专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题32正多边形与圆及弧长和扇形面积

【知识要点】

知识点一正多边形和圆

正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的相关概念：

>正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

>正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

>正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

>正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

半径、边心距，边长之间的关系：

半径2=边心距2+弓边长）2

画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）:

1）量角器

（作法操作复杂，但作图较准确）

等边二角形

方法的述：等边三角影的中心角为120-•通

过角器依次求取120°.炳图.（号:加器）

2）量角器+圆规

（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）

正五边形

方法简述：正〃边膨的中心角为72",通过吊向器

一取7T,通过M烷依次极限等K弧.僧留.

（早例制♦旧规）

3）圆规+直尺

（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…・.）

依照上述方法，还可以画出正十六边形、正三十二边形

知识点二求弧长与扇形面积

设OriaM0的半径为R,兀。圆心角所对弧长为1,

弧长公式：1=黑（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）

2

扇形面积公式：5.^=-TTR=-IR

窈形3602

母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

圆锥体表面积公式：5=71/?2+兀电Q为母线）

备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积

【考查题型】

考查题型一求多边形中心角

典例1.（2020•福建模拟）将下列四个正多边形同时绕中心开始旋转，且旋转角相等，则最先与原图形重

合的是（）

【答案】D

【提示】由于正多边形是旋转中心对称图形，分别求出各个正多边形的中心角底数，比较大小即可得到结

论.

3600360°

【详解】正方形中心角的度数=「一=90。；正五边形中心角的度数=——=72°；正六边形中心角的度数

45

60°360°

­=60°；正八边形中心角的度数kk二45。；

oO

,/450<60°<72°<900,

二最先与原图形重合的是正八边形.

故选：D.

变式1-1.（2020•富顺县一模）正六边形的边长为4,则它的面积为（）

A.486B.246C.60D.126

【答案】B

【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出NAO8的度数及OG的长，再由△0A8的面积即可求

解.

【详解】解：如图，过正六边形中心O作OG_LAB于G

•.•此多边形为正六边形，

360°

ZAOB=--=60°；

6

uQ

：OA=OBfZAOB=60,OG±AB

•••△OA8是等边三角形，ZAOG=-ZAOB=30°

2

：.OA=AB=4f

：.OG=OA・cos300=4x正=2百，

2

1111

・・SAOAB=—xABxOG=yx4x2g=4，

S六边形=6SA38=6X4—24^3

变式1-2.（2020•天津和平区模拟）如图，A8CDEP是中心为原点0,顶点A,。在X轴上，半径为4

的正六边形，则顶点F的坐标为（）

A.(2,2>/3)B.(-2,2)C.(-2,2^)D.(-1,73)

【答案】C

【提示】连接OF,设EF交y轴于G,那么GOF=30°；在RtGOF中，根据30°角的性质求出GF,根

据勾股定理求出OG即可.

【详解】

1am。

在RtOFG中，GOF=-x——=30°.OF=4.

26

GF=2,OG=2y/j.

AF(-2,273).

故选C.

变式1-3.(2020•河北唐山市二模)如图，正五边形A8C3E和正三角形AMN都是口。的内接多边形，若

连接BM，则NMBC的度数是()

A.12°B.15°C.30°D.48°

【答案】A

【提示】

连接BM,OA,OC,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，求出NBOM,从而得到

ZMOC,再根据圆周角定理得出NMBC.

【详解】

解：连接BM,OA,OC,

•••五边形ABCDE是正五边形，

360°.

：.ZAOB=ZBOC-------=72°，

5

•.•△AMN是正三角形，

360°

/.ZAOM=------=120°,

3

ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

ZMOC=ZBOC-ZBOM=72°-48°=24°,

AZMBC=-ZMOC=12°，

2

故选A.

考查题型二已知正多边形中心角求边数

典例2.（2020•江苏南通市模拟）若一个圆内接正多边形的中心角是36。，则这个多边形是（）

A.正五边形B.正八边形C.正十边形D.正十八边形

【答案】C

【提示】

一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360。，用360°除以中心角的度数，就得到中心角的

个数，即多边形的边数.

【详解】

由题意可得：

边数为360°+36°=10.

则这个多边形是正十边形.

故选：C.

3

变式2-1.（2020•福建模拟）一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于一兀，则n的值为

4

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【提示】

先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案.

【详解】

设圆内接正n边形的中心角的度数为X。

x•37r3

由弧长公式得：——

1804

解得*=45

即圆内接正n边形的中心角的度数为45°

故选：B.

考查题型三正多边形与圆

典例3.（2020•四川中考真题）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为mb,

则“，c的大小关系是（）

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形50”,利用三角函数求解边心距，再比较大小即

可.

【详解】解：设圆的半径为七

如图，OB=R,OH=a,OH±BC,

由口ABC为圆。内接正三角形，

ZBOH=6Q°,

则正三角形的边心距为a=7?xCos60°=yR.

如图，四边形ABC。为圆。的内接正方形,

OB=R,OH=b,OH±BC,

ZBOH=45°,

四边形的边心距为6=Rxcos45o=X：心

2

如图，六边形A6C。瓦'为圆。的正内接六边形,

OB=RQH=c,OH±BC,

NBOH=30。,

正六边形的边心距为c=Rxcos30o=也R.

2

♦—K<K<A,

222

：.a<b<c,

故选：A.

变式3-1.（2020・湖北随州市•中考真题）设边长为。的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分

别为力、八R,则下列结论不生颐的是（）

A.h=R+rB.R=2rC.r=-----aD.R=-----a

43

【答案】C

【提示】

将图形标记各点，即可从图中看出长度关系证明A正确，再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确，利

用勾股定理求出厂和R,即可判断C、D.

【详解】

如图所示，标上各点「AO为ROB为rAB为人

从图象可以得出AB=AO+OB即力=R+rA正确

•.•三角形为等边三角形

AZCAO=300□

根据垂径定理可知NACO=90°□

AAO=2OC即R=2rB正确LI

/1

在RtZ\ACO中，利用勾股定理可得AO2=AC2+OC2B|JR2=-a+r2

（2）

由B中关系可得；（2r）2=（ga）+/，解得r=*q则R=

所以C错误，D正确；

故选：C.

变式3-2.（2020•山东德州市•中考真题）如图，圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆，则

A.24万一4万B.126+4万C.246+8万D.24^+4%

【答案】A

【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果.

【详解】解：正六边形的面积为：gx4x2"x6=24",

六个小半圆的面积为：-22x3=V2.7T＞中间大圆的面枳为：4・42=16%，

所以阴影部分的面积为：246+12乃一16乃=2415—4乃，

故选：A.

考查题型四利用弧长公式求弧长、圆心角、半径

典例4.（2020•辽宁沈阳市•中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=6BC=2,以点A为圆心,

AO长为半径画弧交边于点E,连接AE,则师的长为（)

H

*41c2兀一万

A.----B.7CC.—D.—

333

【答案】c

【提示】

先根据矩形的性质可得A。=8C=2,NBA。=ZB=90。，再根据圆的性质可得AE=A。=2,然后利

用余弦三角函数可得NBAE=30。，从而可得ND4E=60。，最后利用弧长公式即可得.

【详解】

•.•四边形ABCD是矩形，AB=6BC=2

：.AD=BC=2,NBAD=/B=90°

由圆的性质得：AE^AD=2

在心/XABE中，cosZBAE=—^

AE2

ZBAE^30°

：.NDAE=NBAD-NBAE=60°

、160XTFX22万

顺E的卜为F-二T

故选：c.

变式4-1.（2020•内蒙古）如图，AB是口。的直径，C。是弦，点C。在直径A3的两侧.若

NAOC:NAOO:NOO5=2:7:11,C£>=4,则长的长为（）

A

B

A.2万B.4万C.也巴D.近兀

2

【答案】D

【提示】

根据ZAOC:ZAOD:ZDOB=2:7:11求:I1,ZCOD的度数，根据CD=4得到半径，运用弧长公式计算

即可.

【详解】

ZAOD:ZDOB=7:11,ZAOD+ZDOB=180°,

7

ZA0D=180°x—=70°,

18

又ZAOC:ZAOD=2:7,

ZAOC=20°,

ZCOD=90°,

又C£)=4,

.a=nx兀xOD_90xx2g

180-180

故答案选D.

变式4-2.（2020•江苏苏州市•九年级二模）一个扇形的圆心角为120。，扇形的弧长等于4%,则该扇形的面

积等于（）

A.2乃B.4万C.12万D.24乃

【答案】C

【提示】根据弧长公式/=工，代入求出r的值，即可得到结论.

180

【详解】解：由题意得，钿=粤二

180

解得:r=6,

1,“

S=-X6x4^=127t.

2

故选：C.

变式4-3.（2020•黑龙江哈尔滨市模拟）若扇形的圆心角是150°，且面积是24（）乃c加2,则此扇形的弧长是

（）

A.1QncmB.204cmC.30^cmD.407rcm

【答案】B

【提示】

先根据S用甲把工求出该扇形的半径R,然后再根据乐即可求得弧长/.

3602

【详解】

£)2呼解得E

解：由——,n=l50°,可得240"=

360

又由5用彩=一东可得240“=-Ix24,解得/=2（hc.

22

故答案为B.

变式4-4.（2020•辽宁盘锦市一模）一个扇形的弧长是兀，半径是2,则此扇形的圆心角的度数是（）

A.80°B.90°C.100°D.120°

【答案】B

【提示】

HTTr

直接由弧长公式/，结合题意可得出扇形圆心角的度数.

180

【详解】

解：弧长是n,半径是2,

2兀n

：.71=-----

180

解得：〃=90°

故选：B.

变式4-5.（2020•扬州二模）如图，将等边AABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的泥，长度不

变，AB、BC的长度也不变，则NABC的度数大小由60。变为（）

、180

6090120(——)°

A.(—)0B.(——)°C.(——)°D.

7171兀

【答案】D

【提示】

设NABC的度数为n,根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可.

【详解】

解：设二ABC的度数大小由60变为n,

...A—n兀'AB.4一

则AC=-----------，由AAC=AB,

180

解图

71

故选D.

变式4-5.（2020・广西中考真题）如图,已知的半径为5,所对的弦长为8,点尸是卷的中点，将

&绕点4逆时针旋转90°后得到彳）,则在该旋转过程中，点尸的运动路径长是（）

B.有兀D.2兀

2

【答案】B

【提示】

根据已知卷的半径为5,所对的弦AB长为8,点P是疝的中点，利用垂径定理可得AC=4,PO1AB,

再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长.

【详解】

如图，设⑪的圆心为0,连接0P交AB于C,连接0A,AP,AB]AP：

,••圆0半径为5,所对的弦AB长为8,点P是⑪的中点，

根据垂径定理，得

AC=^AB=4,P01AB,

2

0C=’前一3=3,

...PC=0P-0C=5-3=2,

,AP=VAC2+PC2=25

将⑪绕点A逆时针旋转90。后得到彷，

...NPAP'=NBAB'=90°,

.-90乃x2召—后

・・LTppf-----------------V5兀.

180

则在该旋转过程中，点P的运动路径长是逐几

故选：B.

考查题型五扇形面积的相关计算

典例5.（2020•江苏南通市•中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm）,则这个几何体

的侧面积为（）

A.48兀夕层B.24兀C.12ncm2D.9Tlem2

【答案】B

【提示】

先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,然后利用扇形的面积公式计

算这个圆锥的侧面积.

【详解】

解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8,底面圆的直径为6,

所以这个几何体的侧面积=~乂66><8=24兀（cm2）.

故选：B.

变式5-1.（2020•江苏泰州市•中考真题）如图，半径为10的扇形AOB中，NAOB=90。，C为上一

点,COLOA,CE1OS,垂足分别为。、E.若NCOE为36°,则图中阴影部分的面积为（）

A.10万B.9乃C.8万D.6兀

【答案】A

【提示】

本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC

面积求解本题.

【详解】

连接OC交DE为F点，如下图所示:

由己知得：四边形DCEO为矩形.

VZCDE=36°,且FD=FO,

ZFOD=ZFDO=54°,ADCE面积等于△DCO面积.

S阴影二S扇形AO8—S扇形人oc叱-I%。*

360360

故选：A.

A

变式5-2.（2020・湖北咸宁市•中考真题）如图，在。0中，。4=2,ZC=45°,则图中阴影部分的面积

为（）

0A

B.TT—y/2D.7t—2

【答案】D

【提示】

根据圆周角定理得出NAOB=90°,再利用S用彩=S^OAB-SAOAB算出结果.

【详解】

解：VZC=45°,

二ZAOB=90°,

VOA=OB=2,

二SBJS!；=SMiOAB-SAOAB=9°：_一J_x2x2=乃一2,

3602

故选D.

变式5-3.（2020•山东日照市•中考真题）如图，43是。。的直径，CD为。。的弦，4BLCD于耳E,若

CD=6y/3,AE=9,则阴影部分的面积为（）

E

AB

D

A.6K-|A/3B.12n-973C.3兀-\有D.96

【答案】A

【提示】

根据垂径定理得出CE=DE=gcD=36,再利用勾股定理求得半径，根据锐角-:角函数关系得出

ZEOD=60°,进而结合扇形面积求出答案.

【详解】

解：是③。的直径，CD为。。的弦，4B_LCD于点E,

：.CE=DE=—CD=3d^,

27

设。O的半径为匕

在直角AOEQ中，OD2=OE2+DE2,即r=（9一厂）2+（36）2,

解得，r=6,

：・OE=3,

：.NEOD=60。,

S扇形BOD=石4x36=6万，SRTOED=—x3x3y/3=—,

根据圆的对称性可得：

9r

S阴影=6万一万。3,

变式5-4.（2020・西藏中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，ODJ_AC,垂足为D,

延长OD与半圆O交于点E.若AB=8,NCAB=30。，则图中阴影部分的面积为（）

A.土兀一不B.-7T-2y[3C.-7t-y/3D.号万-26

3333

【答案】D

【提示】

根据垂径定理得到卷=e，AD=CD,解直角三角形得到0D=±0A=2,AD=^OA=2JJ,根据扇

22

形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：V0D1AC,

AZADO=90°,AE=CE，AD=CD,

,.,ZCAB=30°,OA=4,

•,.OD=—OA=2,AD=BOA=?5

22

.,.图中阴影部分的面积=S*般AOE-SAADO=~—-12有、2=二—2/

36023

故选：D.

变式5-5.（2020•宁夏中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，NC=90°,AC=，以点C为圆心

画弧与斜边AB相切于点。，交AC于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是（）

【答案】A

【提示】

连接CD,并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减

去扇形的面积即可得到阴影部分的面积.

【详解】

连接CD,如图，

A

TAB是圆C的切线，

.\CD1AB,

「△ABC是等腰直角三角形，

1

・・・CD=—AB,

2

AC=BC,

・・・AB=2,

ACD=1,

•••S阴影:S&\BC-S扇形瓦/=|义显义应一"D=1--J

2Jou4

故选：A.

考查题型六圆锥侧面积的相关计算

典例6.（2020•湖南中考真题）一个圆锥的底面半径尸=10,高人=20,则这个圆锥的侧面积是（）

A.100石兀B.2006兀C.100小nD.200逃兀

【答案】C

【提示】

先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.

【详解】

解：这个圆锥的母线长="102+2（）2=10小.

这个圆锥的侧面积=［乂2/10）＜104'=100乔兀.

故选：C.

变式6-1.（2020•山东东营市•中考真题）用一个半径为3,面积为3万的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不

计损耗），则圆锥的底面半径为（）

A.7tB.InC.2D.1

【答案】D

【提示】

根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和

扇形面积公式得到y•2兀「3=3兀，然后解方程即可.

【详解】

解：根据题意得~・2兀▽3=3兀，

解得尸1.

故选：D.

变式6-2.（2020•青海中考真题）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆

锥，则这个圆锥的底面半径是（）

A.3.6B.1.8C.3D.6

【答案】A

【提示】

先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径.

【详解】

由图知:阴影部分的圆心角的度数为：360°-252°=108°

..„108乃,1236万

阴影部分的弧长为：--------=——

1805

设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则2乃一=—1，即「=二=3.6

故选：A.

变式6-3.（2020•山东聊城市•中