2024-2025学年新教材高中数学第一章三角函数专题训练含解析北师大版必修第二册

PAGE专题强化训练(一)三角函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．sin(－60°)的值是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)C[sin(－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).]2．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))的图象的两条相邻对称轴间的距离为()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．πB[T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，所以两条相邻对称轴间的距离eq\f(1,2)T＝eq\f(π,4).]3．函数y＝sin3x的图象可以由函数y＝cos3x的图象()A．向左平移eq\f(π,3)个单位得到B．向右平移eq\f(π,3)个单位得到C．向左平移eq\f(π,6)个单位得到D．向右平移eq\f(π,6)个单位得到D[∵sin3x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))))).∴函数y＝cos3x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位即可得到函数y＝sin3x的图象，故选D．]4．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于()A．－eq\f(π,2) B．2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)C．kπ(k∈Z) D．kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)D[若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．]5．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))图象上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，t))向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,6)B．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,6)C．t＝eq\f(1,2)，s的最小值为eq\f(π,3)D．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π,3)A[由题意得，t＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，故此时P′所对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(1,2)))，此时向左平移eq\f(π,4)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)个单位，故选A．]二、填空题6．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))的最小正周期为π，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝________.1[由题设知eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,2)＝1.]7．函数y＝tan2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．[0，eq\r(3)][函数y＝tan2x在区间x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上单调递增，所以值域是[0，eq\r(3)]．]8.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝eq\r(3)sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝eq\f(π,2)，则该函数的最小正周期是________．4[连接AB(图略)，设AB与x轴的交点为C，则由∠AOB＝eq\f(π,2)，得CO＝CA＝CB．又OA＝CA，所以△AOC是高为eq\r(3)的正三角形，从而OC＝2，所以该函数的最小正周期是4.]三、解答题9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2)的相邻对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，且该函数图象的一个最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2)).(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，求函数f(x)的最大值和最小值．[解](1)由题意有：A＝2，T＝π，即ω＝eq\f(2π,T)＝2，由当x＝eq\f(π,12)时，函数f(x)取最大值，即2×eq\f(π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，解得φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，即f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，(k∈Z)故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈[1,2]，故函数f(x)的最大值为2，最小值为1.10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对随意实数x满意f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sinα)>f(cosβ)．[证明]∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)的周期为2.∴f(x)在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．∴f(x)在[－1,0]上单调递减．∵f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．∴f(x)在[0,1]上单调递增．①∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α＋β>eq\f(π,2)，∴α>eq\f(π,2)－β，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).又∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，∴sinα>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝cosβ，即sinα>cosβ.②由①②，得f(sinα)>f(cosβ)．11．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)B．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)C．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)D．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)B[函数y＝2sin2x的图象的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，因此平移后函数图象的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，即x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．]12．函数f(x)＝lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))的单调递增区间为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))A[设t＝2x－eq\f(π,6)，即f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint))，t的取值须要满意两个条件，一是保证sint>0，二是保证f(x)＝sint单调递增，所以，0＋2kπ<t<eq\f(π,2)＋2kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，即0＋2kπ<2x－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)＋2kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，解得eq\f(π,12)＋kπ<x<eq\f(π,3)＋kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)).]13．(多选)函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))图象的一条对称轴在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，则满意此条件的一个φ值为()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,9)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,6)AB[令2x＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)(k∈Z)，因为函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))图象的一条对称轴在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，所以令eq\f(π,6)<eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)<eq\f(π,3)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,6)<φ<kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，四个选项中AB符合，故选AB．]14．若函数f(x)＝sinωxeq(\a\vs4\al\co1(ω>0))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝________.eq\f(3,2)[由于函数f(x)＝sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，eq\f(π,3)为函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的eq\f(1,4)周期，故eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，解得ω＝eq\f(3,2).]15．如图