对称轴；（2）

每个内角都等于60°,三条边都相等.

判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有两个角等于60。的三角形是等边三角形；

（3）有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形.

例1.（2021•香坊区八年级期末）等腰三角形的周长为13c〃?，其中一边长为3c〃z.则该等腰三角形的底长为

（）

A.3cm或5B.3cm或7cmC.3cmD.5cm

变式1.（2021•桦甸市八年级期末）等腰三角形的两边长分别是4c机和9c〃?，则它的周长是（）

A.17cmB.22cmC.17c%或22。加D.无法确定

例2.（2021•宁波市海曙区初二期末）若中刚好有/8=2/C,则称此三角形为“可爱三角形”，并

且//称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应

该是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72°D.36。或72。或45。

变式2.（2021•哈尔滨初二月考）在A/BC中，4D是NBAC的平分线，且48=ZC+CD,若NBAC=81。,

则ZABC的大小为.

例3.（2021•成都市•初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若

变式3.（2020•湖南永定•八年级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图

所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在。点

相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若/BDE=78。，则/AOB等于—度.

例4.（2021•曹县八年级期中）如图，正方形的网格中，点2是小正方形的顶点，如果C点是小正方

形的顶点，且使△NBC是等腰三角形，则点C的个数为（）

变式4.（2020•海口市第十四中学初二月考）如图，在AABC中，ZABC=60°,ZC=45°,AD是BC边上

的高，/ABC的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形（）

BDC

A.2个B.3个C.4个D.5个

例5.（2020•广东揭阳•初二期末）如图，A/BC中，AB=AC,。是中点，下列结论中不正确的是

（）.

A.ZB=ZCB.ADLBCC.2。平分/B/CD.AB=2BD

变式5.（2021•广东高州•初二月考）等腰三角形底边长为6,周长为16,则三角形的面积为（）

A.30B.25C.24D.12

例6.（2021•渝水区八年级期中）如图，点。，E在的边8C上，BD=AD=DE=AE=CE.

（1）求/D4E的度数；（2）求证：是等腰三角形.

BFC

变式6.（2021•南海区八年级期末）如图，在中，AB=AC,点、D、E、/分别在BC、/C边上,

且BE=CF,BD=CE.（1）求证：△£）£下是等腰三角形；（2）当//=40°时，求NDEF的度数.

例7.（2021•福山区初二期末）在下列结论中：

（1）有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形；

（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；

（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；

（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

变式7.（2021•辽宁铁岭•八年级期末）如图，E是等边A48c中NC边上的点，Zl=Z2,BE=CD,则A4DE

A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定

变式8.（2021•无锡市八年级期中）如图，等边AABC的边长为8cm,点P从点C出发，以1cm/秒的速度

由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M,当点Q

到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若/AMQ=60。时，贝！11的值是（）

例8.（2021•香洲区八年级期中）如图，是等边A/BC的一条中线，若在边NC上取一点E,使得/£

=40,则/助C的度数为（）

BD

A.30°B.20°C.25°D.15°

变式9.（2021•长沙八年级期中）如图，直线/〃加，等边△A8C的顶点3在直线m上，边与直线机所

夹锐角为18°,则Na的度数为（）

m

B

A.60°B.42°C.36°D.30°

例9.（2021•南宁八年级期末）如图，△/BC是边长为2的等边三角形，点尸在上，过点P作展，

AC,垂足为£,延长5C到点。，使。。=力，连接尸。交ZC于点。，则QE的长为（）

A.0.5B.0.9C.1D.1.25

变式10.（2021•西乡县八年级期末）如图，在等边△ABC中，BD平分/4BC交4c于点D,过点。作DE

LBC于点E,且CE=1.5,则的长为（）

D.7.5

例10.（2021•赫章县八年级期末）如图，△ZBC为等边三角形，AE=CD,AD、BE相交于点P,BQA.AD

于点。，PQ=3,PE=1.（1）求证：AD=BE；（2）求的长.

RDC

变式11.（2021•海珠区八年级期中）如图，在△NBC中，BA=BC,BDLAC,延长至E,恰好使得C£

=CD,BD=DE.（1）求：/£的度数；（2）求证：ZUBC为等边三角形.

知识点15线段垂直平分线

1、线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

2、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

3、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来.

4、作图已知：线段Z2.求作：N3的垂直平分线.作法：（1）分别以点Z和8为圆心，以大于工48

2

的长为半径作弧，两弧相交于点C和。.（2）作直线CD.直线CD就是线段Z5的垂直平分线.

例1.（2021•河北保定市•八年级期末）A/BC内一点尸到三边距离相等，则点尸一定是A/BC（）

A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三条高的交点D.三条中线的交点

变式1.（2021•河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与/、B、C三名同

学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜.如果将48、。三名同学所在位置看作A/BC的三

个顶点，那么凳子应该放在A/BC的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点

例2.（2021•河北保定市•八年级期末）如图，在AZBC中，8c的垂直平分线分别交/C,3c于点。，E,

若“5C的周长为16,BE=3,则△48。的周长为（）

A.6B.10C.12D.20

变式2.（2021♦全国九年级专题练习）如图，在ZUBC中，AB=6,4C=8,5C=11,45的垂直平分线分

别交45,5C于点。、E,4C的垂直平分线分别交4C,5C于点足G,贝！的周长为.

例3.（2021•辽宁九年级二模）如图，在放△45。中，/。=90。,/8=22。,尸。垂直平分4—垂足为。，交

5c于点尸.按以下步骤作图：以点4为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边4C,AB于点、D,£；分

别以点。，£为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点歹；作射线4凡射线//与直线尸。相

交于点G,则ZAGQ的度数为度.

变式3.（2021•四川成都铁路中学八年级期中）已知：△/2C是三边都不相等的三角形，点P是三个内角

平分线的交点，点。是三边垂直平分线的交点，当尸、。同时在不等边△NBC的内部时，那么/3OC和/

BPC的数量关系是.

BC

例4.（2021•山东济南市•七年级期末）如图，在A/BC中，/A4c=120。，分别作/C,两边的垂直平

分线£仪、PN,垂足分别是点M、N.以下说法正确的是（填序号）.

①/尸=60。；®ZEAF=ZB+ZC；③PE=PF；④点尸到点8和点。的距离相等.

变式4.（2021•内蒙古中考真题）如图，在小A/BC中，44cs=90。，根据尺规作图的痕迹，判断以下结

论错误的是（）

A.ZBDE=NBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

例5.（2021•北京房山区•八年级期末）已知等边三角形45C.如图，

（1）分别以点48为圆心，大于448的长为半径作弧，两弧相交于N两点；

2

（2）作直线跖V交22于点。；

（3）分别以点/,。为圆心，大于』48的长为半径作弧，两弧相交于〃，上两点；

2

（4）作直线皿交/C于点E；（5）直线跖V与直线应相交于点。；

（6）连接。4,OB,OC.根据以上作图过程及所作图形，下列结论：

①OC=2OD；②AB=204；③OA=OB=OC；®ZDOE=120°,正确的是.

变式5.（2021•广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求

娱乐站到三个村/、B.C的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图

痕迹）

掰寸

4村

.用

知识点16角平分线

1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图，已知。。平分CDLOA,CELOB,则CD=CE.

3、利用尺规，作//05的平分线.

求作：射线。C,使=

作法：（1）在。4和。上分别截取0E,使。。=。£.

（2）分别以£»,E为圆心、以大于工。£的长为半径作弧，两弧在N408内交于点C.

2

（3）作射线0C.就是N49B的平分线.

例1.（2021•泰兴市八年级期末）如图，⑷是A43C的角平分线，DE1AB,垂足为£,A45c的面积

为60,N8=16,8c=14,则DE的长等于.

变式1.（2021•黑龙江省八年级期末）如图，AD是△/BC中/A4c的角平分线，于点£,SMBC

=7,DE=2,AB=4,则NC长是（）

A.6B.5C.4D.3

A

例2.（2021•吉林龙潭•八年级期末）如图，在尺必/3。中，ZACB=90°,/A4c=30。，NNC3的平分线与

//8C的外角的平分线交于£点，连接/£,则NNEC的度数是（）

变式2.（上海市浦东新区多校联考20212022学年八年级上学期期末质量检测数学试题）如图，在A/BC中,

^ABC=52°,三角形的两个外角4D/C和44CF的平分线交于点E.则/4BE=.

例3.（2021•余杭区八年级月考）如图，A48c中，NABC、NE/C的角平分线BP、4P交于点尸，延长

BA,BC,PM1BE,PNLBF,则下列结论中正确的是.（填序号）

①C尸平分N/CF；②N/8C+2NAPC=180°；®ZACB=2ZAPB；®S^AC=+S^CP.

BF

CN

变式3.（2021•保定八年级期末）如图，在A48c中，N48C和N/C3的角平分线相交于点。，过点。做

EF//BC交AB于点、E,交/C于点尸，过点。作。。1/C于点D,下列四个结论：

®EF=BE+CF；②点。到A42c各边的距离相等；（3）ZBOC=90°+-ZA；④设加，AE+AF=n,

2

贝1%昉.其中结论正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

例4.（2021•广东省八年级期末）如图，△NBC的三边N3,