第07讲利用导数研究函数的单调性(核心考点讲与练)2021-2022学年高二数学下学期考试满分全（人教A版2019选修第二册第三册）（原卷版）

第07讲利用导数研究函数的单调性(核心考点讲与练)一、单调性【定理】设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）.二、求可导函数单调区间1)确定函数的的定义区间；2)求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3)把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；4)确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.用倒数判断或证明函数的单调性【例1】（2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【例3】（2022·江苏·南师大二附中高二期末）下列结论正确的是（

）A．当， B．当时，C． D．【例4】（2021·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知实数a，b满足等式，则下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．【例5】（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.【例6】（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.【例7】（2022·江苏·高二课时练习）用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．【例8】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：.参考数据：.二、利用导数求函数的单调区间（不含参）【例1】（2022·广东梅州·高二期末）设函数，，，则（

）A． B．C． D．【例2】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数不是“伙伴函数”是（

）A． B． C． D．【例4】（2021·海南·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上单调递减，在上单调递增B．有2个不同的零点C．若a，，则D．若且，则【例5】（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））函数的减区间是____________.【例6】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.【例7】（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知函数.(1)求函数的单调递增区间：(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【例8】（2022·山东·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.三、由函数的单调区间求参数【例1】（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10【例2】（2022·山西大同·高二期末（文））已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．6【例3】（2021·广东普宁·高二期中）已知函数在单调递增，则k的取值可为（）A．1 B．2 C．3 D．4【例4】（2022·浙江温州·高二期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【例5】（2021·湖南·高三阶段练习）已知函数的单调递减区间是，则的值为______.【例6】（2021·江苏·高二专题练习）若函数在单调递增，则实数m的取值范围为________.【例7】（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)若函数为增函数，求实数的取值范围；(2)求证：当时，.【例8】（2021·江苏无锡·高二期末）已知函数，．（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求证在上恒成立．四、由函数在区间上d额单调性求参数【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知函数在、上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【例2】（2021·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设在内单调递增，对任意恒成立，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则B．曲线与直线相切C．若为增函数，则的取值范围为D．在上最多有个零点【例4】（2022·广东高州·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）（注…为自然对数的底数）A． B． C． D．1【例5】（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（文））若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．【例6】（2021·内蒙古·高三阶段练习）已知函数，若对，且都有，则的取值范围是___________.【例7】（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b；(2)若函数为单调函数，求a的取值范围．【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)当为何值时，轴为曲线的切线．(2)设在，单调递增，求的取值范围．(3)用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．五、函数与导数图像之间的关系【例1】（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（文））下面四图是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则正确的是（

）A． B．C． D．【例2】（2018·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则函数的单调性（

）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递减 D．在上单调递减【例3】（2021·全国·高二专题练习）（多选）已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（

）A．实线是的图象，虚线是的图象B．实线是的图象，虚线是的图象C．不等式组的解集为D．不等式组的解集为【例4】（2021·安徽省蚌埠第三中学高二阶段练习（理））已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为________.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，大致作出函数的图象：(1)，，当时，；当时，．(2)，，当时，．【例6】（2020·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习（理））已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围．六、含参分类讨论求函数的单调区间【例1】（2021·陕西西安·高三期中（理））已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2021·四川眉山·高二期末（文））若，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】（2021·全国·高二课时练习）已知函数的导函数为，若，则函数的图象不可能是（

）A． B．C． D．【例4】（2020·河北省玉田县第一中学高二阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（

）．A．当时，由线在处的切线方程为B．当时，函数在上单调递增C．当时，函数在区间上有一个零点D．当时，恒成立，则【例5】（2021·江苏·高二课时练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为___________.【例6】（2021·广东·高三阶段练习）已知函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________．【例7】．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高三期中（文））已知函数.(1)讨论函数的单调性(2)当时，证明不等式成立.（求导公式）【例8】（2022·河北·模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：.分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．（2022·江西南昌·高二期末（理））若函数，则的单调增区间为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））函数的单调递增区间（

）A． B． C． D．3．（2021·江苏如皋·高三阶段练习）偶函数为函数的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）A． B．C． D．4．（2022·重庆八中高二期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江·高二期末）已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是（

）A． B．C． D．6．（2022·江苏·高二单元测试）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．7．（“四省八校”2022届高三下学期开学考试文科数学试题）设函数是偶函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间有（

）A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D．9．（2021·全国·高二单元测试）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（

）A． B．C． D．10．（2021·重庆·铜梁一中高二阶段练习）如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（

）A．在（3，1）内f（x）是增函数 B．在x=1时f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取得极大值11．（2022·山西·康杰中学高二期末）已知是函数的导函数，函数对任意的，都满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．（2021·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知函数，则的单调递增区间是_________.13．（2021·全国·高二课时练习）函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________.14．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（理））函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.15．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知函数的图象关直线对称，且当时，，则不等式的解集为________.四、解答题16．（2022·江苏·高二课时练习）证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．17．（2022·江苏·高二课时练习）讨论下列函数的单调性：(1)；(2)；(3)．18．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，设，求函数的单调区间.19．（2022·湖南邵东·高二期末）设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间．题组B能力提升练一、单选题1．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））已知函数，则的最大值的最小值是（

）A． B． C．1 D．22．（2021·吉林油田高级中学高三开学考试（理））已知函数，若在上的最大值为4，则在上的最小值为（

）A．4 B． C．1 D．23．（2022·江苏高邮·高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2022·四川泸州·二模（文））已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（

）A． B． C． D．5．（2022·河南信阳·高三阶段练习（理））已知定义在上的偶函数（函数的导函数为）满足，，若，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏淮安·高二期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：①，使；②当时，取得最小值；③的最小值为2；④．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①②③C．①②④ D．①②③④8．（2022·重庆市天星桥中学一模）设，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·湖南郴州·高二期末）下列说法正确的有（

）A．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点B．设函数，则导函数恒成立C．函数在附近单调递增D．某质点沿直线运动，位移y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系为，则时的瞬间时速度为410．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数，令，则（

）A．当，恒成立 B．函数在区间上单调递增C．a，b，c中最大的是c D．a，b，c中最小的是a11．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）已知关于x的方程xex－a＝0有两个不等的实根x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））若函数在R上是增函数，则实数的取值范围是____________.13．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则实数a的取值范围是________.14．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（文））已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为___