专题09向量的性质及其应用

专题09向量的性质及其应用专题点拨能灵活运用两个重要结论解决问题：(1)(D是BC中点).(2)已知点不共线，且，则点共线的充要条件是.2．运用建立坐标系的方法解决向量问题时，遵循向量的坐标易于表示的原则.3．会用向量点乘向量等式(作数量积、两边平方、向量投影的几何意义)方法解决问题.4．能熟练地运用向量运算的几何意义作图求解.真题赏析（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【分析】设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②【解答】解：不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：．例题剖析【例1】在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为，其中，，2，3，4，，且，则的最大值为．【答案】【解析】由向量的投影的几何意义有：的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在向量方向上的投影最大，且为，故答案为：．【变式训练1】（2021•浦东新区校级三模）已知边长为2的正方形边上有两点、，满足，设是正方形的中心，则的取值范围是．【分析】本题可采用数形结合法进行求解，具体过程详见解析．【解答】解：根据题意，以点为原点建立平面直角坐标系，设，则有，又由余弦定理可得，，所以所以．①当点，为正方形对角顶点时，，此时，此时，，则有，即为的最小值．②当点，在同一条边上时，若，分别为该边的两个端点时，，且，，此时，即为该情况下的最小值；若点为边的中点，为边的端点时，假设，，，此时，即为该情况下的最大值．③当，在相邻边上时，只有当时，取得极值，此时．综上可得，的取值范围为，．故答案为：，．【例2】已知平面向量、满足条件：，，，，若向量．且，则的最小值为．【答案】【解析】由题意可设，，，且设，，，，则，即，在以为圆心，以为半径的圆上，，，故答案为：．【变式训练2】已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为．【答案】【解析】，，令，则，点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则，点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，最大值为，即最大值为．故答案为：．【例3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、，，则．【答案】【解析】欲得到，可用与已知等式作数量积，即，结合投影的几何意义，有(过O作，则D是AC中点)将数值代入化简，得.将用表示，可得.【变式训练3】已知圆心为、半径为的圆上有三点、、．若，则______________．【答案】【解析】方法一两边平方，得.因此，.方法二分析设.分别用与作数量积，可得巩固训练填空题1.（2021•金山区二模）已知向量与的夹角为，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为．【分析】先得到，从而在直线上，再由数形结合即可得到范围．【解答】解：如图所示，设，，，，，，又，在直线上，当与同向时，即与重合时，在上的投影最大为，作，此时在上的投影为，但取不到，在上的投影最小值大于，在上的投影的范围为，，故答案为：，．2.（2021•浦东新区二模）已知、，若曲线上存在两个不同的点满足条件，则的取值范围为．【分析】化简向量的数量积，利用向量在上的投影值，判断求解即可．【解答】解：由题意，可知，当，是向量在上的投影，曲线上存在两个不同的点满足条件，如图中的红色直线与半个圆有两个交点，红色直线的斜率为，直线方程设为：，直线与圆有2个交点，可知，，解得，此时，，即，．故答案为：，．3.已知圆，圆．直线、分别过圆心、，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为．【答案】3【解析】由题意可得，，，，，，为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．4.（2021•普陀区模拟）已知向量，的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，，，，都有成立，则的最小值为．【分析】由，且、以及已知不等式把恒成立问题转化为只需，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，且、，则恒成立，所以恒成立，只需，又，当且仅当时取等号，此时的最大值为，所以，即的最小值为，故答案为：．5.（2021•浦东新区三模）已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为．【分析】由题意画出图形，令，，可得，，，共线，进一步说明当、关于轴对称时，最小，求出到的距离，进一步求得的最小值．【解答】解：由题意，，令，，故有，，，共线，为定值，在△中，由余弦定理可得，，当且仅当时，取最大值，此时△面积最大，则到距离最远，即当且仅当、关于轴对称时，最小，此时到的距离为，，即．故答案为：．6.（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为．【分析】将已知化为，然后过点作于，过点作于，由已知面积关系可得，在的两边同时点乘，利用向量的运算性质化简求，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，所以，如图所示，过点作于，过点作于，因为的面积是的面积的倍，所以，从而，在的两边同时点乘，得，又，从而，即，整理可得，所以，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故答案为：．二、选择题 7．设表示平面向量，，都是小于9的正整数，且满足，，则和的夹角大小为A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得：，由，又因为，都是小于9的正整数，则，，又，所以，所以，又，所以，故选：．8．（2021•杨浦区二模）在四边形中，，且满足，则A．2 B．6 C． D．【分析】根据题意求出四边形是菱形，求出对角线的长即可．【解答】解：，为的角平分线，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，如图示：结合题意，故，，而，故，故选：．9．（2021•闵行区二模）如图是函数在一个周期内的图象，该图象分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴上的基本单位向量，则A． B． C． D．【分析】根据题意先求出，的坐标，结合题意得为的中点，，然后结合向量数量积的坐标表示可求．【解答】解：由题意得，，为的中点，，，，，，所以．故选：．三、解答题10.已知点是的中线上任意一点，且，实数满足：.记，，，，，若乘积取最大值时，求此时的值.【解析】设，，则．结合图形，可算得，．于是，．当时，等号成立．因此，乘积取最大值时，点P是EF的中点．所以，．代入，得．又不平行，所以，所求．11.已知为坐标