微积分 第3版 课件 7第五节 多元函数的极值

7.5.1无条件极值7.5多元函数的极值则称点P0为函数的极大值点(或极小值点),称为函数的极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为函数的极值点,如果对于该邻域内异于P0的任意一点P,都有设多元函数在点P0的某邻域内有定义,

简单函数的极值是容易判断的.在(0,0)点取极小值

(也是最小值).在(0,0)点取极大值

(也是最大值).在(0,0)点无极值.旋转抛物面下半锥面马鞍面例函数例函数例函数证定理7.6(极值存在的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:都有必有类似地可证不妨设处有极大值,有说明一元函数处有极大值,设函数具有偏导数,且在点处有极值,推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为点,均称为函数的驻点.极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的如何判定一个驻点是否为极值点?如,点的驻点,但不是极值点.注:驻点定理7.7(极值存在的充分条件)且有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,时,有极大值,时,有极小值;(2)无极值;(3)可能有极值,也可能无极值.设函数的某邻域内连续,又令说明：但z(0,0)=0为极小值,在(0,0)点处均有对于函数与而u(0,0)=0不是极值.求函数极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A、B、C.再判定是否是极值.第三步:定出的符号,例1求函数的极值.解令又在(0,0)处,

在(1,1)处,

故故在(0,0)无极值;在

(1,1)有极小值,得驻点解方程两边分别对x,y求偏导数,得得驻点方程组两边再分别对x,y求偏导数,练习求由方程令确定的函数的极值.故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以,所以,取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点.如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处在点(0,0)处的偏导数注:还应研究偏导数不存在的点.并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值:对自变量有附加条件的极值.7.5.2条件极值拉格朗日乘数法解例2某厂要用铁皮制成容积一定的无盖的长方体盒子，问怎样设计尺寸才能使用料最省？设盒子底边长、宽、高分别为此盒子所用材料面积为则容积为得驻点由条件解出代入上式化为函数令故当盒子长、宽、高都为

时用料最省.上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值.

有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,方法——拉格朗日乘数法到条件拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.其中

均为常数,可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.下的极值.例如,求函数在条件先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个解由题意，目标函数为作拉格朗日函数约束条件为