2024-2025学年福建师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|log2A.(0,14) B.[0,14)2.已知复数z=4−2i(1+i)2+ai(a∈R)A.2 B.−2 C.−23.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0)，则“m=1”是“P(X≥mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知一个底面内口直径为26cm的圆柱体玻璃杯中盛有高为2cm的水，向该杯中放入一个半径为rcm(r≥12)的实心冰球和一个半径为(r+1)cm的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(A.10πcm2 B.12πcm2 C.5.已知点A(x1,y1),B(x1+π3,y2)都是f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)图象上的点，点A，B到x轴的距离均为1，把f(x)的图象向左平移πA.3 B.5 C.10 D.116.已知A(x1,y1)B(x2,y2)是圆x2+y2A.43 B.33 C.7.某地计划对如图所示的半径为a的直角扇形区域ABC按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC内取一点P使得BP=64a，以BP为半径作扇形PBE，且满足∠PBE=2∠PBC=2θ，其中0<θ≤θ0<A.π12B.C.π4D.8.已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，正实数a，b，c满足f(a)=g′(a)，f(b)g(b)=g(a)，g(c)+f(g(acA.b<a<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线C：x2=2py(p>0)过点M(2,1)，过M且与OM垂直的直线l与抛物线C的另一交点为N，则(

)A.p=2

B.|MF|=3

C.|MN|=125

D.直线l与抛物线C10.已知(m+x)4=a0+a1x+a2xA.m=2 B.a0+a1+a11.一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面.若一个直角四面体的三条直角棱长分别a，b，c，直角顶点到斜面的距离为d，其内切球的半径为r，三个直角面的面积分别为S1，S2，S3，三个直角面与斜面所成的角分别为α，β，y，斜面的面积为S，则A.直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B.cos2α+cos2β+cos三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记一组样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则a−b=______．13.已知等差数列{an}的前n项积为Tn，a1+a9=43，14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线l：x=c(c=a2+b2)交于M，N两点(点M位于第一象限)，点P是直线l上的动点，点A，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex．

(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线l与坐标轴围成的三角形的周长；

(2)若函数f(x)的图象上任意一点P关于直线x=1的对称点Q都在函数g(x)的图象上，且存在x∈[0,1)，使f(x)−2ex≥m+g(x)成立，求实数m16.(本小题15分)

“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目.某小学为丰富同学们的课外活动举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用2n−1局n胜(n∈N∗,n≥2)的单败淘汰制，即先赢下n局比赛者最终获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1)，乙获胜的概率为1−p．

(1)若n=2,p=23，设比赛结束时比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；

(2)设采用3局2胜制时乙最终获胜的概率为P2，采用5局3胜制时乙最终获胜的概率为P17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，△PAD是边长为23的等边三角形，E，F，G分别为PC，BC，AD的中点，AC与BG交于点H．

(1)证明：PH//平面DEF；

(2)若PH=10，求平面PAB18.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22．

(1)若椭圆E过点(2,2)，求椭圆E的标准方程．

(2)若直线l1，l2均过点P(pn,0)(0<pn<a,n∈N∗)且互相垂直，直线l1交椭圆E于A，B两点，直线l2交椭圆E于C，D两点，M，N分别为弦AB19.(本小题17分)

若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角.如图，已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．

(1)若b=c，且满足PBPA=3，求∠ABC的大小．

(2)若△ABC为锐角三角形．

(i)证明：1tanα=1tan∠BAC+

参考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.−4

13.7

14.215.解：(1)由f(x)=ex，得f(0)=1，f′(x)=ex，

所以切线l的斜率为k=f′(0)=1，

所以切线l的方程为y−1=x，即y=x+1．

令x=0，得y=1，令y=0，得x=−1，

所以切线l与x轴交于点(−1,0)、与y轴交于点(0,1)，

所以切线l与坐标轴围成的三角形的周长为1+1+(−1−0)2+(0−1)2=2+2．

(2)设Q(x,y)，则P(2−x,y)，

由题意知P(2−x,y)在f(x)的图象上，所以y=e2−x，即g(x)=e2−x；

由f(x)−2ex≥m+g(x)，得f(x)−g(x)−2ex≥m，即ex−e2−x−2ex≥m，

因为存在x∈[0,1)，使f(x)−2ex≥m+g(x)成立，

所以存在x∈[0,1)，使ex−e2−x−2ex≥m成立．

16.解：(1)因为n=2，所以比赛采用3局2胜制，

所以X的所有可能取值为2，3，

则P(X=2)=(23)2+(13X23P54所以E(X)=2×59+3×49=229；

(2)由题意知P2=(1−p)2+C21(1−p)p(1−p)=(1−p)2(1+2p)，17.解：(1)证明：设AC与DF交于点M，连接ME．

因为F，G分别为BC，AD的中点，底面ABCD是菱形，

所以DG/​/BF且DG=BF，所以四边形DFBG是平行四边形，所以BG/​/DF，

因为F为BC的中点，所以M为CH的中点，因为E为PC的中点，所以EM//PH，

又PH⊄平面DEF，EM⊂平面DEF，所以PH//平面DEF；

(2)连接PG，因为△PAD是边长为23的等边三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD，PG=3．

因为底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，所以BG⊥AD，BG=3．

因为△AGH∽△CBH，所以GHBH=AGCB=12，所以GH=1．

因为PH=10，所以PG2+GH2=PH2，所以PG⊥GH，所以AD，GH，PG两两垂直，

以G为坐标原点，分别以AD，GH，PG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，D(−3,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，F(−3,3,0)，

所以PA=(3,0,−3)，PB=(0,3,−3)，PD=(−3,0,−3)，PF=(−3,3,−3)，

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PA18.解：(1)因为e=ca=22，

又a2=b2+c2，

所以a2=2b2，

此时椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1，

因为椭圆E过点(2,2)，

所以42b2+2b2=1，

解得b2=4，

则椭圆E的标准方程为x28+y24=1；

(2)(i)当直线l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，

此时直线MN与x轴重合，不符合题意，

所以直线l1，l2的斜率均存在且不为0，

不妨设直线l1的方程为y=k(x−pn)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，

联立x19.解：(1)若b=c，即AB=AC，得∠ABC=∠ACB，

点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则∠PCB=∠PBA，

在△PCB和△PBA中，∠PCB=∠PBA，∠PAB=∠PBC=θ，

所以△PCB与△PBA相似，且PBPA=3，

所以BCAB=ac=3，即a=3c，

由余弦定理得：cos∠ABC=a2+c2−b22ac，且a