第04讲一元二次函数（方程不等式）

第04讲一元二次函数（方程，不等式）(精讲+精练基础）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）高频考点二：一元二次不等式解法（含参）高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系高频考点四：一元二次不等式恒成立问题角度一：上恒成立（优选法）角度二：上有解（优选法）角度三：上恒成立（优选分离变量法）角度四：上有解（优选分离变量法）角度五：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）高频考点五：一元二次不等式的应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲一元二次函数（方程，不等式）（精练基础）第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().2、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、单绝对值不等式（1）（2）第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（多选）（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（

）A．a>4 B． C． D．【答案】AD由，则，要使在上恒成立，则，所以，根据题意可得所求对应得集合是的真子集，根据选项AD符合题意．故选：AD．2．（2022·山西运城·高一期末）不等式的解集为，则的取值范围是_________.【答案】[0,1)##0≤k＜1①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意；②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得；综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.【答案】0由题意，得：，且，2是方程的两根，则，，解得，，则.故答案为：0.4．（2021·北京市育英中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】不等式的解集为所以2和4是方程的两个根，由韦达定理得：，所以，，且为，同除以得：解得：故答案为：5．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）解不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)(1)可得，∴∴该不等式解集为；(2)原不等式，∴，∴该不等式解集为；第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））求下列不等式的解集：(1)；(2).【答案】(1)(2)(1)不等式等价于，解得.∴不等式的解集为.(2)不等式等价于，解得或.∴不等式的解集为.例题2．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)或；(2).(1)由，可得，∴，解得或，所以原不等式的解集为或.(2)由可得，，∴，解得，所以原不等式的解集为.例题3．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）解下列关于的不等式；(1)；(2).【答案】(1)(2)(1)解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为；(2)解：不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为.题型归类练1．（2022·广西·高二期末（文））解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)(1)由题，即，解得或，即；(2)由题，解得或，即2．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)或(6)或(1)由题意，令，故解得：不等式解集为(2)由题意，对应的二次函数开口向上，且故恒成立，解集为(3)由题意，对应的二次函数开口向上，故恒成立，故不等式的解集为(4)由题意，故故不等式的解集为(5)由题意，令，故故不等式的解为或即不等式的解集为或(6)由题意，令解得或故不等式的解集为或3．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)由可得，即，解得所以不等式的解集为(2)由，可得，即解得或所以的解集为高频考点二：一元二次不等式解法（含参）一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；如两根分别为：，，讨论时从开始讨论③根是否在定义域内：如此时两根，，讨论时注意（舍去）例题1．（2022·全国·高三专题练习），．解关于x的不等式：．【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．（2）由得，①当时，解集为，②当时，解集为，③当时，解集为．例题2．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）若，.求关于的不等式的解集.【答案】①当时，不等式的解为，解集为当时，分解因式的根为，.②当时，，不等式的解为或；解集为.③当时，，不等式的解为；解集为.④当时，，不等式的解为；等式的解集为.⑤当时，原不等式为，不等式的解集为.综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.题型归类练1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知函数，.求关于的不等式的解集.【答案】由得：方程的根为或①当时，，不等式的解集是②当时，，不等式的解集是③当时，，不等式的解集是综上，①当时，不等式的解集是②当时，不等式的解集是③当时，不等式的解集是2．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式原不等式等价于(1)当时，解集为(2)当时，原不等式可化为，因为，所以解集为(3)当时，，解集为(4)当时，原不等式等价于，即，解集为(5)当时，，解集为综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系例题1．（2022·全国·高一期末）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.【答案】##由题意可知方程的两根为，1，所以，解得则不等式即为，其解集为：.故答案为：.例题2．（2022·北京西城·高一期末）若不等式的解集为，则______，______．【答案】

由题设，是的根，∴，即，.故答案为：，.题型归类练1．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】A由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.2．（2022·全国·高一）不等式的解集是或，则的值是（

）A．14 B．0 C． D．【答案】D解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，∴一元二次方程2x2+mx+n＝0的两个根为3，﹣2．由根与系数关系得，解得：m＝﹣2，n＝﹣12．所以.故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A根据原不等式可以推出，因为不等式的解集为或，所以，是方程的两根，且，所以.故选:A4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若不等式的解集为，则________．【答案】11由题意得：2与3是方程的两个根，则，，所以.故答案为：11高频考点四：一元二次不等式恒成立问题角度一：上恒成立（优选法）二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）例题1．（2022·上海·格致中学高一期末）若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】不等式对一切实数x恒成立，，解得：故答案为：.例题2．（2022·上海·高三专题练习）当为何值时，不等式，对一切实数都成立．【答案】.当时，即时，原不等式为5对一切实数恒成．若，要使恒成立，则且，∴，则．综上，时，原不等式对一切实数都成立题型归类练1．（2022·湖南·高一课时练习）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A因为不等式的解集为所以，解得，所以的取值范围是，故选：A.3．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）不等式的解集为R，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D当时，不等式化为，解集为，符合题意.当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.综上所述，的取值范围是.故选：D4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.【答案】当时，，满足题意；当时，则，即，解得：，综上：.故答案为：角度二：上有解（优选法）二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】A因为关于的不等式在上有解，即在上有解，只需的图象与轴有公共点，所以，即，所以，解得：，所以实数的取值范围是，故选：A.例题2．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一阶段练习）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是A． B． C． D．【答案】B因为的解集非空,显然成立，由,综上，的解集非空的充要条件为.，所以选B．题型归类练1．（2022·重庆市渝北中学校高一阶段练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为___________.【答案】因为命题“，”是真命题，则，解得.故答案为：.2．（2022·广西玉林·高二期中（理））已知命题“，使”是真命题，则实数a的取值范围是___________.【答案】或依题意：“，使”是真命题，所以，解得或.故答案为：或3．（2022·新疆·皮山县高级中学高一阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.【答案】不等式有解等价于有解，所以，故或，填.角度三：上恒成立（优选分离变量法）例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).【答案】，，则，令，则在上单调递增，，，即的取值范围为.故答案为：.例题2．（2022·全国·高三专题练习）对，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对，若不等式恒成立，则，因为，所以.故选：C.题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D∵对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立，∵，∴，∴实数的取值范围是.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若，关于的不等式恒成立，则实数的最大值是______．【答案】6若，关于的不等式恒成立，可得对恒成立，由，当且仅当时，取得等号．所以的最小值为6，所以，即的最大值为6．故答案为：6．3．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】由题意，当时，恒成立，等价于当时，恒成立，进一步等价于，等价于，设，，由勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，又当时，当时，，，故答案为：．4．（2022·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】所以恒成立，即在恒成立，所以且，又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.角度四：上有解（优选分离变量法）例题1．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A不等式等价于存在，使成立，即设当时，所以.故选：A例题2．（2022·湖北·沙市中学高一期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A题型归类练1．（2022·上海·高三专题练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B解：关于的不等式在内有解，等价于在内，令，因为抛物线的对称轴为，所以当时，取最大值，所以，故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A解：关于的不等式在区间，上有解，在，上有解，即在，上成立；设函数，，，在，上是单调减函数，又，所以的值域为，，要在，上有解，则，即实数的取值范围为．故选：．3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B因为不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，则，所以，所以实数的取值范围是故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）不等式在区间上有解，则a的取值范围是________．【答案】不等式在区间上有解设，易知单调递减故答案为角度五：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）例题1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是_________.【答案】不等式化为：，令，则时，恒成立，所以只需，即，所以的范围是，故答案为：.例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））对于的任意，不等式恒成立，则的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.则⇒⇒即x<－1或x>3.故答案为(－∞，－1)∪(3，＋∞)题型归类练1．（2020·江苏·高一单元测试）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】A，对恒成立，或，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）对于任意函数的值恒大于零,那么的取值范围是()A．(1,3) B．(∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2) D．(3,+∞)【答案】Bf(x)=x2+(a4)x+42a=(x2)a+x24x+4,令g(a)=(x2)a+x24x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.高频考点五：一元二次不等式的应用例题1．（2022·湖南·高一课时练习）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间【答案】C设销售价定为每件元,利润为则依题意,得即,解得所以每件销售价应定为12元到16元之间故选:C例题2．（2022·上海金山·高一期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数.(1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？(2)若时，求该公司市场占有率的最大值.【答案】(1)至少需要亿元；(2).(1)解：当时，，由，可得，解得，即每年的研发经费至少需要亿元.(2)解：当时，，当且仅当时，等号成立，因此，若时，该公司市场占有率的最大值为.题型归类练1．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？【答案】.由题意可得：，解得：.2．（2022·河南·郑州市第七中学高二期末（理））经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）(2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；(2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.(1)解：，（千辆/小时），当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.(2)解：据题意有，即，即，解得，所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.第四部分：高考真题感悟第四部分：高考真题感悟1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

） B． C． D．【答案】A结合图像易知，不等式的解集，故选：A.2．（2019·天津·高考真题（文））设，使不等式成立的的取值范围为__________.【答案】，即，即，故的取值范围是．第第五部分：第04讲一元二次函数（方程，不等式）（精练基础）一、单选题1．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B，故.故选：B.2．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则，即，解得故选：B3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A因为恒成立所以恒成立恒成立恒成立故解之得：故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）“”是“，”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A，，则，解得.因为，所以“”是“，”成立的充分不必要条件.故选：A5．（2022·全国·高一期末）若的解集是，则等于（

）A．14 B．6 C．6 D．14【答案】A∵的解集为，∴5和2为方程的两根，∴有，解得，∴.故选：A.6．（2022·广东广州·高一期末）关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A由题意可得，且1，是方程的两根，为方程的根，，则不等式可化为，即，不等式的解集为．故选:A．7．（2022·广西河池·高二期末（理））已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C由题设，开口向下且对称轴为，∴要使任意，恒有，则，∴，解得.故选：C.8．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为，故选：D.9．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A由题意，可得，即，当时，，所以在上恒成立，只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，则，实数