第22章 一元二次方程 综合检测

第22章一元二次方程综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共24分)1.(2023河南安阳林州太行国际学校月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x+y=1 B.y=1+x2 C.x2-1=0 D.x-1x2.(2023山西临汾期中)我们在解一元二次方程(x+1)2-9=0时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到(x+1+3)(x+1-3)=0，再把它转化为两个一元一次方程，即x+1+3=0或x+1-3=0，进而解得x1=-4，x2=2，这种解方程的过程体现出来的数学思想是()A.抽象思想 B.数形结合思想 C.公理化思想 D.转化思想3.(2023四川乐山外国语学校月考)小明解方程12x2-2xA.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步4.(2023河南开封祥符期中)全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”的主题教育学习活动，某市革命纪念馆成为重要的活动基地，据了解，今年6月份该基地接待参观人数10万人，8月份接待参观人数增加到12.1万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为x，则下面所列方程正确的是()A.10(1+x)2=12.1 B.12.1(1-x)2=10C.12.1(1-2x)=10 D.10(1+2x)=12.15.(2023山西晋城陵川期中)已知x=m是关于x的一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m-n的最小值为()A.4 B.134 C.-154 6.如果关于x的方程kx2-2k+1x+1=0有实数根，那么A.k<12 B.k≤12且k≠0 C.-12≤k≤12 D.-12≤k7.(2023四川攀枝花米易期中)定义运算：a□b=a(1-b).若a，b是关x的方程x2-x+14m=0(m<0)的两根，则b□b-a□aA.0 B.1 C.2 D.与m有关8.(2023福建泉州培元中学期中)欧几里得在《几何原本》中记载了用“图解法”解方程x2+ax=b2的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程x2+2x-4=0的一个正根，如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出AD、BC的中点E、F，再沿过点C的直线折叠，使线段BC落在线段EC上，点B的对应点为点N，折痕为CM，点M在边AB上，连结MN、EM，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+2x-4=0的一个正根，则这条线段是()A.线段EM B.线段CM C.线段BM D.线段AM二、填空题(每小题4分，共20分)9.(2022四川资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则2a2+4a的值是.

10.(2023四川遂宁射洪中学教育联盟期中)三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是.

11.(2023海南师范大学附中月考)以-2为一根且二次项系数是1的一元二次方程可写为

(写一个即可).

12.(2023山西太原杏花岭期中)我们知道一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若规定一个新数“i”，使其满足i2=-1，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则i+i2+i3+…+i2021的值是.

13.(2023山西运城万荣月考)点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是x1，点B对应的数是x2，AB=1，且x1，x2是方程x2-4x+k=0的两根，则k的值为.

三、解答题(共56分)14.(9分)(2023福建漳州实验中学月考)选择合适的方法解下列方程：(1)x2-49=0； (2)2x2+6x-8=0； (3)x2+2x-1=0.15.(7分)(2023河南南阳社旗期中)解方程：100(1-x)2=81.(1)你选用的解法是.

(2)直接写出该方程的解是.

(3)请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100(1-x)2=81”来解决.16.(8分)(2023湖南衡阳九中期中)关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根x1，x2满足x12+x2217.(10分)(2023四川眉山洪雅实验中学月考)试说明无论m，n为何值，代数式m2+n2-8m+4n+20的值总是非负数，并求出当m，n取何值时，这个代数式的值最小.18.(10分)(2023河南南阳宛城月考)我区某店销售某品牌置物架，平时每天平均可售出20个，每个盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店在“双十一”期间采取了降价促销措施，在每个盈利不少于27元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若每个降价3元，则平均每天的销售量为件.

(2)当每个置物架降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元?19.(12分)(2021福建厦门九中期中)(12分)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点.(1)若关于x的一元二次方程为x2-2(m-1)x+m2-2m=0.①求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；②直线l1：y=x+5与x轴交于点A，直线l2过点B(1，0)，且l1与l2相交于点C(-1，4)，若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；(2)是否存在b，c，使得无论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+3(2-k)上?若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由.

第22章一元二次方程综合检测答案全解全析1.Cx+y=1是二元一次方程，不是一元二次方程；y=1+x2，含有两个未知数，不是一元二次方程；x-1x=1是分式方程，不是一元二次方程.故选C2.D这种解法体现的数学思想是转化思想.3.C∵12x2-2x-1=0，∴x2-4x-2=0，∴x2-4x=2，则x2-4x+4=2+4，即(x-2)2=6，∴x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6，∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步4.A根据今年8月份该基地接待参观人数=今年6月份该基地接待参观人数×(1+这两个月参观人数的月平均增长率)2，即可列出方程为10(1+x)2=12.1.5.D依题意把x=m代入方程得m2+2m+n-3=0，整理得n=-m2-2m+3，则m-n=m+m2+2m-3=m+322-214.因为m+322≥0，所以m+326.C本题易想当然地认为方程kx2-2k+1x分情况求解如下：(1)当k≠0时，方程为一元二次方程，所以2k+1≥0,(−2k+1)2−4k≥0,(2)当k=0时，方程为-x+1=0，有实数根.综上所述，k的取值范围是-12≤k≤17.A(解法一)：[一般代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a+b=1，∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.(解法二)：[整体代入法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m<0)的两根，∴a+b=1.∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-b2)+(b-a)=(a+b)(a-b)-(a-b(a-b)(a+b-1)=0.(解法三)：[方程变形法]∵a，b是方程x2-x+14m=0(m∴a2-a=-14m，b2-b=-14∴b□b-a□a=b(1-b)-a(1-a)=-(b2-b)+(a2-a)=14m-14m8.C设BM=m，则AM=2-m，由题意可知△BCM≌△NCM，E是AD的中点，∴MN=BM=m，DE=AE=1，MN⊥CE，∴CE=DE2+CD2=5，∵S正方形ABCD=S△BCM+S△AEM+S△∴2×2=12×2×m+12×1×(2-m)+12×1×2+12×5×m，∴m=5-1.∵x2+2x-4=0的正根为x=59.6解析∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，∴a2+2a-3=0，∴a2+2a=3，∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6.10.13解析x2-6x+8=0，(x-2)(x-4)=0，∴x-2=0或x-4=0，∴x1=2，x2=4.因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4，故这个三角形的周长=3+6+4=13.11.答案不唯一，如x2+4x+4=0解析答案不唯一，如∵一元二次方程的二次项系数为1，且一个根为-2，∴方程为(x+2)(x+m)=0，令m=2，则方程为(x+2)(x+2)=0，即x2+4x+4=0.12.i解析由题意得i1=i，i2=-1，i3=i2·i=(-1)·i=-i，i4=(i2)2=(-1)2=1，i5=i4·i=i，i6=i5·i=-1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，∵2021÷4=505……1，∴i+i2+i3+i4+…+i2021=i.13.15解析本题将一元二次方程根与系数的关系融入数轴中考查.∵AB=1，∴|x1-x2|=1，∴(x1-x2)2=1，∵x1，x2是方程x2-4x+k=0的两根，∴x1+x2=-ba=4，x1x2=ca=∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4k，∴42-4k=1，∴16-4k=1，∴k=15414.解析(1)x2-49=0，x2=49，∴x=±7，∴x1=7，x2=-7.(2)2x2+6x-8=0，x2+3x-4=0，∴(x+4)(x-1)=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=1，x2=-4.(3)∵a=1，b=2，c=-1，∴Δ=b2-4ac=2-4×1×(-1)=6>0，∴x=−2±62×1=−2±62，即x115.解析(1)直接开平方法.(2)x1=0.1，x2=1.9.(3)答案不唯一，如：某种药品的原价是100元/盒，经过两次降价后的单价是81元，那么平均每次降价的百分率是多少?16.解析(1)∵关于x的一元二次方程x2-2x-m+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，∴Δ=(-2)2-4(-m+2)=4m-4>0，∴m>1.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∵x1+x2=2，x1x∴22-2(-m+2)=10，解得m=5.17.证明m2+n2-8m+4n+20=m2-8m+16+n2+4n+4=(m-4)2+(n+2)2.∵(m-4)2≥0，(n+2)2≥0，∴(m-4)2+(n+2)2≥0，∴无论m，n为何值，代数式m2+n2-8m+4n+20的值总是非负数.当m-4=0，n+2=0，即m=4，n=-2时，这个代数式的值最小.18.解析(1)依题意可知，若每降价3元，则平均每天的销售量为20+2×3=26(件).(2)设每个置物架降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20.∵要求每个盈利不少于27元，∴x=10.答：当每个置物架降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.19.解析(1)①证明：∵x2-2(m-1)x+m2-2m=0，∴Δ=[-2(m-1)]2-4(m2-2m)=4>0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.由x2-2(m-1)x+m2-2m=0解得x1=m-2，x2=m，∴方程x2-2(m