高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P177 第7章 多元微积分

第7章多元微积分习题7.11.设，证明:.证明：2.求下列各极限(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）令，当时，（3）（4）习题7．21．求下列函数的一阶偏导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：（1），（2），（3）（4），（5）（6）2、设，求.解：3、曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少？解：曲线在点处的切线的斜率是所以，曲线在点处的切线对于轴的倾角4．求下列函数的各个二阶偏导数：(1)(2)(3)(4)解：(1)，(2)，(3)，(4)，5．设，求及．解：，，6．设，求证：.证明：，7.设其中可导，证明；.证明：所以习题7．31．求下列函数的全微分：(1)(2)(3)（4）解：(1)，(2)(3)，(4)，2、求函数在点处的全微分.解：，3.求函数在时的全微分.解：，计算的近似值.解：设，取，由于习题7．41．设，而，求.解：2．设，而，求.解：3．设，而，求解：4.求下列全导数：(1)设，而，求.解：（2）设，而，求.解：(3)设，而，求.解：(4)设，而，求.解：5．设，而，验证：.解：6．求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：(1)(2)解：（1）设（2）设7．设，而，可微，证明：.证明：8.设下列方程式确定了变量为的二元函数，求.（1）（2）(3)（4）解（1）设（2）设（3）设（4）设习题7.51.求下列各函数的驻点和极值：(1)(2)(3)(4)解：（1）先求函数驻点。解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得在驻点，有，因此，在点处取极大值.(2)先求函数驻点。解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得在驻点，有，因此，在点处无极值.(3)先求函数驻点。解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得在驻点，有，因此，在点处取极小值.(4)先求函数驻点。解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得在驻点，有，因此，在点处取极大值.2.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何设计水池的尺寸，方可使它的表面积最小.解设水池底边长为米，宽为米，高为米，则容积。此水池表面积为，作拉格朗日函数令，即解得由于水池表面积的最小值确实存在，又因为的驻点唯一，因此，求得的点距原点最近是最小值点，最小值为3.在平面上求一点，使得它到及三条直线的距离平方之和最小.解：平面上点到及三条直线的距离分别为问题是求函数的最小值。先求该函数的驻点。解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得，，在驻点，有，因此，在点处取极小值.又是唯一的驻点，而根据该问题，到三直线的距离平方之和最小的点一定存在，故点为所求。4.求半径为的球中具有最大体积的内接长方体.解：设球面方程为，是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点，则此长方体的长、宽、高分别为，体积为作拉格朗日函数令，即解得它是唯一的驻点，由题意可知这个长方体必有最大体积，所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大。5.将周长为定数的矩形绕它的一边旋转而构成的一个圆柱体，问矩形的边长如何设计，才能使圆柱体的体积最大.解：设矩形的周长为，矩形的一边为在轴上，其长为，则另一边在轴上，其长为为，矩形绕轴旋转，所得圆柱体的体积为令，求得驻点，由于驻点唯一，由题意可知这种圆柱体体积一定有最大值，所以当矩形的边长分别为和时，绕短边旋转所得的圆柱体体积最大。习题7.61.给定消费者对于市场上某种商品G的需求函数 式子中，，，，求（1）需求的价格弹性；（2）需求的交叉弹性；其他商品是替代性的还是互补性的？（3）需求的收入弹性；这种商品G是优等品还是劣等品？解（1）（2），说明其他商品是替代性的。（3），说明这种商品是优等品。2.一个厂商被容许对家庭和工业消费者采取不同的价格，如果和表示家庭市场的价格和需求，那么需求方程为如果和表示工业市场的价格和需求，那么需求方程为总成本函数为其中，确定公司最大化带有价格歧视的价格政策并计算最大化利润的值.解：由家庭市场的需求方程有，家庭市场的总收益是 由工业市场的需求方程有，工业市场的总收益是这两个市场的总收益是生产这些产品的总成本为因此公司的利润函数为求利润函数的驻点，解方程组得驻点。再求二阶偏导数，得，，在驻点，有，因此，在点处取极大值.又是唯一的驻点，而根据该问题，最大化利润存在，此时，（元）（元）即当家庭市场和工业市场的价格分别是元和元时，公司获得最大化利润元。3.两种产品和的一个生产者，有总成本函数其中分别表示生产和的量.如果和分别表示相应的价格，那么需求函数为如果厂商的总成本固定为100，求最大利润.解：产品和收益分别为 这两个市场的总收益是生产这些产品的总成本为利润函数为问题转化为求目标函数满足的最大值。作拉格朗日函数令，即解得，，唯一驻点。而根据该问题，最大化利润存在，此时两种产品和的价格分别为，，而最大化利润为。4.某公司通过电台和报纸两种方式作销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费（万元）和报纸广告费（万元）间的关系为求（1）在广告费不受限制情况下的最优广告策略.在广告费限制2（万元）时，其相应的最优广告策略.解：（1）销售利润为解方程组求得驻点.再求二阶偏导数，得，，在驻点，有，因此，在点处取极大值.又是唯一的驻点，而根据该问题，最优广告策略存在，故电台广告费和报纸广告费分别为（万元）、（万元）时销售收入最大。（2）限定时，令，即，解出。即相应的最优广告策略是：报纸广告费用万元。习题7.71.画出下列积分的区域，并按两种不同的次序,将二重积分化为二次积分,其中积分区域是:(1)由抛物线与直线所围成.(2)由轴和左半圆所围成.(3)由直线及曲线所围成.解：（1）画出积分区域示意图，并计算交点坐标。解方程组交点为和。（一）先对积分 表示为—区域：于是=（二）先对积分。表示为两个—区域：与的并：于是（2）画出积分区域示意图。（一）先对积分 表示为—区域：于是=（二）先对积分。表示为—区域：于是（3）画出积分区域示意图，并计算交点坐标。解方程组，得交点为和（一）先对积分。表示为两个—区域与的并：于是=（二）先对积分。表示为两个—区域与的并：于是2.计算下列二重积分：(1),其中是由和所围成.解：和的交点为和。是—区域：先对积分。

=21+23(2),其中为.解：(3),其中为.解：(4)，其中是以为顶点的三角形区域.解：(5),其中是由和所围成.解：(6),其中是由和轴所围成的右半闭区域.解：(7),其中是以为顶点的矩形区域.解：(8),其中是由直线，及所围成.解：3.已知区域求由曲线与所围成的图形，求（1）区域的面积.（2）二重积分.解：（1）（2）综合习题7填空或选择题1.函数的定义域是（D）．A．B．C．D．且2.已知函数，则（C）．A．B．C．D．3.二元函数的极小值点是（A）．A．B．C．D．4.二元函数的全微分（B）．A．B．C．D．5.（D）．A．B．C．D．二．计算或证明题1.设，和具有二阶连续导数，求.解：2.证明曲面上任何点处的切平面与坐标平面围成的四面体的体积为常数.证明：设切点为，令曲面在点处的切平面为即因为切点在曲面上，所以切面方程即为或切平面在三个坐标轴上的截距分别为在切点处的切平面与坐标平面围成的四面体的体积为（常数）3.设，其中具有二阶连续偏导数，证明：.证明：4.计算下列二重积分：(1),其中是由和所围成.解：(2),其中是由及轴、轴围成的在第一象限的闭区域.解：(3),其中是由直线及所围成.解：(4),其中是由直线及所围成.解：5.若在区域上连续，且求函数。解：设，则（*）对（*）式两边在区域上作二重积分，有又所以，有解得，再由（*）式，