2024-2025学年湖南省长沙市某中学大联考高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年湖南师大附中大联考高三(上)月考

数学试卷(一)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知4={x\x2+x—6<0},B={x|lg(x-1)<0},则4C8=()

A.{x|-3<x<2}B.{x|-3<x<2]C,{x|l<%<2}D.{x\l<x<2}

2.若复数z满足z(l+i)=—3+i(i是虚数单位)，则|z|等于()

3.已知平面向量Z=(5,0),石=(2,-1),则向量五+9在向量刃上的投影向量为()

A.(6,-3)B.(4,-2)C.(2,-1)D.(5,0)

4.记方为等差数列{斯}的前ri项和，若a3+a9=14,a6a7=63,则S7=()

A.21B.19C.12D.42

5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格.阅卷结果显示，全年级1200名学

生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49,标准差为22,则该

次数学考试及格的人数约为()附：若X〜NW，/),记p®=P^-ka<X<fi+ka),则

p(0.75)«0.547,p(l)-0.683.

A.136人B.272人C.328人D.820人

6.6知G(0;y),cos(a—0)=-,tana-tanp=4,则a+0=()

乙o

717T7T271

A.6ByC，3D-

7.已知%,尸2是双曲线:一\=l(a>0)的左、右焦点，以尸2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐

近线交于48两点，若3MBi>尸1&|，则双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,争B.(1,嗜C.(1,A/2)D.(l,4)

8.已知函数f。)={歌'葭/’0,若关于％的方程八/⑼=0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是

()

A.(0,1)B.(一8,0)u(0,1)C,[1,+8)D.(0,1)U(1,+oo)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.如图，在正方体4BCD-4止1射。中，E,F,M,N分别为棱的中点，点P是面近(：的中心，则

下列结论正确的是()

A.E,F,M,P四点共面

B.平面PE尸被正方体截得的截面是等腰梯形

C.EF〃平面PMN

D.平面MEF1平面PMN

10.已知函数/'(久)=、"cos(2x+苧)，则()

A"(x)的一个对称中心为仁兀,0)

B"(x)的图象向右平移节个单位长度后得到的是奇函数的图象

C.f(x)在区间售图上单调递增

D,若y=f(x)在区间(0即)上与y=1有且只有6个交点，则me俘，字］

11.己知定义在R上的偶函数/'(久)和奇函数g(x)满足/'(2+x)+g(-久)=1,贝(1()

A.f(x)的图象关于点(2,1)对称B.f(x)是以8为周期的周期函数

C.g(2024)=0D.近学/(轨―2)=2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(x+3y—1)6的展开式中/丫的系数为.

13.已知函数/(%)是定义域为R的奇函数,当x>0时，>2/(%),且f(l)=0,则不等式f(久)>0的

解集为.

14.已知点C为扇形40B的弧4B上任意一点，且乙4。8=60°,若无=4耐+〃砺(尢〃GR),则2+〃的取

值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

△4BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,已知2a+6=2ccosB.

(1)求角C;

(2)若角C的平分线CD交AB于点D,AD=3声，DB=声，求CD的长.

16.(本小题12分)

1

已知X="为函数/(久)=久。)刀的极值点.

(1)求a的值;

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(2)设函数g(x)=》，若对VX1e(0,+8),3X2eR,使得/'(>>1)-9(犯)20,求k的取值范围.

17.(本小题12分)

已知四棱锥P-ABCD中，平面P4B1底面4BCD,AD//BC,AB1BC,PA=PB=与AB,

AB=BC=2AD,E为4B的中点，F为棱PC上异于P,C的点.

P

(1)证明：BD1EF；

(2)试确定点尸的位置，使EF与平面PCD所成角的余弦值为等.

18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线Cl：y2=2px(p＞0)的焦点到准线的距离等于椭圆。2：炉+16f=1的

短轴长，点P在抛物线3上，圆E：0-2)2+*=产(其中0＜「＜1).

(1)若r=1,Q为圆E上的动点，求线段PQ长度的最小值；

(2)设。(l,t)是抛物线Ci上位于第一象限的一点，过D作圆E的两条切线，分别交抛物线Q于点M,M证明：

直线MN经过定点.

19.(本小题12分)

入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天.某景区为给顾客

更好的体验，推出了a和8两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择a和B两个

套餐之一，下表是该景区在购票平台io天销售优惠券情况.

日期t12345678910

销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

经计算可得：片鉴巴％=2.2,第1切=118.73,£巴t”385.

(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减

少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程(精确到0.01),并估计第10天的正常销量；

(2)假设每位顾客选择4套餐的概率为看选择B套餐的概率为看其中4套餐包含一张优惠券，B套餐包含两

张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为P”求Pn；

(3)记(2)中所得概率「九的值构成数列{Pn}(n6N*).

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①求数列｛Pn｝的最值；

②数列收敛的定义：己知数列｛即｝,若对于任意给定的正数£,总存在正整数No,使得当n>No时，\an

-a\<£,（a是一个确定的实数），则称数列｛斯｝收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列｛P.｝收敛.回归方程y

=a+6久中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

,^=iXiyt-nx-y~~

b=---------------sr-,a=y—bx.

£之1蜡—nx

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参考答案

1.D

2.C

3.X

4.2

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BD

11.ABC

12.-180

13.(-l,0)U(l,+8)

阴

15.解:⑴由2a+b=2ccosB,

根据正弦定理可得2si7h4+sinB=2sinCcosB,

则2s讥(B+C)+sinB=2sinCcosB,

所以2si?iBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcosB,整理得(2cosC+l)sinB=0,

因为SC均为三角形内角，所以8Ce(O.TT),sinBHO,

因此cosC=所以角C=多；

(2)因为CD是角C的平分线，AD=3椁，DB二声,

所以在△4CD和△BCD中，由正弦定理可得，器|=晶，境/=益，

因止匕s'”,=4号=3,即sinB=3sinA,所以6-3a,

sinADU

又由余弦定理可得=a2+b2—2abcosC,即(4JF)2=a2+9a2+3a2,

解得Q=4,所以匕=12,

ABC=S^ACD+$△BCD，

111

即5absin/ACB=-b-CD-sinZ.ACD+-a-CD-sinZ.BCD,

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即48=16。。，所以CD=3.

16.解：(1)((%)=+xa-^=xa~r(aIn%+1),%>0,

由=$7(。岫+1)=。，得a=1,

当a=1时，/'(%)=In%+1,

当Xe(0,5)时，r(x)<0,

1

当久e(-,+8)时，f，(x)>0,

所以函数在(o,今上单调递减，在e+8)上单调递增，

1

所以％=工为函数/(%)=din%的极小值点，

所以。=1；

(2)由(1)知/Q)疝„=/(6=—《

函数g(%)的导函数g'(%)=/c(i-%)e-x,

①若k>0,当久vl时，“(%)>0,g(%)在(一8,1)上单调递增，

当%>1时,“(%)<0,g(%)在(1,+8)上单调递减，

1

对6('0,+oo),K3%2=-7，

111

使得0(%2)=9(-工)=一”<一1〈一下〈/。1)，即f(%i)-g(%2)之。，符合题意;

②若k=0,g(%)=0,取%1="1,对V%2ER，有/(%i)-g(%2)V。，不符题意;

③若k<0时，当久VI时，g'(%)<0,g(%)在(一8,1)上单调递减，

当%>1时，“(%)>0,g(%)在(1,+8)上单调递增,

所以g(x)min=g(l)=->

若对V%1€(0,+00),3%2eR,使得/'(久1)-9。2)N0,

只需g(X)?nin</(X)?nin，即《《一!，解得卜《一1；

综上所述，女的取值范围为(一8,-1]U(0,+8).

17.解：(1)如图，连接PE,EC,EC交BD于点、G.

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p

因为平面P4B1平面4BCD,平面PABC平面2BCD=AB,PEu平面P4B,

所以PE1平面4BCD,

因为BDu平面力BCD,所以PE1BD.

直角三角形48。中，AB=2AD,直角三角形8CE中，BC=2BE,

S.AD=BE,AB=BC,

所以△BCE,

所以Z_CE8=4B£M,所以NCEB+^ABD=90。，

所以BD1EC,

因为PECiEC=E,PE,ECu平面PEC,

所以8。_L平面PEC.

因为EFu平面PEC,所以BD1EF.

(2)如图，取。。的中点H,以E为坐标原点，分别以EB,EH,EP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

F

y

A

c

x

不妨设4B=2,贝UBC=2,AD=1,PA=PB=①

则P(0,0,l),C(l,2,0),£>(-1,1,0),E(0,0,0),

设FQ,y,z),~PF=APC(0<2<1),

所以(久,y,z-l)=4(1,2,-1),

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所以x=4,y=22,z=1-A,gpF(Z,2Z,l-A).

则反=(2,1,0),PC=(1,2-1),EF=(A,2A,1~A),

设平面PC。的法向量为方=(a,6,c),贝I

修益二;，即匕2(r取帚=(1,—2,—3),

设EF与平面PCD所成的角为仇

由cos8得sin8=创叵.

1414

所以sine=|cos(m,£T)|=昂得

_______4」—3+34|_________3vs

=V14X7^+4^2+(i^F=

整理得6健一2；1=0,

因为0<2<1,所以4=、即而=界，

故当F位于棱PC靠近P的三等分点时，EF与平面PCD所成角的余弦值为0.

18.解：⑴由题意得椭圆的方程：%2+5=1,所以b=J.

16一

所以p=2b=2x1=1,所以抛物线Ci的方程是y2=x.

4Z

设点P«2,t),贝IJPQI2|PE|_»&2_2)2+

所以当t2=^时，线段PQ长度取最小值与1.

(2)0(1©是抛物线的上位于第一象限的点，

t2=1,且t>0,0(1,1)；

设M(Q2"),N(扭力)，

则直线MN：y-a=程1。一。2),

即y—a=+4久一层),BP%—(a+b)y+ab=0,

直线DM：y-1§Px-(a+l)y+a=0,

由直线DM与圆相切得J1界1Tl户=r,

BP(r2—l)a2+(2r2—4)a+(2r2-4)=0,

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同理,由直线DN与圆相切得(*—1)按+(2/-4)b+(2r2-4)=0,

所以a,b是方程(丁2一1)%2+(272一4)%+(2/-4)=0的两个解，

.1_4—2丁2_2r2-4

a+b=r2-i，"=r2-1,

代入方程%-(a+b)y+ab=。得(％+2y+2)r2+(—%—4y—4)=0,

.0+2y+2=0=0

..1%+4y+4=0，用牛付［y=-1-

・•・直线MN恒过定点(0,-1).

19廨：(1)剔除第10天数据后的(y)新=2.2X、-。.4=2.4,(6新=1+2B+9=5,(乎=巡防

)新=118.73-10X0.4=114.73,(空川的新=385-102=285,

114.73-9X5X2.4673

所以b=285-9x526000