2024-2025学年新教材高中数学第九章统计9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE9.1.2分层随机抽样9.1.3获得数据的途径素养目标·定方向素养目标学法指导1．了解分层随机抽样的特点和适用范围.(数学抽象)2．了解分层随机抽样的必要性，驾驭各层样本量比例安排的方法.(数据分析)3．结合详细实例，驾驭分层随机抽样的样本均值.(数学运算)4．知道获得数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(数据分析)1．对比简洁随机抽样的特点，感受分层随机抽样中“层”的含义.2．通过详细的案例，体会层次的差异性，并感受“层”与“层”之间的异同以及比例安排的必要性.3．在简洁随机抽样的基础上，深化对分层随机抽样样本平均数的理解.必备学问·探新知学问点1分层随机抽样一般地，按__一个或多个__变量把总体划分成若干个__子总体__，每个个体__属于且仅属于__一个子总体，在每个子总体中独立地进行__简洁随机抽样__，再把全部子总体中抽取的样本合在一起作为__总样本__，这样的抽样方法称为分层随机抽样.(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，假如每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的安排方式为__比例安排__.(2)假如总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，两层的总体平均数分别为eq\o(X,\s\up6(－))，eq\o(Y,\s\up6(－))，总体平均数为eq\o(W,\s\up6(－))，样本平均数为eq\o(w,\s\up6(－)).则eq\o(w,\s\up6(－))＝__eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))__.eq\o(W,\s\up6(－))＝__eq\f(M,M＋N)eq\o(X,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(Y,\s\up6(－))__.(3)在比例安排的分层随机抽样中，可以干脆用__样本平均数eq\o(w,\s\up6(－))__估计__总体平均数eq\o(W,\s\up6(－))__.学问点2获得数据的途径获得数据的基本途径有__通过调查获得数据__、__通过试验获得数据__、__通过视察获得数据__、__通过查询获得数据__等.[学问解读]1．分层随机抽样的实施步骤第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；其次步，在每个子总体中独立地进行简洁随机抽样；第三步，把全部子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.2．分层随机抽样适用于总体中个体之间差异较大的情形3．在比例安排的分层抽样中需留意两点(1)抽样比＝eq\f(样本量,总样本量).(2)可以干脆用样本平均数估计总体平均数.4．分层随机抽样下总体平均数的估计在分层随机抽样中，假如层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为eq\o(X,\s\up6(－))＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\i\su(i＝1,M,X)i，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i.第2层的总体平均数和样本平均数分别为eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.总体平均数和样本平均数分别为eq\o(W,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,M,X)i＋\i\su(i＝1,N,Y)i,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,m,x)i＋\i\su(i＝1,n,y)i,m＋n).在比例安排的分层随机抽样中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\o(w,\s\up6(－)).因此，在比例安排的分层随机抽样中，我们可以干脆用样本平均数eq\o(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq\o(W,\s\up6(－)).关键实力·攻重难题型探究题型一对分层随机抽样概念的理解典例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的看法，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(D)A．抽签法 B．随机数C．简洁随机抽样 D．分层随机抽样(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相像的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必需进行(C)A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．全部层按同一抽样比等可能抽样D．全部层抽取的个体数量相同[分析]是否适合用分层随机抽样，首先推断总体是否可以“分层”.[解析](1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必需在全部层都按同一抽样比等可能抽取.[归纳提升]1．运用分层抽样的前提分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.2．运用分层随机抽样应遵循的原则(1)将相像的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简洁随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.【对点练习】❶下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(B)A．从10名同学中抽取3人参与座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量[解析]A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简洁随机抽样；C和D中总体所含个体无差异但个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.题型二分层随机抽样的应用典例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？[解析]用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人).(3)在各层分别按简洁随机抽样抽取样本.(4)汇总每层抽样，组成样本.[归纳提升]分层随机抽样的步骤【对点练习】❷某市的3个区共有中学学生20000人，且3个区的中学学生人数之比为2︰3︰5，现要从全部学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市中学学生的视力状况，试写出抽样过程.[解析]①由于该市中学学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样来抽取样本.②确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2︰3︰5，所以抽取的学生人数分别是200×eq\f(2,2＋3＋5)＝40；200×eq\f(3,2＋3＋5)＝60；200×eq\f(5,2＋3＋5)＝100．③在各层分别按随机数法抽取样本.④综合每层抽样，组成容量为200的样本.题型三分类抽样的相关计算典例3(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5︰3︰2，若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取__20__个个体.(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为__6__.[解析](1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人).(2)∵A，B，C三层个体数之比为5︰3︰2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(个)个体.(3)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6．[归纳提升](1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系①eq\f(样本量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【对点练习】❸(1)某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取__6__辆、__30__辆、__10__辆.(2)在本例(2)中，若A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为__20.5__.[解析](1)三种型号的轿车共9200辆，抽取样本量为46辆，则按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽样，所以依次应抽取1200×eq\f(1,200)＝6(辆)，6000×eq\f(1,200)＝30(辆)，2000×eq\f(1,200)＝10(辆).(2)由题意可知样本的平均数为eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5．易错警示忽视抽样的公允性致错典例4某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从中抽取一个样本量为36的样本，则下列抽样方法适合的是__②__.①简洁随机抽样；②干脆运用分层随机抽样；③先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样.[错解]③[错因分析]由于按eq\f(36,163)抽样，无法得到整数解，因此先剔除1人，将抽样比变为eq\f(36,162)＝eq\f(2,9).若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，中年人应抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人应抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，从而组成样本量为36的样本.事实上，若用简洁随机抽样法先从老年人中剔除1人，则老年人中每个人被抽到的机会明显比中年人、青年人中每个人被抽到的机会小了，这不符合随机抽样的特征——每个个体入样的机会都相等.[正解]因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样.因为总人数为28＋54＋81＝163，样本量为36，所以抽样比为eq\f(36,163).因此，从老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为eq\f(36,163)×28≈6，eq\f(36,163)×54≈12，eq\f(36,163)×81≈18．[误区警示]分层随机抽样的一个很重要的特点是每个个体被抽到的机会是相等的.当依据比例计算出的值不是整数时，一般采纳四舍五入的方法取值.若四舍五入后得到的样本量与要求的不尽相同