2024-2025学年甘肃省兰州某中学高三（上）诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州一中高三(上)诊断数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设全集0={1,234,5},集合M满足={2,4},则()

A.1£MB.4£MC.5GMD.3gM

2.“(久一+必三4”是“/+y231”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量2=(1,2),b=(2,-2),c=(1,2),若31(2N+E),则实数4=()

A.2BjC.-jD.-2

4.若复数Z满足(2+3i)Z=产024+&2。25,则复数£在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知函数y=/(乃的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是()

6.若a=0.7°，3,b=log2a,c=log070.3,贝!|()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

7.已知数列{5}的通项公式为与二层+几九，且数列{/J为递增数列，则实数2的取值范围是()

A.(-00,-3)B.(-oo,-2)C.(-2,+oo)D.(-3,+oo)

8.已知双曲线E：真一，=l(a>0,6>0)的右焦点为F,过点尸作直线/与渐近线人-即=0垂直，垂足

为点P,延长PF交E于点。若丽=3而，则E的离心率为()

A.fB.fC.1D./2

343

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在下列函数中，最小值是2的是()

A.y=x+-B.y=Vx2—1+,；]

C.y=%G（2,-]D.y=%2-4%+6

10.已知zn,几是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若7nla,mln,贝Un〃a

B.1a,nip,al/7,贝Um1九

C.若仇〃/7,m//a9n///?,则m〃九

D.若。〃，，m1a,nl^,则zn〃n

11.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍

物后也遵从反射定律.如图，有一张长方形球台ZBCD,其中2。=看48,现从角落4沿角a（初始击球方向

与48间的夹角）的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，贝Utana的值为（）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若命题“mxeR,92-1）久2+9-1）久一120”为假命题，贝b的取值范围是

13.若圆G：尤2+y2一4%+3=0与圆。2；（%+2）2+（y+3）2=小有且仅有一条公切线，则m=

14.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个

球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所

标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题12分）

在团ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且炉+c?-a?=24,S@ABC=12.

（1）求tan71；

（2）若。在边BC上且BD=2DC,AC=2^5,求AD的长.

16.（本小题12分）

已知函数/'(久)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=-x2+2x.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=f(x)+m在R上有三个零点，求m的取值范围.

17.(本小题12分)

已知在四棱锥P—HBCD中，P21平面4BCD,四边形48CD是直角梯形，AD//BC,ADLDC,若P4=

AD=2,DC=2d2,点M为PD的中点，点N为PC的四等分点(靠近点P).

(1)求证：平面4MN_L平面PCD；

(2)求点P到平面2MN的距离.

18.(本小题12分)

甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框

中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获

胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为:，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

4

(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；

(2)求甲获得冠军的概率.

19.(本小题12分)

已知抛物线E：y=%2,过点T(l,2)的直线与E交于4B两点，设E在点力，B处的切线分别为％和%，人与%

的交点为P.

(1)若点4的坐标为(一1,1),求小04B的面积(。为坐标原点)；

(2)证明：点P在定直线上.

参考答案

l.c

2.5

3.D

4.0

5.C

6.A

1.D

8.B

9.BCD

1Q.BD

11.RC

X1工36

1

4.3-

15.解：（1）

22

因为廿+c-a=24,SBABC=12,

22

所以+c-a=2ShABC=bcsinA.

所以———.......=-sin>l,得2cos/=sinA即tan/=2.

2bc2

（2）

因为tanZ=2,

（sin__?

所以「osA一解得sinZ=±

^sin2A+cos2A=1

因为tanA=2>0,且人为三角形的内角，所以sin4=1^,cos/=餐,

又因为|bcsinA=：*2V-5cx=12,所以c=6.

因为BD=2DC,r.AD+|ZC.

所以而2=6荏+l^2=6荏）2+（|硝2+2g|^Qg罔）cos4

匚匚2丁小“，80,16164

所以4D=4+—+—=—,

所以2。=空

16.解：(1)令x＜0,则一比＞0,又/(尤)是定义在R上的奇函数,

所以可得/(x)--/(—x)——[―(-x)2+2(-x)]-x2+2%.

又/(0)=0,

故函数/O)的解析式为/O)=厅二2久，久10，

(2)根据题意作出/(x)的图象如下图所示：

/(-1)=-1,/(1)=1,

若函数g(x)=f(x)+zn在R上有三个零点，即方程/(£)+m=。有三个不等的实数根，

所以函数/(X)与y=-有三个不同的交点，

由图可知当—1＜一小＜1,即-1＜巾＜1时，函数/(久)与y=-爪有三个不同的交点，即函数g(x)有三个

零点.

故机的取值范围是

17J?：(1)证明：在四棱锥P—A8CD中，P4_L平面ABC。，CDu平面48CD,

贝l|PA1CD,又2D1CD,

因为P4nAD=a,PA,4。u平面PAO,所以CD1平面PAD,

因为2Mu平面PAD,所以2M1C。，

因为4P=4D,点M为PD中点，所以4M1PD,

因为CDnPD=D,CD,PCu平面PCD,

所以4M_L平面PCD,

因为4Mu平面4MN,所以平面4MN_1_平面2。。；

(2)由(1)知CD_L平面PAD,又PDu平面PAD,贝!!CD1PD,

因为P214。，PA=4。=2,DC=2＜2,点M为PD的中点，

所以PD=272,PM=y[2,PC=<PD2+CD2=/8T8=4,

因为点N为PC的四等分点（靠近点P）,

所以PN=1,

因为PD=CD,CD1PD,所以NCPM=45。，

所以由余弦定理得：

MN=VPN2+PM2-2PN-PMcos45°=J1+2-2X1X<2X=1,

所以PN?+MN2=PM2,所以PN1MN,

因为力M_L平面PCD,所以力MlMN,

设点P到平面4MN的距离为九，

111

11九

-XXX--X-XX

所以三棱锥P-4MN的体积/TMN=VA_PMNn4x232

所以h=1.

18.解：（1）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示,

36

甲冠军

乙

其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者

i”，负者称为“负者i”，

第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为三而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性

相同.

乙获连负两场，所以1、4均负，

所以乙获连负两场的概率为P==

（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：

1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，

所以甲获得冠军的概率为：P=G）3+2x给3x5=胃.

19.解：(1)直线的斜率七二件八二，

直线4B的方程为y-1=1(%+1),即久一2y+3=0,

联立方程『一2,+3=。,

(y=x

整理得2%2一%一3=0,

设/(%1，好)，8(%2,好)，