专题112空间向量与立体几何大题（原卷版）

2.空间向量与立体几何大题【高考真题】1．（2022·新高考全国=1\*ROMANI卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2022·新高考全国=2\*ROMANII卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．3．（2021·新高考全国=1\*ROMANI卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.4．（2021·新高考全国=2\*ROMANII卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．5．（2020·新高考全国=1\*ROMANI卷）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．6．（2020·新高考全国=2\*ROMANII卷）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．（1）证明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【基础知识】1．空间角=1\*GB2⑴异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).=2\*GB2⑵直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).=3\*GB2⑶平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).2．空间距离=1\*GB2⑴点P到直线l的距离设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).=2\*GB2⑵点P到平面α的距离若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如图所示．=3\*GB2⑶线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．【题型方法】等体积法求点面距离1．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点．(1)求证：平面．(2)若底面，且，求点到平面的距离．2．如图，在四棱锥中，已知，.(1)求证：；(2)若平面平面，，且，，，为线段的中点，求点到平面的距离.向量法求空间距离1．如图，四棱锥中，是等边三角形，，．(1)证明：；(2)若，，求点A到平面的距离．2．如图，已知正方体的棱长为1，分别是和的中点．(1)求证：；(2)求直线和之间的距离．向量法求线线、线面、面面角1．已知四棱锥的底面为正方形，且平面，为中点(1)求证：面面(2)求异面直线与所成角的余弦值2．在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.(1)证明：平面平面；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.3．如图，在三棱台中，.(1)求证：平面平面；(2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.【高考必刷】1．如图，多面体中，底面四边形为菱形，平面且(1)求证：；(2)求点A到平面的距离2．在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，．(1)证明：平面平面PBC．(2)若，，求点D到平面PBC的距离．3．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，，.(1)求证：；(2)求点A到平面PBD的距离.4．如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.(1)求证：平面；(2)若的面积是，求点到平面的距离.5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点.(1)求点B到平面B1CD的距离；(2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值.6．如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，．(1)证明：平面BCD．(2)求点D到平面的距离．7．如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD，，，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点．(1)求证：平面PAB；(2)求点C到平面PMN的距离．8．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的一点，且．(1)证明：平面．(2)若，，求点到平面的距离．9．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为.(1)求点到平面的距离；(2)求直线与平面所成的角.10．如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．(1)求证：点F为的中点；(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．11．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距离.12．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点．(1)求直线与平面的夹角余弦值；(2)求点到平面的距离．13．如图，在三棱锥中，平面，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离.14．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面BDE；(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；(3)求点D到平面ABE的距离．15．如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．(1)若为线段上的一个动点，证明：∥平面(2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．16．如图，在三棱锥中，平面为线段上一点，且.(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；(2)求点C到平面ABD的距离.17．如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点，平面平面.(1)求证：平面；(2)若，点为的中点，求二面角的余弦值.18．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．(1)证明：；(2)若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．20．如图，在中，，且，，将绕直角边PA旋转到处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点．(1)是否存在点D，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；(2)当四棱锥体积最大时，求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值．21．如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．(1)证明：平面；(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．22．如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，点E为线段的中点．(1)求证：∥平面；(2)若四边形为菱形，且平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．23．如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，点为三角形的重心．四边形是边长为的正方形，且，.(1)求证：；(2)求线段的长；(3)求异面直线与所成角的余弦值．24．如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．(1)证明：平面；(2)若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．25．如图所示，在四棱柱中，以A为端点的三条棱的长都为1，且两两夹角为，点M，N分别在线段和上，且满足，其中．(1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；(2)当时，求异面直线与所成角的大小．26．如图，直三棱柱中，，，，是的中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．27．矩形中，（如图1），将沿折起到的位置.点在平面上的射影在边上，连结（如图2）.(1)证明：；(2)过直线的平面与平行，求与所成角的正弦值.28．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.(1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；(2)若，，点，A，B，C都在半径为的球面上，求二面角的余弦值.29．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.(1)求证：平面平面；(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.30．如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．(1)求证：；(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．31．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.

(1)求证：四点共面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.32．如图（1），在中，，将沿折起