《12.11 勾股定理》学习任务单

《12.11勾股定理》学习任务单班级：＿_____姓名：＿_____组号：＿_____一、学习内容北京版八年级上册第十二章三角形中的12.11勾股定理相关内容，包括课本中的例题、定理证明部分以及课后相关练习题。二、我的目标（一）知识与技能目标1、能准确说出勾股定理的内容，就像能清楚说出自己最喜欢的游戏规则一样准确。2、会用勾股定理解决简单的直角三角形边长计算问题，就像能轻松算出自己零花钱的收支一样熟练。3、能够根据直角三角形的两条边的长度，准确求出第三条边的长度，就像在熟悉的小路上找到回家的方向一样准确。（二）过程与方法目标1、通过观察、分析直角三角形三边关系的活动，像小侦探一样发现勾股定理，提高观察和分析问题的能力。2、在证明勾股定理的过程中，像小数学家一样尝试不同的证明方法，培养逻辑思维和推理能力。（三）情感态度与价值观目标1、感受数学文化的魅力，就像被一部精彩的电影吸引一样，对数学历史和数学家的智慧产生敬仰之情。2、在探索勾股定理的过程中，培养不怕困难、勇于探索的精神，就像勇敢的探险家在未知的领域探索一样。三、重难点（一）重点1、深刻理解勾股定理的内容，像牢记好朋友的电话号码一样牢记它。2、熟练运用勾股定理进行直角三角形边长的计算，就像熟练使用手机一样自然。（二）难点1、勾股定理的证明过程，这就像解开一个神秘的魔术一样需要智慧和耐心。2、灵活运用勾股定理解决实际问题中的复杂情况，就像在复杂的迷宫中找到出口一样有挑战性。四、我的研究（一）勾股定理的发现之旅1、观察下面这些直角三角形（老师会在黑板上画出几个不同边长的直角三角形或者给大家发放印有直角三角形的小卡片）：测量每个直角三角形的三条边的长度（可以使用尺子哦）。计算两条直角边的平方和以及斜边的平方。看看你能发现什么有趣的规律呢？就像寻找宝藏的线索一样仔细。记录下你的发现：直角三角形1：直角边a＝＿_____，直角边b＝＿_____，斜边c＝＿_____，计算得出＄a^｛2}＄＋＄b^｛2}＄＝＿_____，＄c^｛2}＄＝＿_____。直角三角形2：直角边a＝＿_____，直角边b＝＿_____，斜边c＝＿_____，计算得出＄a^｛2}＄＋＄b^｛2}＄＝＿_____，＄c^｛2}＄＝＿_____。等等。根据你的发现，试着用自己的话描述一下这个规律。2、其实呀，早在古代，就有很多聪明的人发现了这个规律呢。老师给大家讲个小故事：古代有个叫毕达哥拉斯的大数学家，有一次他去朋友家做客，看到朋友家的地板是用正方形的大理石砖铺成的。他发现以一块砖的对角线为边画一个正方形，这个正方形的面积恰好等于两块砖的面积之和。这就和我们刚刚发现的直角三角形三边关系很相似呢。你们说，毕达哥拉斯是不是很善于观察呀？那大家觉得自己和大数学家有没有一点相似之处呢？（二）勾股定理的证明1、我们一起来看看历史上一些经典的勾股定理证明方法。赵爽弦图证明法：老师会给大家展示赵爽弦图（可以是图片或者自己画在黑板上）。观察这个图，你能看出大正方形的面积是怎么表示的吗？方法一：大正方形的边长是斜边c，所以大正方形的面积可以表示为＄c^｛2}＄。方法二：这个大正方形是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b）和一个小正方形组成的。那么大正方形的面积还可以表示为4×（1/2)×a×b+（ba)²（这里要一步一步计算哦，先算出四个三角形的面积，再算出小正方形的面积，然后加起来）。既然这两种表示方法都表示大正方形的面积，那么我们可以得到一个等式：＄c^｛2}＄＝4×（1/2)×a×b+（ba)²。大家一起动手化简这个等式，看看能不能得到勾股定理＄a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＄呢？这就像玩拼图游戏，把各个部分组合起来得到完整的图案一样有趣。欧几里得证明法（选做，对于学有余力的同学）：老师简单介绍欧几里得证明的思路（利用三角形全等和面积关系等知识）。同学们可以自己在课后查阅资料，更深入地了解这种证明方法，然后在小组里分享自己的收获。2、现在轮到大家当小数学家啦。试着用自己的方法来证明勾股定理。可以画图辅助哦，比如你可以设计自己的“创意弦图”或者其他几何图形组合。把你的证明思路写下来：首先，我构造了一个（什么样的图形）＿_____。然后，我分别计算这个图形的面积的不同表示方法。第一种表示方法：＿_____。第二种表示方法：＿_____。最后，根据面积相等得到等式，经过化简得到勾股定理。（三）勾股定理的应用1、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，求第三条边。例1：已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。首先，根据勾股定理＄a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＄，这里a＝3，b＝4。那么斜边c的长度就是＄＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5$。例2：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另一条直角边。设另一条直角边为x，根据勾股定理＄x^｛2}＋5^｛2}＝13^｛2}＄。即＄x^｛2}＝13^｛2}－5^｛2}＝16925＝144$，所以x＝＄＼sqrt{144}＝12$。现在大家自己来做几道练习题吧：直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边的长度。直角三角形的斜边为25，一条直角边为7，求另一条直角边的长度。2、勾股定理在实际生活中的应用。老师给大家讲个真实的事情。有一次，工人叔叔要在墙上安装一个空调室外机，他们需要知道从地面到安装位置的距离，以及空调支架的长度。这个墙面和地面就形成了一个直角三角形。他们测量出从墙脚到空调室外机安装点在地面上的投影点的距离是3米，从投影点到空调室外机的垂直距离是4米。那大家能算出从墙脚到空调室外机的距离吗？根据勾股定理，这个距离就是斜边的长度，＄＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9+16}＝＼sqrt{25}＝5$米。现在轮到你们啦。小明想知道他家的电视屏幕对角线的长度。他测量出屏幕的长是80厘米，宽是60厘米，你们能帮他算出来吗？有一个长方形的池塘，长是12米，宽是5米，池塘的一个角上有一棵柳树，要从池塘的对角拉一根绳子到柳树，这根绳子需要多长呢？五、组内过关（一）基础过关题1、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a＝9，b＝12，求c的值。2、直角三角形的斜边c＝17，一条直角边a＝8，求另一条直角边b的值。（二）提高过关题1、一个等腰直角三角形的斜边长为10，求它的直角边的长度。（提示：等腰直角三角形的两条直角边相等哦）2、有一个直角三角形，它的一条直角边比另一条直角边长3，斜边是15，求两条直角边的长度。（三）互动环节1、小组内成员互相交换自己做的题目，像交换小礼物一样。2、互相检查答案，如果发现错误，要像小老师一样耐心地给对方讲解。3、讨论一下在做这些题目的过程中遇到的困难和有趣的发现。六、当堂检测（一）选择题1、在直角三角形中，两条直角边分别为a和b，斜边为c，如果a＝5，b＝12，那么c的值是（）A.13B.14C.15D.162、一个直角三角形的斜边为20，一条直角边为16，另一条直角边是（）A.10B.12C.14D.16（二）填空题1、在直角三角形中，若a＝3，c＝5，则b＝＿_____。2、等腰直角三角形的直角边为7，则斜边为______。（三）解答题1、已知直角三角形的两条边分别为6和8，求第三边的长度。（要考虑两种情况哦，因为不知道这两条边是直角边还是一条直角边一条斜边）2、有一个直角三角形的面积为30，一条直角边为5，求斜边的长度。七、自我评估方法与标准（一）自我评估方法1、对于知识与技能目标：回顾自己是否能准确说出勾股定理内容，如果能毫不犹豫地说出来，那就说明掌握得不错。检查自己做的练习题，计算正确率。如果正确率在80%以上，说明在运用勾股定理计算边长方面掌握得较好。2、对于过程与方法目标：回顾自己在发现勾股定理规律时的思路是否清晰，如果能清楚地说出自己是如何观察、分析数据得到规律的，说明观察和分析能力得到了锻炼。在证明勾股定理的过程中，看看自己是否能理解至少一种证明方法，如果能自己独立完成一种证明方法或者能清楚地讲述一种证明方法，说明逻辑思维能力有提高。3、对于情感态度与价值观目标：想想自己在学习勾股定理的过程中，是否对数学历史和数学家的故事感兴趣，如果有兴趣并且能讲出一两个故事，说明对数学文化有了一定的感受。回忆自己在遇到证明或者解题困难时的态度，如果没有轻易放弃，而是努力尝试不同方法，说明具备了勇于探索的精神。（二）评估标准1、优秀（85分及以上）能准确、熟练地说出勾股定理内容和应用条件，练习题正确率在90%以上。能独立完成至少两种勾股定理的证明方法（包括理解经典证明方法和自己创造一种简单证明方法）。对数学文化表现出浓厚兴趣，能主动分享数学故事，在遇到困难时积极探索，有自己的思考和解决办法。2、良好（7084分）能准确说出勾股定理内容，练习题正确率在80%89%。能理解一种勾股定理的证明方法，并能在提示下尝试自己的证明。对数学文化有一定了解，在遇到困难时能尝试解决，但可能需要一些帮助。3、合格（6069分）基本能说出勾股定理内容，但可能会有小错误，练习题正确率在60%79%。能在详细讲解下理解勾股定理的证明思路，但自己难以独立完成。对数学文化有一点了解，遇到困难时容易退缩，需要较多的鼓励。4、不合格（60分以下）不能准确说出勾股定理内容，练习题正确率低于60%。完全不理解勾股定理的证明方法。对数学文化毫无兴趣，遇到困难直接放弃。八、答案（一）组内过关答案1、基础过关题在直角三角形ABC中，根据勾股定理＄c=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{9^｛2}＋12^｛2}｝＝＼sqrt{81＋144}＝＼sqrt{225}＝15$。由勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{17^｛2}－8^｛2}｝＝＼sqrt{28964}＝＼sqrt{225}＝15$。2、提高过关题设等腰直角三角形的直角边为x，根据勾股定理＄x^｛2}＋x^｛2}＝10^｛2}＄，即＄2x^｛2}＝100$，＄x^｛2}＝50$，所以＄x＝5\sqrt{2}＄。设较短的直角边为x，则另一条直角边为x＋3，根据勾股定理＄x^｛2}＋（x＋3)＾｛2}＝15^｛2}＄，展开得＄x^｛2}＋x^｛2}＋6x+9＝225$，合并同类项＄2x^｛2}＋6x216＝0$，化简为＄x^｛2}＋3x108＝0$，因式分解得＄（x＋12)（x9)＝0$，解得x＝9（因为边长不能为负，舍去x=－12），所以两条直角边分别为9和12。（二）当堂检测答案1、选择题1、A。根据勾股定理＄c=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{5^｛2}＋12^｛2}｝＝＼sqrt{25＋144}＝＼sqrt{169}＝13$。2、B。由勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{20^｛2}－16^｛2}｝＝＼sqrt{400256}＝＼sqrt{144}＝12$。2、填空题1、根据勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{5^｛2}－3^｛2}｝＝＼sqrt{259}＝＼sqrt{16}＝4$。2、等腰直角三角形中，斜边＄c=＼sqrt{2}a$，所以斜边为＄7\sqrt{2}＄。3、解答题1、当6和8都是直角边时，斜边＄c=＼sqrt{6^｛2}＋8^｛2}｝＝＼sqrt{3