第13章立体几何初步章末题型归纳总结（原卷版）

第13章立体几何初步章末题型归纳总结章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图经典题型二：外接球、内切球、棱切球经典题型三：空间中的平行关系经典题型四：空间中的垂直关系经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角）经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距）经典题型七：截面问题以及范围与最值问题模块三：数学思想与方法分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图例1．（2023·全国·高一专题练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（

）A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥例2．（2023·全国·高一专题练习）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（

）A．① B．①② C．③ D．①②③④例3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形，则原三角形的面积等于（

）A．1 B．2 C． D．4例4．（2023·高一课时练习）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（

）A． B． C． D．例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（

）A．8 B．10 C．12 D．例6．（2023·河南·高一校联考期中）圆台上､下底面半径分别是，高为，这个圆台的体积是（

）A． B． C． D．例7．（2023·广西贵港·高一校考期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（

）A． B． C． D．例8．（2023·湖南株洲·高一校联考期中）已知球的表面积为，则它的体积为（

）A． B． C． D．例9．（2023·吉林长·高一长春外国语学校校考期末）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（

）A． B． C． D．例10．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，则四棱锥的体积最大值为（

）A． B．C． D．例11．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积（

）A．与都有关 B．与有关，与无关C．与有关，与无关 D．与都无关经典题型二：外接球、内切球、棱切球例12．（2023·贵州六盘水·高一统考期末）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（

）图1

图2A． B． C． D．例13．（2023·高一单元测试）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A． B． C． D．例14．（2023·广西河池·高一统考期末）如图所示长方形，，，，，，分别为，的三等分点，把四边形，分别沿，折起来，使得，重合形成一个几何体，则此几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．例15．（2023·四川广安·高一统考期末）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（

）A． B．5 C． D．例16．（2023·云南保山·高一统考期末）三棱锥，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为（

）A． B． C． D．例17．（2023·山东德州·高一统考期末）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．例18．（2023·河南开封·高一统考期末）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（

）A．该八面体的体积为B．该八面体的外接球的表面积为C．到平面的距离为D．与所成角为例19．（2023·四川成都·高一统考期末）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将△ABC沿对角线AC折起，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（

）A．36π B．64πC．100π D．与二面角BACD的大小有关例20．（2023·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．例21．（2023·高一课前预习）已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为（

）A．4π B．6π C．8π D．10π例22．（2023·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．经典题型三：空间中的平行关系例23．（2023·高一单元测试）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．例24．（2023·浙江·高一期中）如图，正方体中，M是的中点，则下列结论正确的是（

）A．，B．平面，∥平面C．，D．，∥平面例25．（2023·高一单元测试）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3例26．（2023·陕西汉中·高一校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.例27．（2023·安徽滁州·高一校考期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.例28．（2023·高一单元测试）在直三棱柱中，，D是AB中点，．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)证明：平面．例29．（2023·广西百色·高一校考期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF平面BDD1B1；(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．例30．（2023·河南·高一校联考期中）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，分别为正方形和正方形的中心，连接，.(1)证明：平面平面；(2)问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，写出点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由.例31．（2023·北京西城·高一北京师大附中校考期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点.(1)求证：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱锥DABCE的体积；(3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.经典题型四：空间中的垂直关系例32．（2023·河南信阳·高一校考阶段练习）设是直线，是平面，则能推出的条件是（

）A．存在一条直线，， B．存在一条直线，，C．存在一个平面，， D．存在一个平面，，例33．（2023·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例34．（2023·全国·高一专题练习）在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（

）A．平面PDF B．平面PAEC．平面平面ABC D．平面平面例35．（2023·高一单元测试）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（

）A．若m⊥α，n⊥α，则m//n B．若α⊥β，，则l⊥βC．若l⊥α，，则l⊥m D．若l//α，l⊥β，则α⊥β例36．（2023·云南·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..(1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积.例37．（2023·陕西渭南·高一统考期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是的中点.求证：(1)平面；(2).例38．（2023·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：例39．（2023·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，，G是棱的中点．(1)证明：；(2)证明：平面平面．例40．（2023·河南开封·高一统考期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．例41．（2023·湖北武汉·高一校联考期末）若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例42．（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角）例43．（2023·广西玉林·高一校考阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（）A．90° B．60° C．45° D．30°例44．（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．例45．（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在长方体中，，，，则和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°例46．（2023·高一单元测试）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例47．（2023·高一单元测试）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°例48．（2023·四川绵阳·高一校考期末）如图，正方体边长为分别为中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的大小．例49．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）（1）如图，已知正方体的棱长为2，点、分别是正方形和正方形的中心，画出过点、、的截面并求出其面积；（2）在四面体中，，，、分别是、的中点，且，求与所成的角．例50．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.(1)求证：平面BEC；(2)求证：BC⊥平面BDE；(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.例51．（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，分别是，的中点，(1)求证∥平面；(2)求与平面所成角的正弦值．例52．（2023·高一课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．例53．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．例54．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．例55．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由．例56．（2023·全国·高一专题练习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.例57．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．(1)求二面角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由．例58．（2023·高一课时练习）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．例59．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.例60．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥PABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距）例61．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．例62．（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1．（1）点到平面的距离为______；（2）直线和平面的距离为______；（3）直线和平面的距离为______．例63．（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．例64．（2023·高一课时练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．例65．（2023·福建厦门·高一统考期末）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面的距离.例66．（2023·内蒙古通辽·高一开鲁县第一中学校考期中）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面EGF与平面的距离．例67．（2023·甘肃定西·高一定西市第一中学期末）如下图，在三棱锥中，分别是的中点，，.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离.例68．（2023·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)证明：平面PAC；(2)求点到平面的距离.经典题型七：截面问题以及范围与最值问题例69．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）在正方体中，N为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则下列说法中正确的序号是________________．①与是异面直线；②；③平面平面；④过三点的正方体的截面一定是等腰梯形．例70．（2023·高一单元测试）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为__．例71．（2023·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考期末）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的______________.例72．（2023·江西宜·高一江西省万载中学校考阶段练习）用一个平面去截直三棱柱，交分别于点.若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形例73．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为______.例74．（2023·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为___________．例75．（2023·高一单元测试）如图所示，在三棱柱中，底面，，，，为上的动点，则的最小值为________．例76．（2023·全国·高一期末）如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含四边形的边），则下列错误说法的序号是__________.①三角形的面积为；②存在点，满足；③存在无限个点，使得三角形是等腰三角形；④三棱锥的体积有最大值、无最小值.例77．（2023·河南·高一校联考阶段练习）设P，E，F分别是长方体的棱，，的中点，且，M是底面上的一个动点，若平面，则线段长度的最小值为___________.例78．（2023·全国·高一期末）如图所示，有棱长为2的正方体，P为正方体表面的一个动点，若三棱锥的体积为1，则的取值范围是___________.例79．（2023·全国·高一假期作业）如图，在正方体中，E为棱BC的中点，F为棱上的一点（不包含端点），且，过点A，E，F作该正方体的截面．若所得截面是五边形，则的取值范围是______．模块三：数学思想与方法分类与整合思想例80．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）A． B．或C． D．或例81．（2023·上海·高二专题练习）如果点是两条异面直线、外一点，则过点且与、都平行的平面个数的所有可能值是（

）A．1 B．2 C．0或1 D．无数例82．（2023·全国·高三专题练习）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（

）A．1 B．4C．7 D．8例83．（2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．1例84．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．等价转换思想例8