专题12求圆锥曲线的离心率（教师版）

专题12求椭圆的离心率或离心率的范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.二、考点梳理1、离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．2、.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点）3、在双曲线中，，三、题型突破(一)借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率的范围.【例1】、（1）已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值（2）．（2021·江苏省如皋中学）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】根据三角形的面积建立有关的关系，得到，即可求出离心率.【详解】由题意，如图：由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故椭圆离心率．故答案为：.【小试牛刀】（1）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故选：C（2）．（2021·湖南永州·高三）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，连接､，是的内心，可得､分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线､的距离相等，所以，同理可得，，由比例关系性质可知.又因为，所以椭圆的离心率.故选：A.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.(二)借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】、（1）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.（2）已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，关于原点对称，设，，，故选A.【小试牛刀】．（1）设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】设左焦点为，根据椭圆定义，可得，设，则由可得，整理得，根据可求.【详解】为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，则也在椭圆上，设左焦点为，则根据椭圆定义，又，，是的斜边中点，，设，则，，，，即，，，，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的性质，解题的关键是将离心率表示为关于的函数.（2）．（2021·全国高二单元测试）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，，设，代入椭圆的方程，可得，则，即，即.又因为，所以.故选：A.(三)借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】、（1）（2021·广东广州市第二中学高二月考）已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先设直线，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得，与根与系数的关系联立消元可得，求得椭圆的离心率.【详解】设直线方程为，设，，与椭圆方程联立得，，①，，得②，由①②联立可得，即，得，椭圆的离心率.故选：D【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.（2）．（2021·浙江高一期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别是，，点C在椭圆上，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到，得出，代入椭圆的方程，求得，即可求解.【详解】由题意，可得，设，因为，则，可得，即，因为C在椭圆上，所以，即，所以离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.【小试牛刀】．（1）（2021·合肥百花中学（理））已知椭圆的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则C的离心率为_________．【答案】【分析】根据题意画出示意图，得到，两边平方，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得右焦点为，因为过点作圆的切线，可得，则，即，即，可得，所以.故答案为：.(2)．（2022·浙江高三专题练习）设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率【详解】设，则，，，.，在中，由余弦定理得，，，化简可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，椭圆的离心率，故答案为：.【点睛】题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于之间的关系，进而求解离心率，涉及到了以下考点：（1）椭圆的第一定义（2）三角形的余弦定理（3）离心率的计算(四)根据椭圆自身的性质或基本不等式求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.例4．（1）（2022·江苏高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，在△中，，∴，可得，即，则，∴椭圆的离心率，故选：C．（2）【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．【小试牛刀】（1）已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8,则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函数的最值,难度中等．设,则,．又,当且仅当时,等号成立．所以,所以．故选A．（2）．（2021·浙江温州市·高二期末）如图，点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于、两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率______．【答案】【分析】设椭圆的另一个焦点为，则为平行四边形，由条件可得，然后由椭圆的定义可得，再在用勾股定理，进而求出离心率．【详解】如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，为平行四边形，由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中有，,得，，，由椭圆的定义有：，在中：，即化简整理得:,两边同时除以化为：，解得：.所以椭圆的离心率为：故答案为：.四、迁移应用一、选择题1．（2021·陕西高三开学考试（文））已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.2．（2022·北京石景山区·高三专题练习）两数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（）A． B． C． D．与【答案】C【分析】求出等差中项和等比中项后确定方程表示的曲线，再根据方程求得离心率．【详解】两数1、9的等差中项是，等比中项是，，，曲线为椭圆，且，，，故选：C3．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．【详解】由题设知是直角三角形，，，，，．又由椭圆的定义，得，，故．故选：B．4．（2021·陕西省洛南中学（理））椭圆（）的左右焦点分别为，，过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，求椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，可得，将代入椭圆可得，两点坐标，用参数表示，即得解【详解】由椭圆方程，可知：过垂直于轴的直线交椭圆于，两点，因此将代入椭圆，可得（舍负）故选：A5．（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C于A，B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，再解方程组即可.【详解】由题知：，所以椭圆的标准方程为：.故选：B6．（2019·长沙市南雅中学高二月考）椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上的一点，，且，垂足为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设有，可得，结合椭圆的有界性，列不等式求椭圆的离心率的范围.【详解】若，又四边形为平行四边形，，∴，即，∴，解得.故选：D7．（2021·全国高三）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将点坐标代入椭圆方程得的齐次式，转化后可得离心率．【详解】将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，所以，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：D．8．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形内接于椭圆：（），且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表示出直线，斜率，利用，斜率之积的范围为，得到的范围，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.【详解】平行四边形内接于椭圆，假设不关于原点对称，过点作互相平行的两条直线，分别交椭圆于两点，则由椭圆的对称性，,这与条件不符合.所以由椭圆的对称性可得关于原点对称，关于原点对称.设，，，，直线的斜率，直线的斜率，则，又，都在椭圆上，则，，，，，又，，故选：.9．（2021·南昌市第三中学高三月考（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，，是轴正半轴上一点，线段交椭圆于点，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由焦距得，则直角三角形内切圆半径得，结合勾股定理求得，求得后可得离心率．【详解】由已知，，直角的内切圆半径为，则，又由对称性知，所以，由，所以，即，．所以离心率为．故选：C．10．（2021·浙江嘉兴·高二期中）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由重心公式可得的横纵坐标的和，再由“点差法”结合斜率公式可得，进一步可求得椭圆的离心率.【详解】设，又由原点是的重心，得，即，又是椭圆上的点，，作差可得：，即，即，，故选：D11．（2021·江苏南京市第二十九中学）设，为椭圆：的两个焦点，点在上，且，，成等比数列，则的离心率的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆定义得，再结合基本不等式可建立的不等关系可得答案.【详解】设，，因为成等比数列，所以，由得，即，当且仅当时等号成立，所以椭圆C的离心率的最大值为.故选：B.12．（2021·江苏南通市·高二期末）设，为椭圆的两个焦点，点在上，且成等比数列，则的离心率的最大值为（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由椭圆定义得，再结合基本不等式可建立的不等关系可得答案.【详解】设，，因为成等比数列，所以，由得，即，当且仅当等号成立，所以椭圆C的离心率最大值为.故选：A.13．（2021·四川广元·高二期末（文））椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的切线及椭圆定义可得出的等式，从而求得离心率．【详解】由题意，，所以，所以，所以离心率为．故选：C．14．（2022·浙江高三专题练习）如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，则，根据题意可得从而可求出离心率【详解】如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，，因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，，所以所以可得．故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的定义的应用和椭圆离心率的求法，解题的关键是根据题意作为椭圆M的左焦点，连接，从而可由已知可得，然后在两个直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出离心率，考查转化思想和计算能力，属于中档题15．（2022·全国高三专题练习（理））已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．【详解】解：依题意可得．

又

，，，．

故选：D．

16．（2021·全国高二专题练习）椭圆的焦点为，是上一点，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：D.【点睛】思路点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.17．（2021·黑龙江大庆实验中学（理））大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，再联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求出离心率，突破难点.18．（2021·浙江高二单元测试）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据是正三角形，此时轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由，求得a，b间的关系，从而求得离心率.【详解】因为是正三角形，所以，轴.设，则，，故，解得，从而.将代入椭圆方程可得，因此，得，故椭圆的离心率，故选：D.19．（2021·全国高三专题练习）椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.【详解】设，因为，所以，所以，因为，所以，所以，设中点为H，则，，，代入数据并整理得：，等式两边同除以得：，解得：或(舍).故选：A.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．20．（2021·江西科技学院附属中学高一期末（文））设是椭圆的左､右焦点，若椭圆上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设的中点为，由，即，所以，连接可得，所以，可得，又因为，所以，，在中，，即，可得：，解得，故选：．21．（2021·山东菏泽·高二期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设内层椭圆方程为，由题可知外层椭圆可设成，再根据直线与椭圆的位置关系可求出，即可利用求出离心率．【详解】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成，设切线AC的方程为,与联立得：，由,则,同理可得,,则,因此．故选：D.25．（2022·全国（理））“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致.【详解】若，则，即，所以，由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；若，则，即，所以，由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或故选：C.26．（2021·全国高三专题练习（文））已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上两点关于轴对称，若的斜率之积为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出椭圆的左右顶点，以及利用椭圆的对称性设出的坐标，运用椭圆方程和直线的斜率公式，化简变形，即可求解.【详解】分别是椭圆的左､右顶点，又是椭圆上关于轴对称的两点，设则且，即.故的斜率之积为所以椭圆离心率是故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．27．（2021·重庆高二期末）已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得出，，利用余弦定理可求得，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得该椭圆的离心率的值.【详解】因为点是椭圆上位于第一象限的点，，所以，为锐角，因为是顶角为的等腰三角形，但，故，所以，，由余弦定理可得，由椭圆定理可得，故.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.28．（2020·四川川大附中（理））已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.【详解】由为的边的中线，可得，由在椭圆上存在点满足，可得.当椭圆的焦点在横轴上时，，可得，即，则，所以.当椭圆的焦点在纵轴上时，，可得，即，则，所以.故选：D【点睛】关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.二、填空题29．（2021·广东广州市·高三月考）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且转化求解椭圆的离心率即可．【详解】解：设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，联立直线和椭圆的方程得，整理得，则，，且，可得，则，，所以，可得，所以故答案为：．【点睛】关键点睛:本题的关键是由向量的关系得两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进行求解．30．（2021·全国高二课时练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______．【答案】【分析】由已知等式得出关系式，再由可求得值．得椭圆方程．【详解】由，得，化简得．又，所以，所以，所以椭圆的方程为．故答案为：．31．（2022·全国高三专题练习）与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程为________．【答案】或【分析】分焦点在轴上两种情况，结合基本量间的关系计算求解即可【详解】方法一∵，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为，则，从而，又，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的标准方程为.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为，则，且，解得故所求椭圆的标准方程为故答案为：或32．（2021·江苏省溧水高级中学）已知，分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】由题意画出图形，设，由余弦定理求得，再由椭圆定义求解与的关系，在中，再由余弦定理列式求得椭圆的离心率.【详解】如图,设又,由椭圆定义知,,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案为:33．（2022·全国高三专题练习（理））已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.【答案】【分析】先不妨设的坐标，再求出到直线的距离为，利用等腰三角形的性质，列出，解出即可.【详解】根据题意，把代入中，得，不妨设，且，则到直线的距离为，由，得，则，平方计算得.故答案为：.【点睛】思路点睛：1.不妨设的坐标，再求出到直线的距离为，2.为等腰三角形，且，列出，解出.34．（2021·安徽省舒城中学高三（理））若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】由蒙日圆定义可知在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得，由此可求得椭圆离心率.【详解】过可作椭圆的两条互相垂直的切线和，在蒙日圆上，，解得：，椭圆的离心率.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.35．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为的直线过，且与椭圆的交点为，，与轴的交点为，为线段的中点．若，则椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】设直线为结合已知，求坐标，将其代入椭圆方程整理得，再由题设k的范围求椭圆的离心率的取值范围.【详解】设直线的方程为，则，．又在椭圆上，∴，即，变形得，于是，∴，解得．又，∴，从而得，故椭圆的离心率的取值范围为．故答案为：36．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为________；【答案】【分析】根据椭圆的定义及可知，由椭圆对称性知垂直于轴，即可求解.【详解】不妨设椭圆的方程为，根据椭圆定义，，，因为为正三角形，，所以，即为线段的中点，所以根据椭圆的对称性知垂直于轴.设，则，.所以，即，所以.故答案为：【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，并结合椭圆的对称性得垂直于轴，进而求解.37．（2021·浙江高三）椭圆：的右焦点为，点，在椭圆上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点，则椭圆的离心率___________【答案】【分析】设PQ交x轴于点,分析得到点是椭圆的左焦点，再求出，再根据即得解.【详解】如图所示，的内心恰好是点，由对称性可知，,所以关于轴对称，所以轴，设PQ交x轴于点,则，所以点是椭圆的左焦点，将代入椭圆的方程得，所以，过点M作ME⊥PF，垂足为E，则，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率公式即得解）；（2）方程法（找到离心率的方程解方程即得解）.要根据已知灵活选择方法求解.38．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______【答案】【分析】由题意结合椭圆定义可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，从而求出椭圆的离心率.【详解】如图，点在椭圆上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．39．（2021·山东威海·高二期末）已知A，B是椭圆的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为_________.【答案】【分析】设出点坐标，根据的坐标表示出的结果，由此求得的关系式，结合可求得离心率的值.【详解】设，，所以，又，所以，所以，所以，所以，故答案为：.40．（2021·天津滨海新·）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为_______.【答案】【分析】根据数形结合分析，可得，并根据勾股定理，可得，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，，，又，，且，且，，，根据椭圆的定义可知，由勾股定理可知，即整理为，即，.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.41．（2020·安庆市白泽湖中学高二月考）设点是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是_______．【答案】【分析】设的内切圆的半径为，根据内心的性质，结合三角形面积公式将已知条件化简可得，由此结合离心率公式即可求解.【详解】设的内切圆的半径为，则，，，因为，所以，可得，所以该椭圆的离心率是，故答案为：.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.42．（2021·江西高安中学高二期末（理））椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______．【答案】【分析】设左焦点为，根据椭圆的定义有，，且O是直角三角形斜边的中点，所以，离心率，由角的范围可求得离心率的最大值.【详解】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，所以，所以，由于，所以当时，离心率的最大值为：,故答案为：.【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于的等式或不等式.三、解答题43．（2021·北京房山区·高三开学考试）已知椭圆：过点和点.（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，证明.【答案】（1），；（2）证明见解