2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既充分也不必要条件2.已知乘积(a1+a2)(b1A.5 B.7 C.10 D.123.如图，正六棱柱中，A是一个顶点，Pi(i=1,2,…,11)是除A外的其余11个顶点，则AP2⋅A.5

B.3

C.7

D.44.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD，AB：AD=λ(λ>0)，E是棱A1B1的中点，点P是线段D1E上的动点，给出以下两个命题：①无论λ取何值，都存在点PA.①成立，②成立 B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.若An2=30，则n=6.若球的半径为2，则此球的表面积是______．7.已知m=(3,0,2)，n=(x,0,4)，若m//n，则x=8.若直线a/​/平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为______．9.如图，以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB10.若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为11.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.(用数字作答)12.在正方体ABCD−A1B1C13.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______．14.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数a1a2a3a4a5−15.若(1+2x)2024则正整数n的个位数为______．16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是4，E面上的动点，Q是EF中点，EF=2，则PB1三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目．

(1)学生甲不在最左边；

(2)3名男生必须排在一起．18.(本小题8分)

已知在(3x2+1x)n的二项展开式中．

(1)若n=6，求展开式中含19.(本小题10分)

某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为36πcm，高为45cm，圆锥的母线长为30cm．

(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm3)；

(2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？(结果精确到20.(本小题12分)

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式．

(1)求图2中第11行的各数之和；

(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；

(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．21.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，PA=AD=2，AB=BC=1．

(1)证明：AB⊥PD；

(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；

(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ

参考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.6

6.16π

7.6

8.平行或异面

9.(−4,3,2)

10.1

11.96

12.45°

13.16314.126

15.2

16.417.解：(1)3名男生和4名女生站成一排拍照，若学生甲不在最左边，

则先排最左边有A61=6种排法，

剩下的人的全排列有A66=720种排法，

则学生甲不在最左边有6×720=4320种排法；

(2)利用捆绑法，先将3名男生捆绑有A33=6种方法，

再把三名男生作为一个整体与四名女生进行全排列有18.解：(1)当n=6时，(3x2+1x)n=(3x2+1x)6，

此时展开式的通项为Tr+1=C6r(3x2)6−r(119.解：(1)根据题意可知这种“笼具“的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积，

由圆柱的底面周长为36πcm可知，底面圆半径为r=18cm，

又高为ℎ=45cm，所以圆柱体积为V1=πr2ℎ=182×45π=14580πcm3，

由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高ℎ′=302−r2=24cm，

因此圆锥体积为V2=13πr2ℎ′=13×182×24π=2592πcm320.解：(1)第11行的各数之和为：C110+C111+C112+...+C1111=211=2048；

(2)杨辉三角中第2行到第100行各行第3个数之和为：

C22+C32+C42+...+C1002=C33+C32+C42+...+C1002=C1013

=101!3!⋅98!=101×100×9921.解：(1)证明：∵在四棱锥P−ABCD中，

∵PA⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC=∠BAD=π2，

又AD⊂面ADP，AP⊂面ADP，

∴AB⊥面ADP，又PD⊂面ADP，

∴AB⊥PD；

(2)由题意及(1)得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，

在四棱锥P−ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=1，

建系如图所示，根据题意可得：

A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

∴PC=(1,1,−2)，CD=(−1,1,0)，PD=(0,2,−2)，

设M(x1,y1,z1)，∴PM=(x1,y1,z1−2)，

又点M在线段CP上，∴PM//PC，

∴x11