第二十七章相似（单元培优卷）

【高效培优】2021—2022学年人教版九年级数学下册轻松冲刺学神考霸必刷卷【重难易错典题】第二十七章相似（单元培优卷）（考试时间：90分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·全国·九年级单元测试）已知＝k，则k＝（）A．2 B．1或2 C．1 D．﹣1或者2【答案】D【分析】根据比例的性质解答即可．【详解】解：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，＝＝＝2＝k，当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，综上所述；k＝﹣1或2，故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2021·全国·九年级单元测试）若，则下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的基本性质直接判断即可.【详解】解：由，根据比例性质，两边同时除以6，可得到，故选C.【点睛】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键.3．（2021·全国·九年级单元测试）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最小内角是（）.A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理,求出这个三角形的第三个角,然后根据相似三角形的性质,即可得出另一个三角形的最小内角.【详解】解:这个三角形的第三个角为:180°－75°－60°=45°∵两个三角形相似∴另一个三角形的最小内角是45°故选C.【点睛】此题考查的是三角形的内角和和相似三角形的性质,掌握相似三角形的对应角相等是解决此题的关键.4．（2021·全国·九年级单元测试）下列四条线段能成比例的是()A．a=4，b=6，c=5，d=10 B．a=，b=3，c=2，d=C．a=2，b=，c=，d= D．a=1，b=2，c=3，d=4【答案】C【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c:d.只要代入验证即可.【详解】解：A.4：6≠5：10，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B.：3≠2：，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；C.2：＝：，则a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；D.1：2≠3：4，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；【点睛】本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.5．（2021·山东青岛·九年级单元测试）在和中，，，，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根据已知可证△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求△DEF的周长、面积．【详解】解：在和中，，，，又，，且和的相似比为，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，且的周长是，面积是，的周长为，面积为．故选A.【点睛】本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．6．（2021·全国全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在的正方形网格中，连结两格点，，点C、D是线段与网格线的交点，则为A． B． C． D．【答案】B【分析】作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG得到CE∥DF∥AG，列比求值.【详解】解：如图，作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG,∴CE∥DF∥AG，∴=BE:EF:FG=1：3：2，故选：B.【点睛】此题考查平行线分线段成比例，根据题意添加辅助线构建平行线是解题的关键，由此列出比例线段.8．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理可得:,然后根据等高的两三角形的面积比等于底之比,可得:S△ADE:S△BDE=,S△ABE:S△BCE=,设S△ADE=a,可得S△BDE=2a,从而求出S△BCE=6a,即可求出.【详解】解:∵,∴∵△ADE和△BDE等高∴S△ADE:S△BDE=,可设S△ADE=a,可得S△BDE=2a∴S△ABE=S△ADE＋S△BDE=3a∵△ABE和△BCE等高∴S△ABE:S△BCE=∴S△BCE=6a故选B.【点睛】此题考查的是求三角形的面积比,掌握平行线分线段成比例定理和等高的两三角形的面积比等于底之比是解决此题的关键.9．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】解：当，，所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；当，，所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；当，即AC：：AC，因为所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；当，即PC：：AB，而，所以条件④不能判断和相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.10．（2021·全国·九年级单元测试）如图，，，则下列比例式中不正确的是（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可一一判断．【详解】解：A.∵，∴，故选项正确；B.∵，∴，故选项正确；C.∵，∴，故选项正确；D.∵，∴，故本选项错误故选D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11．（2021·全国·九年级单元测试）已知点是线段上的一点，且，如果，那么______．【答案】##【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案.【详解】解：设点是线段上的一点，，，整理得：故答案为：【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键.12．（2021·全国·九年级单元测试）已知三条线段cm，m，b为a，c的比例中项，则______cm．【答案】【分析】根据比例中项的概念求解即可，b为a，c的比例中项，则．【详解】解：由题意可得，b为a，c的比例中项，则，∵cm，m∴则，解得，负值舍去，故答案为．【点睛】此题考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解题的关键，注意求解时单位的换算．13．（2021·全国·九年级单元测试）如果在比例尺1：50000的地图上，A、B两地的图上距离为2cm，则A、B两地的实际距离为___m．【答案】【分析】利用比例尺等于图上距离:实际距离，再计算即可.【详解】解：设A、B两地的实际距离为cm，则1：50000而cmm，故答案为：【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例尺等于图上距离:实际距离”是解题的关键.14．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为____________【答案】3a【分析】通过证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，

∴△ACD∽△BCA，

∴,

∴，

解得，△BCA的面积为4a，

∴△ABD的面积为：4aa=3a，

故答案为：3a．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．15．（2021·全国·九年级单元测试）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上.若的边长为40厘米，高为30厘米，则正方形的边长为______厘米.【答案】【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设正方形的边长为x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴．∵PH⊥BC，DE⊥BC∴PH＝ED，AP＝AH−PH，即，由BC＝40，AH＝30，DE＝DG＝x，得解得x＝．故正方形DEFG的边长是．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．16．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，是边上的点，分别联结、相交于点，若，，则______.【答案】2【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出△BE0∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE＝3，即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BE0∽△DAO，∴，∵AD＝5，∴BE＝3，∴CE＝5−3＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，，在内有三个正方形，且这三个正方形都有一边在上，都有一个顶点在上，点在上，第一个正方形边长，第二个正方形边长，那么第三个正方形的边长为______.【答案】4cm【分析】根据正方形的性质可得：EM=DE=9cm，GN=GF=FM=6cm，PN=PQ，∠EFG=∠GPQ=90°，FG∥CB，PQ∥CB，设PN=PQ=x，从而求出EF=EM－FM=3cm，GP=GN－PN=（6－x）cm，FG∥PQ，利用相似三角形的判定可得：△EGF∽△GQP,根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出x.【详解】解：设这三个正方形落在BC上的其它点分别为M、N、H∴EM=DE=9cm，GN=GF=FM=6cm，PN=PQ，∠EFG=∠GPQ=90°，FG∥CB，PQ∥CB设PN=PQ=x∴EF=EM－FM=3cm，GP=GN－PN=（6－x）cm，FG∥PQ∴∠EGF=∠GQP∴△EGF∽△GQP∴即：解得：x=4即第三个正方形的边长为：4cm.故答案为：4cm.【点睛】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质定理和相似三角形的判定定理及性质定理是解决此题的关键.18．（2021·全国·九年级单元测试）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离.如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m，若小林能看到整个红灯，则x的最小值为_____.【答案】10m.【分析】根据平行证出，列出比例式即可求出的最小值.【详解】解：如下图，当红灯，大巴车车车顶和小张的眼睛三点共线时，最小，由题意可知，∴∴即，解得.∴的最小值为10m.故答案为：10m.【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握利用平行证相似及相似三角形的性质是解决此题的关键.三、解答题：本题共7个小题，1923每题8分，2425每题13分，共66分。19．（2021·山东省青岛市第五十三中学九年级单元测试）如图，、是矩形的边和延长线上的两点，与相交于点，且，求证：；．【答案】证明（1）（2）见解析.【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）根据已知条件易证△ADQ≅△ADE，根据全等三角形对应边相等可得DQ=DE，再证明△ABP∽△QDA，根据相似三角形对应边成比例列式表示出DQ的长，然后根据列出算式，整理即可证得结论．【详解】证明：∵，，，∴；在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，，，，，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质、等角的余角相等的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，第（2）问把△APQ的面积分成两个三角形的面积的和求解是解题的关键．20．（2021·全国·九年级单元测试）如图所示，在矩形中，已知，，点沿边从点开始向点以每秒个单位长度的速度运动；点沿边从点开始向点以每秒4个单位长度的速度运动．如果，同时出发，用秒表示运动的时间．请解答下列问题：（1）当为何值时，是等腰直角三角形？（2）当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？【答案】（1）；（2）当为或时，以点，，为顶点的三角形与相似．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，即，计算即可；（2）分两种情况：①，②，分别列出比例式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，，.因为是等腰直角三角形，是直角，所以，所以，解得，所以当时，是等腰直角三角形．（2）根据题意，可分为两种情况：①若，则，所以解得，即当时，.②若，则，所以.解得，即当时，.因此，当为或时，以点，，为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（2021·全国·九年级单元测试）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且，点A、C、E也在一条直线上，且经测量米，米，米，求河的宽度AB为多少米？【答案】河的宽度为18米．【分析】根据题意得出∽，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：设宽度AB为x米，，∽，，又，，代入得，解得，答：河的宽度为18米．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解题关键是根据题意得出∽．22．（2021·全国·九年级单元测试）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．【答案】（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥DC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE∽△COF；（2）证明：连接DE，∵DE平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∠ABE=90°，∴□ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四边形EFDG是菱形．【分析】解：（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．【详解】解：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；（2）连接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中位线，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四边形EFDG是菱形．考点：1．相似三角形的判定；2．菱形的判定．23．（2021·全国·九年级单元测试）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．【答案】5米【详解】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴由相似得，8米高旗杆DE的影子为：12米．∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12－3－1=8（米）．∴GM=MH=4米．，∵MN=2米，∴．设小桥所在圆的半径为r米，∴，解得：r=5．答：小桥所在圆的半径为5米．由已知根据根据得出旗杆高度，从而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．24．（2021·全国·九年级单元测试）数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．【答案】（1）四边形GHIJ是正方形，证明见解析；（2）画图见解析【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．【详解】（1）四边形GHIJ是正方形．证明如下：如图1．∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，∴∠GJO＝∠JIH＝∠JGH＝90°，∴四边形GHIJ是矩形．∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上，∴FC∥HI，EF∥GH，∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO，∴．又∵FC＝EF，∴HI＝GH，∴四边形GHIJ是正方形；（2）如图2，正方形MNGH为所作．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．25．（2021·全国·九年级单元测试）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2