专题41双曲线及其几何性质（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练专题41双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质双曲线定义双曲线离心率焦点三角形双曲线渐近线双曲线方程双曲线渐近线双曲线方程面积周长面积周长练高考明方向1.（2022·全国乙（理）T11）11.双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.2.（2022·全国甲（文）T15）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．3.（2022·全国甲（理）T14）.若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．4.（2022·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．5.（2022·浙江卷T16）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．6．(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 ()A． B． C． D．7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为 ()A．4 B．8 C．16 D．328．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a= ()A．1 B．2 C．4 D．89．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 ()A． B． C． D．10．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为() A． B． C． D．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()A． B． C． D．13．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则 ()A． B． C． D．14．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ()A． B． C． D．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 ()A．2 B． C． D．16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为 ()A． B． C． D．217．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ()(A)(B)(C)(D)18．(2015高考数学新课标2理科)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为 ()A． B． C． D．19．(2015高考数学新课标1理科)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是 ()A．(，)B．(，)C．(，) D．(，)20．(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ()A． B．3 C． D．21．(2013高考数学新课标1理科)已知双曲线：()的离心率为，则的渐近线方程为 ()A． B． C．． D．22．(2012高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ()A． B． C．4 D．823．(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．24．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______________．25．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，，则的离心率为．26．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为___．讲典例备高考类型一、双曲线的定义基础知识：1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．基本题型：1.设双曲线的焦点为,点为上一点,,则为()A. B. C. D.2、已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)3．(多选)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝req\o\al(2,1)和C2：(x－2)2＋y2＝req\o\al(2,2)，其中常数r1，r2为正数，满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P为双曲线右支上的一点，满足|PF1|＋|PF2|＝eq\f(3,2)|F1F2|，且|PF2|，|PF1|，|F1F2|依次成等差数列，则双曲线的离心率为______．基本方法：1、双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题．(3)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．/2、利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：(1)距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．类型二、求双曲线的标准方程基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)基本题型：1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（

）A． B． C． D．3．（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是______．基本方法：求双曲线标准方程的基本方法：（1）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值（2）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解。类型三、求双曲线离心率基础知识：离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)，2、渐近线与离心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)。基本题型：1．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\r(7) D．72．设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)3．如图为陕西博物馆收藏的国宝唐金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则此双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．34．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则（

）A．B．C．D．5、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则双曲线的离心率____．基本方法：1、求双曲线离心率的方法(1)求出a，b，c的值，根据e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e；(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等．(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k＞0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k＜0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1).类型四、有关双曲线焦点三角形问题基础知识：1、“焦点三角形”：双曲线上除与实轴的交点外的任意一点与双曲线两焦点的连线所构成的三角形叫做焦点三角形。2．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系。基本题型：1．设已知双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为()A．3eq\r(2) B．6eq\r(2)C．9eq\r(2) D．18eq\r(2)2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．3．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能4．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（

）A．B．C． D．5．（多选题）已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（）A．点P的横坐标为B．C．的内切圆半径为1D．平分线所在的直线方程为基本方法：1、若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.2、若P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.类型五、有关双曲线渐进线的问题基础知识：焦点在x轴上的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点在y轴上的标准方程eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x渐近线方程y＝±eq\f(a,b)x基本题型：1．双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的顶点到其渐近线的距离为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(6),3)C．1D.eq\r(3)2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且xeq\o\al(2,0)＋y20＝b2，若eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝0，且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝3|eq\o(F1N,\s\up7(→))|，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±2x3．已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线交的一条渐近线于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的渐近线方程为.4．已知双曲线C过点(2eq\r(3)，－1)，且与双曲线eq\f(x2,12)－eq\f(y2,6)＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．基本方法：1、求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程时，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．2、等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).3、若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4、双曲线的焦点到渐近线的距离为b.类型六、与双曲线有关的最值或范围问题基本题型：1、已知点F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是()A．(1,3) B．(1,3]C．(1，eq\r(3)] D．[eq\r(3)，3]2．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))3．已知P是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5)D．2eq\r(2)＋14、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝eq\f(π,2)，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5)＋1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)＋1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))5、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率大于eq\r(6)，则m的取值范围为_____________。基本方法：求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法：(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．新预测破高考1.双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.2.若双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，则的虚轴长是（）A. B. C. D.3.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A.B.C.D.4、已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A．x＝0 B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1或x＝05.过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.答案：B【详解】由题得，∴（1），∵（2），6．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝17.点满足关系式，则点的轨迹是（）A.线段B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支8．已知圆(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(1,2)C．(eq\r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)9．(多选)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，则下列说法正确的是()A．|F2P|＝bB．双曲线的离心率为eq\r(3)C．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)xD．点P在直线x＝eq\f(\r(3),3)a上10.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且实轴长为，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.或D.或11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.12．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲