13两条直线的平行与垂直（2）-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

1.3两条直线的平行与垂直（1）（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分一、单项选择题：1．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直【答案】C【分析】计算得到，，再根据正弦定理得到，得到垂直关系.【详解】直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率，故直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直故选：C.【点睛】本题考查了直线的位置关系，正弦定理，意在考查学生的综合应用能力.2．已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（）A．7 B．9 C．11 D．16【答案】B【分析】由已知两直线平行得出满足的关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由题意，，即，∴，当且仅当，即（满足是正整数）时等号成立．∴的最小值是9．故选：B．【点睛】本题考查两直线平行的条件，考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时，注意其条件：一正二定三相等，其中定值有时需要凑配，“1”的代换是常用方法．3．已知直线及与函数图像的交点分别为A,B,与函数图像的交点分别为C,D,则直线AB与CDA．平行 B．垂直 C．不确定 D．相交不垂直【答案】D【分析】求出四个交点的坐标,进而分别求出直线AB,CD的解析式,即可得出答案.【详解】当时,,当时,坐标为,B坐标为设直线AB解析式为,则有,解得,直线AB的解析式为,当时,,当时,坐标为,D坐标为设直线CD解析式为，则有解得,直线CD的解析式为两条直线斜率不相等,且乘积不为1,故直线AB,CD不平行,不垂直,即直线AB,CD相交,故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求法以及直线与直线的位置关系，4．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是A．平行 B．重合C．平行或重合 D．相交或重合【答案】C【分析】利用两点连线斜率公式求出两条直线斜率，根据斜率关系以及是否有公共点可判断出两条直线位置关系.【详解】由题意知：，当时，与没有公共点当时，与有公共点与重合与平行或重合本题正确选项：【点睛】本题考查两条直线位置关系的判断，关键是利用两点连线斜率公式求得斜率，易错点是忽略两条直线是否有公共点.5．记，方程表示的直线为，直线不过点，直线，则直线，的位置关系为A．一定平行 B．平行或重合 C．一定垂直 D．不能确定【答案】A【分析】由题，不过点，可得，将直线易知和直线的斜率相等，截距不相等，可得答案.【详解】因为不过点，所以直线可得：且所以直线，的斜率相等，截距不相等，所以直线，平行故选A【点睛】本题考查了直线的位置关系，斜率相等，截距不相等的直线是平行的，二、多选题6．已知直角三角形的顶点，且，点在直线上，则点的坐标可能为（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设，根据题意可知，即，由斜率公式，解得或，可得答案.【详解】∵点在直线上，可设，根据题意可知，且直线的斜率都存在，故有，即，解得或，故点的坐标为或.故选：AC.7．已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】对分两种情况讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于的方程，解方程即得解.【详解】当时，，，，，直线轴，直线轴，所以直线AB与CD平行.当时，.故选：BC【点睛】本题主要考查平行直线的斜率关系，考查斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m=1或m=3 B．若，则m=3C．若，则 D．若，则【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；，则，，C错，D正确．故选：BD．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．三、填空题9．若直线和直线垂直，则____．【答案】0或【解析】【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．【详解】若，解得或．经过验证只有时，两条直线相互垂直．若，因为直线和直线垂直，则，解得（验证分母不等于）综上可得或0,故答案为0或．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.10．与直线2x＋y－10＝0平行，且在x轴、y轴上的截距之和为12的直线l的方程为________．【答案】2x＋y－8＝0【解析】【分析】根据平行设出直线的方程，求出横截距和纵截距，根据横截距与纵截距的和为列方程，解方程求得直线的方程.【详解】依题意设直线的方程为，故直线过，所以，解得，故直线的方程为.【点睛】本小题主要考查两条直线平行，考查横截距和纵截距的求法，属于基础题.已知直线为，如果一条直线和已知直线平行，则可设直线方程为，通过题目所给另一个条件求得，由此求得直线方程.如果一条直线和已知直线垂直，则可设直线方程为，通过题目所给另一个条件求得，由此求得直线方程.11．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据直线（a+2）x+（a﹣1）y+3a=0可变为a（x+y+3）+2x﹣y=0，令x+y+3=0、2x﹣y=0可得答案．【详解】∵（a+2）x+（a﹣1）y+3a=0，∴a（x+y+3）+2x﹣y=0令x+y+3=0、2x﹣y=0解得：x=﹣1，y=﹣2∴恒过点（﹣1，﹣2）故答案为：（﹣1，﹣2）．【点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成（为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．四、解答题12．已知垂直于3x-4y+1=0的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长是【答案】4x+3y+15=0【解析】【分析】根据直线垂直的条件求出直线的斜率，利用待定系数法结合三角形的周长公式进行求解即可．【详解】解：直线l与直线3x-4y设直线l的方程为y=-4则直线l与x轴的交点坐标为A(34b,0)，与∴|AB|=由题意得|54即|b|=5，得b∴直线l的方程为y=-43x±5，即【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线垂直的等价条件，利用待定系数法是解决本题的关键．13．已知直线l1：ax－y＋b＝0；l2：bx＋y＋a＝0(a∈R，b∈R)．(1)直线l1，l2能否平行？说明理由；(2)若直线l1，l2重合，求证：点P(a，b)与点Q(b，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l1，l2的交点共线．【答案】(1)直线l1，l2不能平行．(2)见解析(3)见解析【分析】(1)由题意，假设直线与平行，列出方程，即可作出判定；(2)由直线重合，求得，即可证得点与点在同一条直线上．(3)由两条直线相交，联立方程组求得交点坐标，即可得到交点都在同一直线上.【详解】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾，所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为，由此可得直线的交点都在直线上．【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的判定与应用，其中解答中熟记平面内两直线的位置关系判定和应用，合理列出相应的方程（组）是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，14．三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．【答案】（1）或或m＝【分析】直线2mx3y+12=0过定点A（0，4），若三条直线能围成直角三角形，则根据直线垂直与斜率之间的关系即可得到结论．【详解】(1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1．若m＝1，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应