2024-2025学年新教材高中数学第3章不等式3.2.2基本不等式的应用课时素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价十二基本不等式的应用(15分钟35分)1.已知a>b>0,全集为R,集合M=xb<x<QUOTE,N={x|QUOTE<x<a},P={x|b<x≤QUOTE},则M,N,P满意 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得,a>QUOTE>QUOTE>b,故P=M∩(RN).2.某工厂第一年产量为A,其次年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则 ()A.x=QUOTE B.x≤QUOTEC.x>QUOTE D.x≥QUOTE【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤QUOTE,所以1+x≤1+QUOTE,故x≤QUOTE.3.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+QUOTE,n=a+QUOTE,则m+n的最小值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解题指南】利用“1”的代换解题.【解析】选B.因为ab=1,所以m=b+QUOTE=2b,n=a+QUOTE=2a,所以m+n=2(a+b)≥4QUOTE=4.当且仅当a=b=1时,等号成立.【补偿训练】若实数a,b满意QUOTE+QUOTE=QUOTE,则ab的最小值为 ()A.QUOTE B.2 C.2QUOTE D.4【解析】选C.由题意知a>0,b>0,则QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即b=2a时等号成立.所以QUOTE≥QUOTE,即ab≥2QUOTE.4.周长为QUOTE+1的直角三角形面积的最大值为________.

【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则QUOTE+1=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE,解得ab≤QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE时取等号,所以直角三角形面积S≤QUOTE,即S的最大值为QUOTE.答案:QUOTE5.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________.

【解析】总运费与总存储费用之和f(x)=4x+QUOTE×4=4x+QUOTE≥2QUOTE=160,当且仅当4x=QUOTE,即x=20时取等号.答案:206.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤QUOTE.(2)QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤QUOTE.(2)因为QUOTE+b≥2a,QUOTE+c≥2b,QUOTE+a≥2c.故QUOTE+QUOTE+QUOTE+(a+b+c)≥2(a+b+c),即QUOTE+QUOTE+QUOTE≥a+b+c.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若x,y为正数,且QUOTE+2y=3,则QUOTE的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由x,y为正数得3=QUOTE+2y≥2QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTE,当且仅当x=QUOTE,y=QUOTE时等号成立.2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形态为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且奢侈最少)的是 ()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,则QUOTEab=2,所以ab=4,l=a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE=4+2QUOTE≈6.828(m).因为要求够用且奢侈最少,故应选择7m长的铁丝.3.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE+QUOTE≥QUOTE恒成立,则m的最大值为 ()A.9 B.12 C.18 D.24【解析】选B.由QUOTE+QUOTE≥QUOTE得m≤(a+3b)QUOTE=QUOTE+QUOTE+6,又QUOTE+QUOTE+6≥2QUOTE+6=12,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=3b时等号成立.所以m≤12,所以m的最大值为12.【补偿训练】设a>0,b>0,且不等式QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0 B.4 C.-4 D.-2【解析】选C.由QUOTE+QUOTE+QUOTE≥0,得k≥QUOTE,而QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥4,当且仅当a=b时,等号成立,所以-QUOTE≤-4,因此要使k≥-QUOTE恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.4.若x,y为正数,则QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.3 B.QUOTE C.4 D.QUOTE【解析】选C.QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥4,当且仅当QUOTE即x=y=QUOTE时等号成立.【误区警示】同一题目中多次用基本不等式,必需保证每次用时等号成立的条件相同.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知a>0,b>0,a+b=1,对于代数式1+QUOTE1+QUOTE,下列说法正确的是 ()A.最小值为9B.最大值是9C.当a=b=QUOTE时取得最小值D.当a=b=QUOTE时取得最大值【解析】选AC.QUOTE=1+QUOTE1+QUOTE=QUOTE·QUOTE=5+2QUOTE≥5+4=9.当且仅当a=b=QUOTE时,取等号.6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采纳了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=QUOTEx2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下推断正确的是 ()A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20000元C.该单位每月不获利,也不亏损D.每月须要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为QUOTE=QUOTEx+QUOTE-200≥2QUOTE-200=200,当且仅当QUOTEx=QUOTE,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-QUOTE=-QUOTEx2+300x-80000=-QUOTE(x-300)2-35000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80000,-40000].故该单位每月不获利,须要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.

【解析】设两数分别为x,y,即4x+9y=60,QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE×(13+12)=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,且4x+9y=60,即x=6且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.答案:64【补偿训练】设x,y均为正数,且xy+x-y-10=0,则x+y的最小值是________.

【解析】由xy+x-y-10=0,得x=QUOTE=QUOTE+1,所以x+y=QUOTE+1+y≥2QUOTE=6,当且仅当QUOTE=1+y,即y=2时,等号成立.答案:68.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的改变关系为C=QUOTE,则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大.

【解析】C=QUOTE=QUOTE.因为t>0,所以t+QUOTE≥2QUOTE=4当且仅当t=QUOTE,即t=2时,等号成立.所以C=QUOTE≤QUOTE=5,即当t=2时,C取得最大值.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,又x>0,y>0,则1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得QUOTE+QUOTE=1,则x+y=QUOTE·(x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油QUOTE升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t=QUOTE(h),y=QUOTE×2×QUOTE+14×QUOTE,x∈[50,100].所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=QUOTE+QUOTEx,x∈[50,100].(或y=QUOTE+QUOTEx,x∈[50,100]).(2)y=QUOTE+QUOTEx≥26QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTEx,即x=18QUOTE时,等号成立.故当x=18QUOTE时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26QUOTE元.1.已知正实数a,b,c满意a2-2ab+9b2-c=0,则当QUOTE取得最大值时,QUOTE+QUOTE-QUOTE的最大值为________.

【解析】正实数a,b,c满意a2-2ab+9b2-c=0,得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=3b时,QUOTE取最大值QUOTE.又因为a2-2ab+9b2-c=0,所以此时c=12b2,所以QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE≤QUOTE=1.当且仅当a=3,b=1时,等号成立.故最大值为1.答案:1【补偿训练】设a>b>c>0,则2a2+QUOTE+QUOTE-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2QUOTE D.5【解析】选B.2a2+QUOTE+QUOTE-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+QUOTE+QUOTE=(a-5c)2+ab+QUOTE+a(a-b)+QUOTE≥0+2+2=4,当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时,等号成立,如取a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE时满意条件.2.我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,QUOTE≥QUOTE,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不