2021年内蒙古包头市中考数学试卷（解析版）

第1页（共1页）2021年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1．（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6 B．5 C．4 D．32．（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（）A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．3．（3分）（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线段AD的长为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或34．（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）A． B． C． D．5．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，以点A为圆心，交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣6．（3分）（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣27．（3分）（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．（3分）（2021•包头）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°9．（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（）A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则1+a＞1﹣a C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形10．（3分）（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（3分）（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（）A． B． C． D．12．（3分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0），与对角线OB交于点E，与AB交于点F，DE，EF①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13．（3分）（2021•包头）因式分解：+ax+a＝．14．（3分）（2021•包头）化简：＝．15．（3分）（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为．16．（3分）（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8．17．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为．18．（3分）（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为．19．（3分）（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为．20．（3分）（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的面积为．三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21．（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，解答下列问题：甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩（分）708090100人数3ab5（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．22．（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点km，CD长为（+），BD长为km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；（2）求隧道AB的长度．23．（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．24．（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，交于点G，交AD于点M，DE，DF．（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝225．（12分）（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若，求证：4EF＝3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．26．（12分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）（1）如图1，当m＞0，n＞0，①求点M的坐标；②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，），当m＞2，n＞0，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF

2021年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1．（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为7.661×10n，则n等于5．故选：B．2．（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（）A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．【解答】解：因为|1+（﹣4）|＝|﹣8|＝3，|（﹣1）5|＝|1|＝1，|（﹣6）﹣1|＝|﹣|＝，|，且＜6＜2＜3，所以绝对值最大的是选项A．故选：A．3．（3分）（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线段AD的长为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【解答】解：根据题意分两种情况，①如图1，∵AB＝4，BC＝5，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝；②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝×6＝3．∴线段AD的长为2或3．故选：C．4．（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：两双不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一双鞋，B，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，所以取出的鞋是同一双的概率＝＝．故选：A．5．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，以点A为圆心，交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣【解答】解：根据题意可知AC＝＝＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（＝1﹣，故选：D．6．（3分）（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣4＝，∴（x﹣1）8＝2，即x2﹣7x+1＝2，∴x6﹣2x＝1，∴x5﹣2x+2＝8+2＝3．故选：C．7．（3分）（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解∵a⊗b＝a﹣2b，∴x⨂m═x﹣2m．∵x⨂m＞2，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣3，∴2m+3＝﹣2，∴m＝﹣2．故选：B．8．（3分）（2021•包头）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠7+∠3＝180°，∵∠1+∠7+∠3＝240°，∴∠2＝240°﹣（∠5+∠3）＝60°，∵∠3+∠6+∠5＝180°，∠3＝50°，∴∠7＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，∵l7∥l2，∴∠4＝∠4＝70°，故选：B．9．（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（）A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则1+a＞1﹣a C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形【解答】解：A、在函数y＝﹣＜0，y随x的增大而增大，不符合题意；B、若a＜6，故原命题错误；C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，不符合题意；D、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题，故选：D．10．（3分）（2021•包头）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．∴﹣b＞0．∴b＜7．∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（3，﹣b）．∴﹣b＝a﹣b+c．∴a+c＝0．∵a≠0．∴ac＜6．∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．故选：C．11．（3分）（2021•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，∴BD＝＝＝5，∵CE⊥CD，∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，∴∠CAO＝∠ECO，∴tan∠ECO＝＝，∴，∴EO＝，∴AE＝，∴＝＝，方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB．故选：D．12．（3分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0），与对角线OB交于点E，与AB交于点F，DE，EF①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①矩形OABC中，∵B（4，2），∴OA＝8，OC＝2，由勾股定理得：OB＝＝4，当y＝2时，8＝，∴x＝1，∴D（4，2），∴CD＝1，由勾股定理得：OD＝＝，∴sin∠DOC＝＝＝，cos∠BOC＝＝，∴sin∠DOC＝cos∠BOC，故①正确；②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），把（7，2）代入得：4k＝3，∴k＝，∴y＝x，当x＝时，∴E（2，3），∴E是OB的中点，∴OE＝BE，故②正确；③当x＝4时，y＝，∴F（4，），∴BF＝2﹣＝，∴S△BEF＝（4﹣2）＝，S△DOE＝﹣﹣＝4﹣4﹣＝，∴S△DOE＝S△BEF，故③正确；④由勾股定理得：DF＝＝，∵OD＝，∴＝，即OD：DF＝2：3．故④正确；其中正确的结论有①②③④，共4个．故选：A．二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13．（3分）（2021•包头）因式分解：+ax+a＝a（x+1）2．【解答】解：原式＝a（x4+x+1）＝a（x+1）2，故答案为：a（x+1）6．14．（3分）（2021•包头）化简：＝1．【解答】解：原式＝•（m+2）＝＝1．故答案为2．15．（3分）（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为2．【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+7，∴2b﹣1+b+2＝0，∴b＝﹣1．∴b+6＝﹣1+4＝4，∴a＝9．∴a+b＝9+（﹣6）＝8，∵8的立方根为4，∴a+b的立方根为2．故答案为：2．16．（3分）（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为83.6．【解答】解：根据题意，数据5，7，x，10的中位数为8，则有x＝8，这组数据的平均数为（5+10+7+3+10）＝8，则这组数据的方差S2＝[（5﹣4）2+（10﹣8）7+（7﹣8）4+（8﹣8）4+（10﹣8）2]＝3.6，故答案为：3.5．17．（3分）（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．18．（3分）（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为24+6．【解答】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴∠EOD+∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，∴FC＝OE，∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝5，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝5，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2+FC2＝32+42＝45，∴AB＝OC＝3，∴▱ABCD的周长为12+12+3+6，故答案为：24+8．19．（3分）（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为22.5°．【解答】解：如右图，连接AE，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°，∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.3°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.3°＝135°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠BEF＝135°﹣112.7°＝22.5°，∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝＝67.6°，∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，在△ADE和△EDC中，，∴△ADE≌△EDC（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.6°＝67.5°，∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.7°，故答案为：22.5°．20．（3分）（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的面积为4．【解答】解：当y＝0时，x2﹣4x﹣3＝0，解得x2＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，B（3，抛物线的对称轴为直线x＝4，当x＝0时，y＝x2﹣4x﹣3＝﹣3，则C（6，当x＝4时，y＝x2﹣3x﹣3＝5，则D（2，连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，7），5）代入得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+5＝2，2），当x＝4时，y＝x+1＝1，5），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×8×1+．故答案为4．三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21．（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，解答下列问题：甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩（分）708090100人数3ab5（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），∵b＝5a，∴a＝4，b＝8；（2）小明的计算不正确，正确的计算为：＝87.5（分）；（3）竞赛成绩较好的是甲组，理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100×+90×+70×，80.5＜87.7，∴竞赛成绩较好的是甲组．22．（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点km，CD长为（+），BD长为km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；（2）求隧道AB的长度．【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：则∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AC＝，AE＝（km），∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝×＝；（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝，∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB＝＝＝3（km），即隧道AB的长度为3km．23．（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），∵在家取作业本和取自行车共用了3分，∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+4.5+3＝22.7（分）．又∵22.5＞20，所以小刚不能在上课前赶回学校．24．（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，交于点G，交AD于点M，DE，DF．（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），∵GF⊥AB，AD为圆的直径，∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，∴∠GAE＝∠FAD，∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，∵四边形AEDF是圆的内接四边形，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∴∠GAD+∠EDF＝180°．（2）解：如图，连接OF，∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴＝，∵tan∠ABC＝＝2，∴＝2，∵∠ACB＝45°，∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，∴∠AOF＝90°，∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），∴△AHM∽△FOM，∴＝＝5，∵AD＝4，∴OF＝OA＝2，∴＝5，AM＝OA﹣OM＝1，设HM＝x，则AH＝2x，在Rt△AHM中有：AH8+HM2＝AM2，即（7x）2+x2＝8，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴AH＝，∵OF＝OA＝2，∴AF＝2，在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF8，即（）2+HF2＝（5）2，解得HF＝，或HF＝﹣，故HF的长为．25．（12分）（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若，求证：4EF＝3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，在△BAP和△BCD中，，∴△BAP≌△BCD（SAS），∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，∵∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠CBD+∠PBC＝60°，即∠PBD＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴∠BPD＝60°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°，∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；（2）如图2，连接AP交BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BP＝CP，∴AD⊥BC，BD＝CD＝AB，∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，∵AB＝4BP，∴BP＝AB，∴PD＝＝＝AB，∴PD＝AD，∵EC＝3BE，∴BE＝BC，∵BD＝BC，∴BE＝BD，∴EP是△ABD的中位线，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝＝＝，∴6EF＝3AB；（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，交AC于点F，由（2）得：AD＝AB＝3a，BC＝AC＝AB＝6a，∵∠CMP＝150°，∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，∵∠CHP＝90°，∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝