2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1.3导数在探讨函数中的应用1.3.1内容标准学科素养1.结合实例，直观探究并驾驭函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数探讨函数的单调性，并能利用单调性证明一些简洁的不等式；3.能利用导数求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).加强直观探究提升逻辑推理强化数学运算授课提示：对应学生用书第11页[基础相识]学问点函数的单调性与导数eq\a\vs4\al(预习教材P22－26，思索并完成以下问题)1．已知函数y1＝eq\f(1,x)，y2＝2x，y3＝x2的图象如图所示．结合图象写出以上三个函数的单调区间．提示：函数y1＝eq\f(1,x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，函数y2＝2x的单调递增区间为(－∞，＋∞)，函数y3＝x2的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．2．推断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负．提示：y1′＝－eq\f(1,x2)在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负值；y2′＝2xln2在(－∞，＋∞)上为正值；y3′＝2x在(－∞，0)上为负值，在(0，＋∞)上为正值．学问梳理(1)函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减提示：假如函数f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．(2)函数图象的改变趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的肯定值函数值的改变函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)提示：导数的肯定值越大，越陡峭．思索：1.若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上肯定单调递减吗？提示：不肯定，如函数y＝eq\f(1,x)的导函数y′＝－eq\f(1,x2)＜0恒成立，但是函数y＝eq\f(1,x)的图象不是恒下降的．2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立吗？提示：不肯定，如函数y＝x3在[－1,3]上单调递增，但是y′＝3x2在x＝0处的值为0.3．函数在区间(a，b)上的导数与单调性的关系是怎样的？提示：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对随意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.4．利用导数解决单调性问题需留意哪些问题？提示：(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过探讨导数的符号来推断函数的单调区间．(2)留意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必需确定使导数等于零的点外，还要留意在定义域内的间断点．[自我检测]1．设y＝x－lnx，则此函数在区间(0,1)内为()A．单调递增 B．有增有减C．单调递减 D．不确定解析：y′＝1－eq\f(1,x)，当x∈(0,1)时，y′＜0，则函数y＝x－lnx在区间(0,1)内单调递减．故选C.答案：C2．已知e为自然对数的底数，函数y＝xex的单调递增区间是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]解析：f(x)＝xex⇒f′(x)＝ex(x＋1)，令f′(x)＞0⇒x＞－1，所以函数f(x)的单调递增区间是[－1，＋∞)．故选A.答案：A3．若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：由题，则f′(x)＝eq\f(－x2＋b,x)≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即b≤x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．因为x2＞1，所以b≤1.答案：(－∞，1]授课提示：对应学生用书第11页探究一导数与函数图象的关系[例1](1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()(3)函数y＝f(x)在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)＜0的解集为________．[解析](1)由当f′(x)＜0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最终单调递增，解除A，C，且f′(0)＞0，所以在x＝0旁边函数应单调递增，解除B.(2)当x＞0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满意．(3)函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上单调递减，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上，y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)．[答案](1)D(2)D(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)延长探究1.若本例(3)中的条件不变，试求不等式f′(x)＞0的解集．解析：依据题目中的图象，函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和区间(1,2)上为增函数，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和区间(1,2)上，y＝f′(x)＞0，所以f′(x)＞0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))∪(1,2)．2．若本例(3)中的条件不变，试求不等式xf′(x)＞0的解集．解析：由例(3)及延长探究1以及已知条件可知，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))时，函数为减函数，则f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，函数为增函数，则f′(x)＞0.综上可知：xf′(x)＞0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1,2)．方法技巧函数与导数图象间的关系推断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再留意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；假如f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)＞0且越来越大f′(x)＞0且越来越小函数值削减得越来越快函数值削减得越来越慢f′(x)＜0且越来越小肯定值越来越大f′(x)＜0且越来越大肯定值越来越小跟踪探究1.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()解析：由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导函数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导函数应先正后负再正，比照选项，只有D正确．答案：D探究二利用导数求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝lnx－x；(3)f(x)＝eq\f(ex,x－2).[解析](1)函数的定义域为R，f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，解f′(x)＞0，即3x2－3＞0，得x＞1或x＜－1，解f′(x)＜0，即3x2－3＜0，得－1＜x＜1，所以函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx－x，所以f′(x)＝eq\f(1,x)－1，解f′(x)＞0，即eq\f(1,x)－1＞0，得0＜x＜1，解f′(x)＜0，即eq\f(1,x)－1＜0，得x＞1，所以函数的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f(x)＝eq\f(ex,x－2)，所以f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22)，解f′(x)＞0，得x＞3，解f′(x)＜0，得x＜2或2＜x＜3.所以函数的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．方法技巧(1)求函数单调区间的步骤(2)留意事项①求函数的单调区间，必需在函数的定义域内进行．②含有参数的函数求单调区间时应留意分类探讨．③函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“∪”连接．跟踪探究2.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－eq\f(3,a)，探讨函数f(x)的单调性．解析：由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝eq\f(2,a).当a＞0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＞0.所以f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上为减函数．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上是增函数．当a＜0时，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))，则f′(x)＜0.所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))上是减函数．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))，则f′(x)＞0.所以f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))上为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＜0.所以f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．探究三已知函数单调性求参数的取值范围[例3]已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．[解析]f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)＝eq\f(2x3－a,x2).要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即eq\f(2x3－a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．因为x2＞0，所以2x3－a≥0，所以a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．所以a≤(2x3)min.因为x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，所以(2x3)min＝16，所以a≤16.当a＝16时，f′(x)＝eq\f(2x3－16,x2)≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，所以a的取值范围是(－∞，16]．延长探究若将本例中的“x∈[2，＋∞)”改为“x∈(－∞，2]”，且f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是什么？解析：由例3可知，要使f(x)在(－∞，2]上单调递减，只需f′(x)≤0在x∈(－∞，2]上恒成立．即eq\f(2x3－a,x2)≤0在(－∞，2]上恒成立．因为x2＞0，所以2x3－a≤0，即a≥2x3.因为x∈(－∞，2]时，y＝2x3是单调递增的．所以(2x3)max＝2×23＝16.所以a≥16.当a＝16时，f′(x)＝eq\f(2x3－8,x2)≥0(x∈(－∞，2])有且只有f′(2)＝0.因此，实数a的取值范围是[16，＋∞)．方法技巧(1)由函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性求参数的取值范围的步骤①求导数y＝f′(x)．②转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0对x∈[a，b]恒成立问题．③由不等式恒成立求参数范围．④验证等号是否成立．(2)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.跟踪探究3.若函数f(x)＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．解析：函数f(x)＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，由f′(x)＝4x＋eq\f(1,x)－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤4x＋eq\f(1,x)(x＞0)恒成立．令g(x)＝4x＋eq\f(1,x)，则a≤g(x)min.g(x)＝4x＋eq\f(1,x)＝4eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＋eq\f(\f(1,4),x)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))≥4×1＝4，当且仅当x＝eq\f(1,2)时取等号，故a≤4.当a＝4时，f′(x)＝4x＋eq\f(1,x)－4＝eq\f(4x2－4x＋1,x)＝eq\f(2x－12,x)≥0恒成立，满意题意，所以a≤4，故a的取值范围是(－∞，4].授课提示：对应学生用书第13页[课后小结](1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数肯定值的大小反映了函数在某个区间或某点旁边改变的快慢程度．(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数