专题05立体几何初步-1

专题05立体几何初步专项突破考向一：共面问题的证明【例题】下列说法错误的是（

）A．三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内【答案】A【分析】由平面的基本事实及其推论可判断正误.【解析】A.只有不共线的三个点可以确定一个平面，故错误；B．两条平行直线可确定一个平面，故正确；C.两条相交直线可确定一个平面，故正确；D.一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，正确；故选：A【思路总结】证明点线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论.证明点线共面的常用方法有：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明α、β重合。【方法归纳】第Ⅰ步：首先观察是否可以利用公理2证明，若不能，可以先证明其中一些点、线确定一个平面α。第Ⅱ步：再证明其余元素也在平面α内。第Ⅲ步：或证明其余元素确定平面β，然后证明α与β重合。【变式训练1】工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（

）A．两条相交直线确定一个平面B．两条平行直线确定一个平面C．四点确定一个平面D．直线及直线外一点确定一个平面【答案】A【分析】利用平面的基本性质求解.【解析】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A【变式训练2】在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（

）A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误.【解析】因为，则，，，四点共面.因为，则平面，又平面，则点在平面与平面的交线上，同理，、也在平面与平面的交线上，所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面.由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面.故选：C.考向二：求异面直线所成的角【例题】正四棱锥PABCD中，底面边长与侧棱长均相等，E为PC的中点，则异面直线DE与AB所成角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，为异面直线DE与AB所成角，再根据正三角形的性质求解即可【解析】由题，，故异面直线DE与AB所成角为直线DE与DC所成角，即，又，E为PC的中点，故为正三角形，且，，故故选：B【思路总结】求异面直线所成角的关键是作出异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交。【方法归纳】第Ⅰ步：找：利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。第Ⅱ步：证：证明作出的角为所求角。第Ⅲ步：求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求角。【变式训练1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】利用异面直线夹角的定义，将平移至为中点），通过为正三角形求解．【解析】取中点连接，，则，与所成的角等于与所成的角．容易知道为正三角形，与所成的角等于.故选：B【变式训练2】在直三棱柱中，，，E为棱上一点，且，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行线作出与所成的角，在三角形中计算边长，再利用余弦定理求解.【解析】如图，过点E作交于点F，连接，则或其补角为与所成的角.由已知可得，，不妨设，则，，，从而易得，，，由余弦定理可得，则与所成角的余弦值为.故选：B.考向三：线线平行的证明【例题】下列命题正确的是（

）A．没有公共点的两条直线是平行直线B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．不在同一平面内的两条直线是异面直线D．既不平行又不相交的两条直线是异面直线【答案】D【分析】根据直线的三种位置关系，平行，相交，异面的概念进行判断.【解析】对于A选项，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，故A选项错误；对于B选项，垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交，或异面，故B选项错误；对于C选项，不在任何同一平面内的两条直线是异面直线，故C选项错误；对于D选项，既不平行又不相交的两条直线不在任何同一平面内，故是异面直线，D正确.故选：D.【思路总结】“线线线面”之间平行的相互关系和相互转化，是线线、线面平行的判定与性质的实质，也是我们运用定理对平行进行证明的关键所在，判定线线平行的方法：(1)利用定义：证明线线共面且无公共点。(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线。(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行。(4)利用面面平行的性质定理。(5)利用线面垂直的性质定理。【方法归纳】第Ⅰ步：寻找第三条直线n，使得n与l和m均平行，则可证。若没有，进入第Ⅱ步。第Ⅱ步：找到一条线为两个平面的交线，利用线面平行或面面平行或线面垂直的性质去证明，若没有，进入第Ⅲ步。第Ⅲ步：找到或构造一个平面α，使l和m在平面α内。第Ⅳ步：在平面α上，利用平面几何知识证明平行。【变式训练1】若，，则直线，的位置关系是（

）A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面【答案】D【分析】利用条件，联系立方体即可得出结论.【解析】解：如图所示，设平面为平面若，，故，，，相交；若，，故，，，异面；若，，故，，，平行.故选：D【变式训练2】a、b、c是三条不重合的直线，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若直线a，b没有交点，则a，b异面D．若，，则.【答案】A【分析】由线线的空间位置关系逐一判断可得选项.【解析】对于A：若，，则，故A正确；对于B：若，，则或，或b与c成其它的角度，故B不正确；对于C：若直线a，b没有交点，则a，b异面或a，b平行，故C不正确；对于D：若，，则或，或b与c成其它的角度，故D不正确；故选：A.考向四：线面平行的证明【例题】已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A、B、C；根据平面基本性质知且，由线面平行的判定、性质有，即可判断D.【解析】A：，则或，错误；B：，则或，错误；C：，则可能相交或平行，错误；D：由为两个平面且、，故且，由，则，又，，，则，所以，正确.故选：D【思路总结】判定线面平行的方法：(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助于反证法。(2)利用直线与平面平行的判定定理。(3)利用面面平行的性质。【方法归纳】第Ⅰ步：首先观察直线l所在平面是否有与平面α平行的或平面α内是否有与直线l平行的线段，若有，可利用平面几何知识或面面平行的性质证明线线平行，再进入第Ⅳ步；若没有，进入第Ⅱ步。第Ⅱ步：过直线l的平面是否与平面α相交，若没有，则作辅助线构造一个；若有，进入第Ⅲ步。第Ⅲ步：证明直线l与两平面的交线平行。第Ⅳ步：利用线面平行的判定证明结论。【变式训练1】如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则下列各选项正确的是（

）A．直线与平面平行，直线与平面相交B．直线与平面相交，直线与平面平行C．直线、都与平面平行D．直线、都与平面相交【答案】A【分析】取的中点H，证明，平面即得证，再证明直线与平面相交即得解.【解析】解：取的中点H，则从而四边形为平行四边形，所以．易知，则四边形为平行四边形，从而平面．又平面，所以平面．易知，则四边形为平行四边形，从而与相交，所以直线与平面相交.故选：A．【变式训练2】已知，，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则平行于平面内的任意一条直线B．若，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】D【分析】利用长方体模型依次讨论各选项即可得答案.【解析】如图，设平面为平面，平面为平面，对于A选项，设为直线，满足，但直线与直线是异面直线，故A选项错误；对于B选项，设为直线，直线为，满足，，但不满足，故B选项错误；对于C选项，设为直线，直线为，显然不满足，故C选项错误；对于D选项，由面面平行的性质即可得该命题正确.故选：D考向五：面面平行的证明【例题】设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】B【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.【解析】A.，则或，故错误；B.过直线a作平面，有，因为，所以，又因为，所以，所以，故正确C.，则或a，b异面，故错误；D.，则或相交，故错误；故选：B【思路总结】证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义。(2)利用面面平行的判定定理。(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。(4)平行于同一个平面的两个平面平行。从思维方法的角度来看，要进行平行的证明，往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”。当逆推出现困难时，应进行“正向思维”，即根据题目的已知去联想和推导有关的性质，使题设和结论逐步靠近，并最终产生联系和沟通，找到证明思路。【方法归纳】第Ⅰ步：首先观察是否有一条直线与α和β垂直，若有，利用线面垂直的性质证明；若没有，进入第Ⅱ步。第Ⅱ步：选定一个平面，如平面α，证明α内有两条相交直线都与平面β平行。第Ⅲ步：利用面面平行的判定证明结论。【变式训练1】设，，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（

）①，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】对于①，与相交或平行；对于②，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得；对于③，与相交、平行或；对于④，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得．【解析】对于①，，，则与相交或平行，故①错误；对于②，，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故②正确；对于③，，，，则与相交、平行或，故③错误；对于④，，，，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故④正确．故选：C【变式训练2】如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（

）A．直线平面 B．直线面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【分析】根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D.【解析】过点，，的截面如图所示(，，均为中点)，所以直线与其相交于点，故A项错误；直线与直线在平面必定相交，故B项错误；直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误；易得直线直线，直线直线，又∵,所以平面平面.故选:D.考向六：线线垂直的证明【例题】如图，在四面体中，截面是正方形，则（）A． B．平面C． D．分别是线段的中点【答案】AB【分析】根据图形及题目中的条件进行判断即可.【解析】由题意知：，，，所以，故A正确；由，平面，平面，故平面.故选：AB.【思路总结】要证明线线垂直，一般情况下只需先证线面垂直，故考虑应用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得到所需结论。若解题时没有线面垂直的可证条件，就需考虑证明两直线所成角为90°或利用平面几何知识通过平移证明线线垂直。【方法归纳】第Ⅰ步：寻找或构造一个过直线l的平面，证明直线m垂直于该平面，若有，则利用线面垂直的性质可证；若没有，则进入第Ⅱ步。第Ⅱ步：证明两直线所成的角为90°若没有，则进入第Ⅲ步。第Ⅲ步：将两直线平移到同一平面内，利用平面几何知识证明。【变式训练1】如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（

）A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1所成角大小为C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直【答案】ACD【分析】连结，利用中位线的性质，即可证明，再利用平行，垂直关系的转化，即可判断选项.【解析】A.连结，即点是与的交点，点分别是的中点，所以，故A正确；B.连结，因为，所以是异面直线BC1与AB1所成角，因为四棱柱是正四棱柱，所以不一定是等边三角形，所以BC1与AB1所成角不一定为，只有正四棱柱是正方体时，BC1与AB1所成角为，故B错误；C.因为平面，所以，又因为，，故C正确；D.因为，，所以，又因为，所以，故D正确.故选：ACD【变式训练2】(多选题)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列结论不正确的是（

）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【答案】ACD【分析】由线线平行、垂直对每一个选项判断即可.【解析】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错;对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，B对;对于C，例如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面，故C错;对于D，例如三棱锥的三条侧棱共点，但不共面，故D错.故选：ACD.考向七：线面垂直的证明【例题】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，则EF与平面BB1O的位置关系是_____.(填“平行”或“垂直”)【答案】垂直【分析】由线面垂直判定定理可得.【解析】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BO∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.故答案为：垂直.【思路总结】直线与平面垂直的判断和证明方法：(1)利用定义。(2)利用判定定理。(3)如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。(4)两个平面垂直的性质定理。(5)如果一条垂线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。【方法归纳】第Ⅰ步：首先观察过直线l的平面是否有与平面α垂直的，若有，则利用面面垂直的性质可证；若没有，则进入第Ⅱ步。第Ⅱ步：在平面α内寻找或构造两条相交直线，证明l与两相交直线均垂直。第Ⅲ步：利用线面垂直的判定证明结论。【变式训练1】已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．【答案】45°【分析】由线面垂直找出AM在面ABC内射影得线面角，在△PCM中计算而得.【解析】∵PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC，∴PM在平面ABC内的射影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角．∵AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，而AB的中点为M，∴CM＝5，又PC＝5，∴△PCM为等腰直角三角形，∴∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．故答案为：45°【变式训练2】下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．【答案】③④【分析】对①④，根据线面垂直的性质判定即可；对②③，根据线面垂直的判定确定平面α内与直线l垂直的直线满足的条件即可【解析】对①，根据线面垂直的判定可知①错误；对②③，当直线l不垂直于平面α时，α内的直线只需垂直于直线l与其在α内的投影直线所确定的平面即可与l垂直，故②错误，③正确；对④，根据线面垂直的性质，若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有的直线都垂直，故④正确故答案为：③④考向八：面面垂直的证明【例题】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证．【解析】(1)如图，连结，则是的中点，又是的中点，∴，又∵平面，面，∴平面；(2)∵底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴，又，∴面，又平面，故平面平面.【思路总结】证明平面与平面垂直的方法：(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角。(2)利用面面垂直的判定定理。垂直问题的关键是线面垂直，通过线线垂直证明线面垂直，通过线面垂直证明面面垂直，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序。【方法归纳】第Ⅰ步：在要证的两个垂直平面α，β内分别找一条直线l⊂α和两个相交直线m、n⊂β。并分别证明。第Ⅱ步：由线面垂直的判定定理易得。第Ⅲ步：利用面面垂直的判定证明结论。第Ⅳ步：也可以考虑证明两平面所成的二面角是直角。【变式训练1】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；(2)求证：平面平面ABCD．【答案】(1)垂直，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答.(2)利用(1)的信息可得，结合已知证得平面即可推理作答.【解析】(1)CD与平面PAD垂直，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，则有，即，而，，平面，所以平面.(2)由(1)知，平面，而平面，则，又，因是直角梯形的两条腰，即直线必相交，因此，平面，而平面，所以平面平面.【变式训练2】如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点．(1)证明：平面平面；(2)设为线段上一点，试确定点的位置，使平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)点为中点.【分析】(1)根据给定条件可得，利用勾股定理证明即可证得平面平面.(2)取的中点，证明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.【解析】(1)因为为直四棱柱，则平面，而平面，于是得，在中，，，由余弦定理得，，因此，，即，又，平面，则平面，又平面，所以平面平面.(2)当点为中点时，平面平面，连接，如图，在等腰梯形中，，即，而，则四边形为平行四边形，即有，因平面，平面，则有平面，因为，，则四边形为平行四边形，有，而平面，平面，因此，平面，又，所以平面平面.考向九：求直线与平面所成的角【例题】在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】.【分析】取的中点M，连接，，推理判断为直线与平面所成的角即可计算作答.【解析】在正方体中，取的中点M，连接，，如图，因E是的中点，四边形为正方形，即有，而平面，则平面，从而为直线在平面内的射影，为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，在中，，，于是得，所以直线与平面所成的角的正弦值为.【思路总结】求线面角的关键是找出或构造出直线与平面所成的角，确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，然后把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角。【方法归纳】第Ⅰ步：判断直线与平面的关系：平行、垂直还是斜交。第Ⅱ步：若是斜交，则找出或构造出直线与平面所成的角，即直线与平面内的射影所成的角。第Ⅲ步：将直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解，算出角的大小或三角函数值。【变式训练1】如图，在正方体中，O为上底面的中心．作出直线OC与平面ABCD所成的角，并求出该角的正切值．【答案】作图见解析，【分析】连接交于点，连接，进而根据正方体的性质得即为直线与平面所成的角，再根据几何关系求解即可.【解析】解：根据正方体的性质，连接交于点，连接因为所以点是正方体下底面的中心，又因为为上底面的中心，所以由正方体的性质得平面所以即为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为，则，，所以.即直线与平面所成的角的正切值为【变式训练2】如图，在三棱锥中，，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（I）求证：；（II）当平面时，求直线与平面所成的角．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先证明平面，再证明平面，进而可得；（Ⅱ）证明平面，直线与平面所成的角为，在直角三角形中求解即可.【解析】（Ⅰ）证明：∵，∴平面，又平面，∴，∵，，∴，又，，∴平面，平面，∴；（Ⅱ）∵平面，平面，平面平面，∴，又平面，∴平面，故直