大学物理学（第二版）课件：气体动理论

气体动理论

本章内容10.1物质的微观模型统计规律性10.2理想气体的压强10.3温度的微观解释10.4能量均分定理理想气体的内能10.5麦克斯韦速率分布律10.6气体分子的平均碰撞频率和平均自由程10.7热力学第二定律的统计意义1.了解气体分子热运动的图像2.理解理想气体的压强公式和温度公式,了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。3.了解自由度概念，理解能量均分定理，会计算理想气体的定体摩尔热容、定压摩尔热容和内能。4.了解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。了解气体分子热运动的三种统计速度。5.了解气体分子平均碰撞次数和平均自由程。基本要求6.了解热力学第二定律的统计意义。10.1物质的微观模型统计规律性10.1.1物质的微观模型1.

宏观物体是由大量微观微粒——分子(或原子)组成★.分子之间存在一定的空隙

①1cm3的空气中包含有2.7×1019

个分子

②水和酒精的混合

★.

组成宏观物质的分子数是巨大的2.

组成物质的分子(或原子)在不停地运动着，这种运动是无规则的，其剧烈程度与物体的温度有关①

布朗运动

②气体、液体、固体的扩散

3.

分子(或原子)之间存在相互作用力如：铅柱重新接合、流体很难压缩分子力f与分子间距离r的关系分子力f与分子之间的距离r有关存在一个r0——平衡位置r=r0≈10-10m时，分子力为零r<r0分子力表现在排斥力r>r0分子力表现在吸引力吸引力——固、液体聚集在一起排斥力——固、液体较难压缩10.1.2

统计规律在一定的条件下，大量的偶然事件存在着一种必然的规律性，这种规律性称为统计规律。气体分子热运动服从统计规律。⑶.研究统计规律性的一个著名实验是伽尔顿板实验

⑴.统计规律⑵.几率（概率）定义：一定条件下，某个偶然事件出现可能性的大小。伽尔顿顿板实验演示(4).统计规律的特点:①只对大量偶然的事件才有意义②它是不同于个体规律的整体规律③总是伴随着涨落链接布朗运动演示实验链接掷骰子(3)宏观与微观的关系：微观粒子的热运动与系统的各种宏观热现象之间存在着内在的联系。宏观量等于微观量的统计平均值。宏观量与微观量(1)宏观现象与宏观量：宏观现象即一个系统所表现出来的各种物理性质以及这些性质的变化规律。描述一个系统宏观性质的物理量称为宏观量。例：p、V、T、E、C等。(2)微观运动与微观量：微观运动即系统内部的微观粒子的热运动。描述微观粒子热运动的物理量称为微观量。例：m、v、

等。1110.2理想气体的压强10.2.1理想气体的微观模型

对单个分子的力学性质的假设

理想气体分子本身的线度可以忽略不计

除了碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容器壁之间的相互作用力可以忽略不计

分子之间以及分子与容器器壁之间的碰撞都是完全弹性碰撞

处于平衡态下的理想气体的统计假设每一分子在容器中任意位置出现的概率都是相等的分子沿各个方向运动的概率都相同

压强是大量分子对容器壁发生碰撞，从而对容器壁产生冲力的宏观效果。10.2.2

理想气体压强公式1.气体压强产生原理单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。单个分子多个分子平均效果气体压强产生原理压强是大量分子对容器壁发生碰撞，从而对容器壁产生冲力的宏观效果。xzyA1A2vivixviyviz2.理想气体压强公式的推导▲单个分子对器壁的作用力边长为x,y,z的长方形容器，含有N个同类气体分子，每个分子质量为m。考虑第i个分子，其速度为：第i个分子与器壁碰撞后，在x轴上的动量由mvix变为-mvix，x轴上的动量的增量为：

在单位时间内，第i个分子作用在A1面的总冲量为由牛顿第二定律得第i分子对容器壁的作用力为▲大量分子对器壁的作用力第i个分子往返A1面和A2面的时间为统计平均的概念：等概率原理：▲理想气体的压强所以分子的平均平动动能10.2.3压强公式的统计意义及微观本质理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均平动动能；理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系；理想气体的压强公式是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。或19

设一个分子的质量为m，质量为m’的理想气体的分子数为N，1摩尔气体的质量为M，则m’=Nm,M=NAm。代入理想气体的物态方程10.3

温度的微观解释10.3.1

温度公式及微观解释n=N/V

分子数密度k=R/NA=1.38×10-23J·K-1称为玻耳斯曼常量温度的微观本质：理想气体的温度是分子平均平动动能的量度反映了宏观量T

与微观量之间的关系①T∝与气体性质无关；温度是大量分子无规则运动的集体表现，单个分子的温度无意义。温度的实质：分子热运动剧烈程度的宏观表现温度平衡过程就是能量平衡过程温度公式2110.3.2

方均根速率根据理想气体分子的平均平动动能得到理想气体分子的方均根速率

表示大量气体分子速率平方的平均值的平方根，称为气体分子的方均根速率，它表示气体分子微观量的统计平均值。上式表明，气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，而与气体分子质量或摩尔质量的平方根成反比。例1:一容器内贮有氧气，压强为p=1.013×105Pa，温度t=27℃，求（1）单位体积内的分子数；（2）氧分子的质量；（3）分子的平均平动动能。

解：（1）由p=nkT得（2）根据摩尔质量和分子质量之间的关系得

（3）分子的平均平动动能为

例2：利用理想气体的温度公式说明Dalton分压定律。

解：容器内不同气体的温度相同，分子的平均平动动能也相同，即

又分子数密度满足：

故压强为：

结论：容器中混合气体的压强等于在同样温度、体积条件下组成混合气体的各成分单独存在时的分压强之和。这就是Dalton分压定律。10.4

能量均分定理理想气体的内能10.4.1

自由度

1.坐标自由度（i）：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。⑴.质点的自由度直线运动x

,

一个自由度:i=1平面运动x,y

,

两个自由度:i=2空间运动x,y,z

,

三个自由度:i=3⑵.自由刚体的自由度一个坐标q决定刚体转过的角度i=6

两个角度a，b决定转轴空间位置三个独立的坐标x,y,z决定转轴上一点xyzOxyzA(x,y,z)abq2.能量自由度（i）：分子平均能量表达式中独立的速度和坐标的二次方项的数目。（1）单原子分子组成的理想气体，单原子分子可以当作质点对待，只具有平动动能，没有转动和振动能量

t=3,

r=0,

v=0i=t+r+v=3（2）刚性双原子分子气体，即分子中两个原子之间的距离固定不变，只有整体平动和转动，绕x轴的转动惯量近似为零，没有振动t=3,

r=2,

v=0i=t+r+v=5（3）非刚性双原子分子气体，其分子运动比刚性双原子分子多了一个沿x轴方向的振动i=t+r+v=7t=3,

r=2,

v=2一个单原子分子的平均能量为10.4.2

能量均分定理根据统计等几率假设,有推广：在温度为T的平衡态下，分子的每一个自由度上也具有相同的平均能量，大小为kT/2。说明：统计规律，只适用于大量分子组成的系统。对于处于温度T的热平衡态下的物质系统（固、液、气），分子的每一个自由度都具有相同的能量，其值为kT/2，称为能量按自由度均分定理简称能量均分定理。一个系统内分子热运动能量的总和称为系统的内能。系统的内能包括系统内所有分子的动能和势能。10.4.3

理想气体的内能分子的自由度为i，则一个分子平均能量为ikT/2，1摩尔理想气体内能m/M摩尔理想气体内能说明：理想气体的内能与温度、分子数和分子的自由度有关。理想气体内能仅是温度的函数，即E=E(T)。理想气体从T1→T2,不论经过什么过程，内能变化为总结几个容易混淆的慨念分子的平均平动动能分子的平均动能理想气体内能单位体积内气体分子的平动动能单位体积内气体分子的动能例10.4.2当温度为0℃时，分别求氦、氢、氧气体各1mol的内能。温度升高1K时，内能各增加多少？（双原子分子视为刚性分子）解单原子气体分子有三个自由度，双原子气体分子有五个自由度。1mol理想气体的内能为当温度为0℃，即273K时，1mol理想气体的内能分别为氦原子气体氢、氧双原子分子气体由知，当温度升高1K时，内能增量为氦原子气体氢、氧双原子分子气体例10.4.3

某刚性双原子理想气体，处于0℃。试求：⑴分子平均平动动能；⑵分子平均转动动能；⑶分子平均动能；⑷分子平均能量；⑸1/2摩尔的该气体内能。解（1）（5）（4）（3）（2）詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，英国物理学家、数学家。科学史上，称牛顿把天上和地上的运动规律统一起来，是实现第一次大综合，麦克斯韦把电、光统一起来，是实现第二次大综合，因此，他与牛顿齐名。1873年出版的《电磁通论》，也被尊为继牛顿《自然哲学的数学原理》之后的一部最重要的物理学经典。没有电磁学就没有现代电工学，也就不可能有现代文明。JamesClerkMaxwell

（1831-1879）10.5.1

速率分布函数10.5

麦克斯韦速率分布定律

可以看出，速率在v～v+Δv区间内的分子数ΔN

占总分子数N的百分比为：此式的物理意义：速率在v附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。称为分子速率分布函数。0100200300400v(m/s)0100200300400v(m/s)0100200300400v(m/s)速率分布函数归一化条件

上式称为速率分布函数f(v)的归一化条件。由：0100200300400v(m/s)即表示速率分布在v→v+dv内的分子数占总分子数的概率表示速率分布在v1→v2内的分子数占总分子数的概率宽度为dv

的小窄条面积等于分布在v--v+dv速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N

。麦克斯韦速率分布函数10.5.2

麦克斯韦速率分布律1.麦克斯韦速率分布函数m—气体分子的质量T—热力学温度k—玻耳兹曼常量

麦克斯韦速率分布函数

在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间

v~v+dv的分子数占总分子数的比率为2.麦克斯韦速率分布曲线vPvv+dvv面积=dN/Nf(v)f(vP)如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画出的一条表示麦克斯韦速率分布函数f(v)—v之间关系的曲线，称为气体分子的麦克斯韦速率分布曲线10.5.3三种统计速率得

最概然速率1vp

随T升高而增大，随m增大而减小。m2m1T1T2与f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。由大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。

平均速率2计算：

方均根速率3大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。三种速率的关系T1T2M1M2T2>T1M2>M1同种气体不同温度的速率分布曲线不同气体相同温度的速率分布曲线T2、T1那个高M2、M1那个大f(v)f(v)vv例题：三种速率的意义三者都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。研究分子的碰撞次数研究分子的平均平动动能研究分子的速率分布说明下列各量的物理意义：分布在v~v+dv速率区间内的分子数。分布在v~v+dv

速率区间内的分子数占总分子数的比率。单位体积内分子速率分布在v~v+dv速率区间内的分子数分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分子数的比率。分布在有限速率区间v1~v2内的分子数。分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。例10.5.2

设N个粒子系统的速率分布函数为（V>v>0，k为常数），（v>V）（1）用N和V定出常数k；（2）用V表示出算术平均速率和方均根速率。解（1）（2）例：有N个粒子，其速率分布函数为求：(1)常数a。

(2)速率大于v0

和速率小于v0的粒子数。(1)由归一化条件：解：O因此，v>v0

的分子数为(2N/3)。同理：v<v0

的分子数为(N/3)。(2)

因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数占总分子数的百分比，所以的分子数占总分子数的百分比为O求：(2)速率大于v0

和速率小于v0的粒子数。10.5.4

麦克斯韦速率分布律的实验验证当圆盘以角速度ω转动时，每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过圆盘B到达C的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能通过狭缝S到达探测器D10.6

气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

气体分子平均速率矛盾气体分子热运动平均速率大，但是，气体扩散过程进行得相当慢。气体分子平均速度虽然很大，但前进中要与其它分子作频繁的碰撞，分子运动方向时刻发生改变，所走的路程非常曲折扩散速率(位移/时间)平均速率(路程/时间)一秒钟内一个分子与其它分子碰撞的平均次数，叫做分子的平均碰撞频率

假定碰撞频率一秒钟内一个分子与其它分子连续两次碰撞间自由运动的平均路程做分子的平均自由程

平均自由程简化模型每个分子都是有效直径为d

的刚性小球。只有某一个分子A

以平均速率运动，其余分子都静止。(1)分子为刚性小球.(2)分子有效直径为.(3)其它分子皆静止，某分子以平均速率相对其他分子运动

.A

dddvv在运动方向上，以

d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞，分子数密度为n球心在圆柱体内的分子dt时间内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数一切分子都在运动一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程平均自由程与分子的有效直径的平方及分子数密度成反比当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体氢

氮氧空气例1：计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.1010-10m。已知空气的平均分子量为29。解：空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率空气分子在标准状态下的平均自由程空气分子在标准状态下的平均碰撞频率

解:根据气体分子平均速率公式按公式p=nkT

可知单位体积中分子数为例2

求氢在标准状态下，在1s内分子的平均碰撞次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。得即在标准状态下，在1s

内分子的平均碰撞次数约有80亿次。因此，平均自由程10.7热力学第二定律的统计意义

10.7.1

热力学概率假设A中装有a、b、c、d4个分子（用四种颜色标记）。开始时，4个分子都在A部，抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无规则运动。详细分布（微观态）分布（宏观态）A4B0（宏观态）包含微观态数目1

将分子位置每种具体的分布叫做系统的一个微观状态

将左右两边各有多少个分子（而不管具体是哪些分子）的分布叫做一个宏观状态A3B1（宏观态）包含微观态数目4A2B2（宏观态）包含微观态数目

6A1B3（宏观态）包含微观态数目4A0B4（宏观态）包含微观态数目1

2个格子，4个粒子分布的微观态的构成：每个粒子只能放置在左或右格子中，即每个粒子每次放置都有且只有2种选择，即2×2×2×2=16。所以，总共有24

=16个微观态。A4B0和A0B4,

微观态各为1，几率各为1/16;A3B1和A1B3,微观态各为4，几率各为4/16，A2B2，