2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题19 最值问题含答案

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题19最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上,

就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题

的相关知识与基本方法有：

1、通过枚举选取.

2、利用完全平方式性质.

3、运用不等式（组）逼近求解.

4.借用几何中的不等量性质、定理等.

解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说

明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.

例题与求解

【例1】若c为正整数，且。+人=c,b+c=d,d+a=b,贝U（〃+c）（c+d）（”）

的最小值是.

（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于CR勺信息量最多，应突出C的作用，把a,b,d及待求式用c的代数式表示.

【例2】已知实数a,b满足/+从=1,则/+"+//的最小值是（）

19

A.一一B.OC.lD.-

88

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：对/+。匕+/进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.

［例3］如果正整数X1,冗2，刍，儿，犬5满足X+、2+工3+几+七=%工2工3尤4工5，求尤5的最大值.

解题思路：不妨设<x2<<x4<x5由题中条件可知

1

--------4-=1.结合题意进行分析.

&刍工4七%刍七七%七%/壬3七%12刍匕

【例4】已知x,y,z都为非负数，满足x+y-z=l,x+2y+3z=4,记卬=3x+2y-z,求w的

最大值与最小值.

（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含•个字母的代数式表示M，.

【例5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边

向前每隔100米栽立电线杆一根，己知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的

任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关,

其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.

（湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方

法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.

【例6】直角三角形的两条直角边长分别为5和12,斜边长为13,P是三角形内或边界上的一点，P

到三边的距离分别为4，4，4,求4+4+4的最大值和最小值，并求当4+4+4取最大值和

最小值时，P点的位置.

（“创新杯”熬请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.

能力训练

A级

1.社a,b,C满足〃+〃+C2=9,那么代数式（。-切2+（/?一。）2+（£:一〃）2的最大值是

（全国初中数学联赛试题）

2.在满足1+2），W3,x20,），20的条件下，2x+y能达到的最大值是.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C满足A，B：>C.用a表示A-B,B-C,以及90-A中的最小值，则a

的最大值是.

（全国初中数学联赛试题）

4.已知有理数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,.那么上的取值范围是.

a

（数学夏令营竞赛试题）

5.在式子卜+1|+,+2|+,+3|+,+4|中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的

值是（）.

A.lB.2C.3D.4

6.若a,b,c,d是整数，b是正整数，且满足〃+c=d,d+c=a,h+a=c,那么〃+/?+c+d的最

大值是（）.

A.-lB.-5C.OD.l

（全国初中数学联赛试题）

7.已知x-y=a,z-y=10,则代数式/+）,2+z2一孙一yz-xz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

（江苏省竞赛试题）

8.已知x,y,z均为非负数，且满足x+y+z=30,3x+y-z=50,又设M=5x+4y+2Z,则M

的最小值与最大值分别为（）.

A.110,120B.120,130C.130,140D.140,150

9.已知非负实数X,），，z满足F=记卬=3X+4），+5Z.求卬的最大值和最小值

（“希望杯”邀请赛试题）

(1(XX)+200)x2+(l2(X)+300)x2=54()0米.

故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：

(1()(X)+100)X24-(1100+400)x2+(l500+400)x2

+(1900+400)x2+(2300+400)=19000米

故所用最少油费为19000/77/2+1COO=19〃〃?元

例6如图所示，在△ABC中，ZC=90°,BC=5,4B=13.点尸

至CA,AB的距离分别为4,出，4，连接附,PB，

PC,由三角形的面积公式知：

1x5^1x12^4x^4x5x12.

即5&+124+134=60.

显然有5(4+4+4)《54+124+134《13(4+4+4).

故百工（4+出+4）«12.

当&=4=0时，有4+&+"3=12,即4+4+〃3取最大值时，2与八重合；当4=W=o时,

有4+4++4二"，即4+4+4取最小值时，夕与c重合.

A级

1.27原式++《27

2.6

.…坦一3。+2。+j3(9()j)+2(A-0+伊-C)

3.15提小：a=-----------<----------------------------

66

270-(A+B+C)90一

66

c1c

4.-2<一<—提不：b——ci—c,—ci—c<bi2.ci>—c,—>一2,又把〃=-a—c代入〃>c中,

a2a

cI门八c1

得-a-c<c,—<——.故一2<一<——

a2a2

5.D6.B7.A8.B

v—12—vz—3

9.设^—=———=k,则x=2Z+l,y=-3k+2,z=4k+3.

234'

2）1+1>0

I?

・・・x,y,z均为非负实数.・・・1一3女+220,解得：一一<k<~.

23

4k+3>0

故3=3工+4），+52=3（2攵+1）+4（—3攵+2）+5（4攵+3）=14左+26.

A--x14+26<14Z:+26<-x14+26,即194。<35L

233

所以。的最小值是19,最大值是35L

3

10.20套.1800元.提示：设生产L型号的童装套数为x,则生产M型号的童装为(5()-力套，所得利润

S=45x+30（507）=15x+1500.

0.5x+0.9（50-x）<38

由，

x+0.2（50-x）<26

得17.5W20,x=18,19,20.

11.最小表面积的打包方式为2X3.最小表面积为179最mm?,图略.

B级

1.27当方=2,。=25时，。+〃的值最大.

2.102提示：m=n（19n-98）,19n-98>0.

8z?64b

3.1157提示：a=—一,af=——

8525

4.B,D,E93.62百元

5.13800元提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则

y=5x+6(600-x)+6(800-,v)+9(600+x)

=2x+13800(0<x<6(X))

3bcd

6.C提不：-------------1-------------1-------------1------------<

a+b+c+cla+b+c+da+b+c+da+h+c+d

一abcd

M<----+-----+-----+-----.

a-\-ba+bc+dc+d

故1vMv2.

2人QIQf

7.B提示：设§200=/，则SABOC=二•故5四边形ABU)=13+x+—N13+2\x・—=25.

xxVx

8.(1)(q+%++。2仅)2=〃；+生+•«+&()022+2m=2012+2m.

(%+。2++〃2002)~-2012

m=-------------------------.

2

当4=〃2=…=。2002=1或-1E寸，〃?取最大值2003001.当q,a2,,出002中恰有10°1个八个-1

时，〃2取最小值一1001.

(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025,且q+/+…+%oo2必为偶数，所以

4+生+…+4002=46或Y6；即4,%,,见002中恰有1024个1,978个—1或1024个—1,978个

1W,m取得最小值，462-20()2)=57.

2

9.由条件得：ciy=0,=ciy4-4^(+4,«•6f2006=ci^4-4^^^+4>以上各式相加，得

4(4+4+…+4期)+4x2(X)5=0200b2>0,故4+生++4200s>-2005.由已知

q,%,,，。200s都是偶数，因此q+%++出期之一2004.另一方面，当

4=%=…=%颂=°，4=%=…=4004=一2时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值

是-2004.

10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地。，设A3=c,BC=a,CA=b,AO=x,

BO=y,CO=z（单位：千米），又假定人厂产量为2m,B厂产量为3m,C厂产量为56，1单位：吨）.

仓军在O处的总运费可表示为2〃ir+3〃zy+5/nz；仓库在。处的

b

y

Bc

总运费可表示为2〃必+3，〃4

由于x+zN。，y~\~z>a,Bllit2mx+2inz>2mb,3iny-\-3mz>3ma,两式相力口得2"zx+3〃?y+5〃?z^2〃心+3w,

当且仅当。与C重合时等号成立，所以公用仓库选在。处总运费最省.

11.设巡逻车行到途中6处田了4天，从6到最远处用），天，则有2[3（x+y）+2x]=14xS,即5x十3），

=35.又由题意知，x>0,>•>（）,且14x5-（54-2）x<14x3,即x>4,从而问题的本质即是在约束条件

5x+3y=35,

-A>4,下，求y的最大值，显然），=5,这样200x（4+5）=1800千米，即为其他三辆车可行进的最

）〉0

远距离.

专题20情景应用题

阅读与思考

强调数学应用，突出对应用意识的考查是现今各级考试的显著特点，随着社会不断进步，尤其是改

革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展，许多应用题也烙上了时代的印迹.这些应用题高度关注社会

热点，以丰富的生产、生活实践活动和多彩的市场经济为背景，具有鲜明的时代特点，常见的问题有储蓄

利息、商品利润、股票交易、价格控制、经济预算、企业决策、人口环境等.解决这些问题须注意：

1.理解相关词语的意义，熟悉基本关系式：

①利率=X100%,利息=本金X利率X存期；

本息和=本金+利息=本金X（1+利率X存期）；；

②利润率=X100%,利润=利润率X进货价；

售出价=进货价+利润=进货价X（1+利润率）；

③总成本=固定成本+可变成本.

2.在理解题意、理顺数量关系的基础上，用方程（组）、不等式（组）及相关数学知识解决问题.

例题与求解

[例1]某商店将某种超级DVD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾，外送50元出租费”的广告，结

果每台超级DVD仍获利208元，那么每台超级DVD的进价是元.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：设未知数，利用售出价、进货价、利润之间的关系建立方程.

【例2】某人将甲、乙两种股票卖出，其甲种股票卖价1200元，嬴利20%,其乙种股票卖价也是1200元,

但亏损20%,该人此次交易的结果是（）.

A.不赔不赚B.赚100元C.赔100元D.赚90元

（“祖冲之杯”邃请赛试题）

解题思路：要判断此人交易的结果，关键是计算出该人购买甲、乙两种股票的进价.

【例3】商业大厦购进某种商品1300ft,销售价定为购进价的125%,现计划节日期间按原定售价让利10%

售出至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季

之外要按原定价销售出至少多少件商品？

（河北省竞赛试题）

解题思路：恰当引元，解题的突破口是把“至多”“至少”“赢利”等词语转化为对应的数学关系式.

【例4】某大型超市元旦假期举行促销活动，假定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超

过300元时，按该次购物金额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠，

小美两次购物分别用了94.5元和282.8元.现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么，小丽

应该付款多少元？

（海南省中考试题）

解题思路：先求出小美第二次购物的原价，再分情况讨论.

【例5】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年,

5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购.投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得得租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款.2年后每年可获得租金为商铺标价的10%.但要缴纳租

金的10%作为管理费用.

⑴请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=义100%）

⑵对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一、乙选择了购铺方案二.那么五年后两人获得的收益将相差5万

元向：甲、乙两人各投资了多少万元？

（江苏省无锡市中考试题）

解题思路：在阅读理解的基础上，恰当地设未知数解决问题.

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定

金颖后，按下表返还相应金额.

消费金额（元）300〜400400—500500—600600—700700—800•••

返还金额（元）3060100130150•••

注：300〜400表示消费金额大于300且小于或等于400.其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购物

可以获得双重优惠.例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元.获得优惠额为4O0X（1-80%）

+30=110（元）.

⑴购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

⑵如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价为多少元？

（2013年江苏省南京市中考试题）

解题思路：⑴根据标价商品按80%价格出售，求出消费金额，再根据金额所在的范围，求出优惠额.

⑵先设商品的标价为元，根据购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，来列出不等

式，再分类讨论，求出的取值范围，从而得到答案.

能力训练

A级

1.某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50斩再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为.

（黑龙江齐齐哈尔市中考题）

2.某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得

超过，则可用表示为.

3.某机关有三个部门，部门有公务员84人，部门有公务员56人，部门有公务员60人，如果每个部门按

比例裁减人员，使这个机关仅留公务员150人，那么部门留下的公务员的人数是.

（山东省济南中考试题）

4.某商品降价20%后欲恢复原价，则提价的百分数为（）.

A.18%B.20%C.25%D.30%

（湖北省数学竞赛选拔赛试题）

5.某电脑用户计划使用不超过5。0元的资金购买单价分别为60元、7（）元的单片软件和盒装磁盘，根据需

要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）.

A.5种B.6种C.7神1）.8种

（湖北省武汉市选拔赛试题）

6.某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为20%.若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的

售价提面到每件仍可获利元.则提价后的利润率为（）.

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

7.某商店经销一种商品，由于进价降低了5%,出售价不变，使得利润率由提高到，则值为（）.

A.12B.10C.17D.14

8.某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了件，为进一步扩大市场，

该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本.经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%,

销量将提高10%,要使销售利润保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？

（陕西省中考试题）

9.甲、乙两个仓库要向A,8两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A

地需70吨水泥，8地需110吨水泥。两库到两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨•千米”

表示每吨水泥运送1千米所需人民币）：

路程（千米）运费（元/吨・千米）

甲库乙库甲库乙库

A地20151212

8地252()108

（1）设甲库运往A地水泥K吨，总运费为y,用X的代数式表示），。

（2）当甲、乙两库各运往A8两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

（内蒙古自治区呼和浩特市中考试题）

B级

1.某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标

价为HXXX）元的商品，共省了2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠.

（辽宁省沈阳市试题）

2.某种商品的进货价为每件工元，为了适应市场竞争，商品按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可

获利10%（相对于进价），则/=.

3.某厂生产一种机械零件，固定成本为2万元，每件零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额的

10%。若要使纯利润超过固定成本，则该零件至少要生产个.

（浙江省宁波市中考试题）

4.某商店购进一批水果共6（）（）千克，测得含水量为98%,存放一段时间后，再测得含水量为97%,此时

这批水果的重量为（）.

A.300千克B.40（）千克C.50（）千克D.570.36千克

当年产值■前一年产值

5.定义：一个工厂一年的生产增长率就是:xlOO%

前一年产值

如果该工厂2003年的产值要达到2001年产值的1.44倍・，而且每年的生产增长率都是x,则文等于

（）.

A.5%B.10%C.15%D.20%

6.某种产品由甲种原料。千克，乙种原料〃千克配制而成，其中甲种原料每千克50元，乙种原料每千克40

元，后来调价，甲种原料价格上涨10%,乙种原料价格下降15%,经核算产品成本可保持不变，则。：力的

值是（）.

7.某商场用2500元购进A3两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如卜表所示:

类别

A型8型

价格

进价（元/盏）4065

标价（元/盏）60100

（1）这两种台灯各购进多少盏？

（2）若A型台灯按标价的9折出售，8型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获

利多少元？

（云南省昆明市中考试题）

8.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点，求经销这种

商品原来的利润率.

（全国初中数学竞赛试题）

9.为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一

表的阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基木电价”，第二、三档实行

“提高电价”。具体收费情况如右折线图，请根据图像问答下列问题：

（1）当用电量是18（）千瓦时时，电费是，兀。

⑵第二档的用电量范围是.

⑶“基本电价”是元/千瓦时。

（4）小明家8月份的电裁是3285元，这个月他家用电多少千瓦时？

（2013年湖南省衡阳市中考试题）

10.已知甲、乙两种原料中含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示:

A元素含量单价（万元/吨）

甲原料5%2.5

乙原料8%6

已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨。用乙原料提取每千克4元素要排放废气（）.5吨。若某厂

要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？.

（江苏省无锡市中考试题）

11.某企业计划将N万元资金(其中130<N<150)捐助〃所希望小学，分配的办法依次是，给第一所学

校4万元及剩余款的,：给第二所学校8万元及当前剩余款的工；给第三所学校12万元及当前剩余款的

tnm

-；如此继续下去，即给第A所学校4k万元及所剩余款的,，至第〃所学校恰好分完，并且所有学校得

mm

到的款数相等，试求总捐款数N和学校数〃(其中攵都是正整数).

(山西省太原市竞赛试题)

专题20情境应用题

例11200

例2C

例3426件.提示:设购进价为a元,按原定价至少售出x件(OV.0OOO),节日让利售出y件(O0W1OO),

则axxxl25%+a)，xl25%x(l—10%)+(1000—%—〉)Xaxl25%x60%>1000a,即4x+3y>2000,而乃100,

得Q425.

例4V100x0,9<90<94.5<100,300x0.9=270<282.8.

工设小美第二次购物的原价为x元，则300)x0.8+300x0.9=282.8,解得x=316.

(1)若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小丽应付(316+94.5—300)x0.8+

300x0.9=358.4元.

(2)若小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过30()元，则小丽应付(316+105—300)x0.8

+300x0.9=366.8元.

例5⑴设商铺标价为x万元，则按方案一购买，可获得投资收益(120%—l)A+l•10%x5=20%x+50%x

=0.7■X.

07r

投资收益率为—x1(X)%=70%.

x

按方案二购买，可获得投资L攵益(120%—0.85)x+xJ0%x(l—IO%)x3=().62x.

X100%p72.9%.

().85工

所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.

⑵设甲投资了x万元.由题意得0.7L0.62A=5,解得X=62.5,62.5x0.85=53.125万元.

例6(1)购买一件标价为1000元的商品，消费金额为1000x80=800元.

顾客获得的优惠额为1000x(1—80%)+150=200+150=350元.

(2)设该商品的标价为x元.

当80%xW500,即烂625时，顾客获得的优惠额不超过625x(1—80%)+60=185V226；

当500V80%立600,即625Vx£752时，(1-80%),v>26,解得应630.

所以63OSE75O,

当600V80%吐800x80%,即750V烂800时，顾客获得的优惠大于750x(1—80%)+130=280>226,

综上，顾客标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不小于226元.那么该商品的标价至少为630元.

4级

1.160元2.10°p；3.45人4.C5.C

100+p

6.C提示：设原进价为。元.提价后的利润率为X%.则〃,="20%=a(lI25%)a%=16%.

7.D8.10.4元.

9.(l))，=39200—3x.(2)甲走往A库运水泥70吨时，总运费最省.最省运费为37100元.

B级

1.九2.7003.133334.B5.D6.C

7.(1)4型台灯购进30盏，B型台灯购进320盏.(2)这批台灯全部售完后，商场共获利？20元.

8.17%提示：设原进价为工元，销售价为)，元，则由题意得

()解得=]]

xKX)%+8%='-""Ix]0%,ylx

x93.6%x

9.(1)108(2)高于18()千瓦时且低于450千瓦时的部分(3)0.6(4)由图可知，8月份用电量超过了

450千瓦时.设用了比千瓦时的电,依题意得283.5+(364.5—283.5)*540—450)。-450)=328.5,解得x

=500.

10.设购买甲、乙两种原料分别为4吨和y吨.则

5%-.r-1000+8%->'-1000=20,5x+8y=2,

’"0.1.

5%-x-100x18%-y-1000x0.5<16,5O.v+40y<16,

设购买甲、乙两种原料所需总费用为“，万元，则卬=20-+6)，=2.5*'柠2：+63，=1+2定12

当y=0.1,x=0.24时，wmin=1.2万元.

N

11.设每所学校得款x万元，工=匕，又•・•笫〃所学校得款x=4〃，剩余为零，，N=(4〃)X〃=4〃2,而

n

144

I30VNV150,即130V40〃2<i5D,且〃为整数，.・.4〃2=144,即N=I44,〃=6,x=—=24.

6

专题21从不同的方向看

阅读与思考

20世纪初，伟大的法国建筑家列•柯尔伯齐曾说：“我想，到H前为止，我们从没有生活在这样的几

何时期，周围的一切都是几何学

生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、

放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以下方

面得以体现：

1.立•体图形的展开与折叠；

2.从各个角度观察立体图形；

3.用平面去截立体图形.

观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法.

例题与求解

【例1】如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x+），=

（四川省中考试题）

解题思路：展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体入手.

【例2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小

立方块的个数是（）

丑丑

主视图左视图俯视图

A.5个B.6个C.7个D.8个

（四川省成都中考试题）

解题思路：根据三视图和几何体的关系,分别确定该几何体的列数和每一列的层数.

［例3］由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图.

（1）请你画出这个几何体的一-种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为心求，?的值.

主视图俯视图

（贵州省贵阳市课改实脸区中考试题）

解题思路：本例可以在'‘脑子"中想象完成，也可以用实物摆一摆.从操作实脸入手，从俯视图可推

断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关蛙，而有序思考、

分类讨论，则可避免重复与遗漏.

【例4】如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上.其中，上面正方体的下底面四个顶点

恰是卜面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最卜面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面

积和超过8.那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是

多少？

（江苏省常州市中考试题）

解题思路：所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是所求的面积.从简单入

手，归纳规律.

【例5】把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），请画图表示.

（江城国际数学竞赛试题）

解题思路：本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图

形性质与计算恰当结合.

【例6】建立模型18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、校数（£）之

间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格:

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（f）

四面体44

长方体8612

正八面体812

正十二面体201230

你发现顶点数（V）、面数⑺、棱数（Q之间存在的关系式是.

（2）一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱，则这个多面体的面数是.

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有

24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为4个，八边形的个数为），个，求x+），

的值.

解题思路：对于（1）,通过观察、归纳发现匕F,E之间的关系，并迁移应用于解决（2）,（3）.

模型应用

如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都

相等，求正五边形、正六边形个数.

（浙江省宁波市中考试题改编）

能力训练

A级

1.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是

（山东省荷泽市中考试题）

2

主视图左视图俯视图

左视图左视图

第3题图

2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是

（湖北省武汉市中考试题）

3.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为.

（山东省烟台市中考试题）

4.如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上

颜色（底面不涂色）,则第〃个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有一

（山东省青岛市中考试题）

5.一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面

都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（）

A.19m2B.41m2C.33m2D.3